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第四章 Hankel范数模型逼近理论 2.证唯一性。在线性变换S下 ∑→→SEs∑→→(S-1)∑S 由于变换后仍是平衡实现,必有∑=S∑S=(S-1)∑S-1.于是 ∑2=Ss·(S)-∑S ∑2S 最后一个式子说明S的列向量是∑2的右特征向量,即s;满足 (a2I-∑2) 由于σ;>0,0+∑非奇异。再由a2I-》2=(o;I+∑o-∑),得 (2I-∑2)s;=0÷(o-∑)s;=0∑s=S∑ 若存在S满足∑=S∑S,则必有∑=∑SS",于是SS=I 现在将∑进行分块 这里 ∑ 相应地,将(TAT-1,TB,CT-1)进行分块 aT TB=/B 这里dm1=dm1=-1r,为简便起见,我们仍用(A,B,C)来表示平衡实现(TAT-1,TB,CT-1) 引理44设(A,B,C)是平衡实现。称(A1,B1,C1)是它的一个平衡截断。则(A1,B1,C1)也是平衡实 证明:先证明(A1,B1)的可控性 gramian和(C1,A1)的可观测性 Gramian为同一个正定对角阵。(431) 等价为 A1A12 ∑10 A1 A2l BI A21A22 0∑ A12A22 B, Al A ∑10 A A2 A1 A12 这两个矩阵方程的(1,1)块分别为 11+∑1A1+B1B1 A111+∑1A1+C1C1 再证明稳定性。由定理B,只需证明(A1,B1,C1)是最小实现,则由∑1>0可知A1渐近稳定。用反 证法。设(A1,B1)不可控。则存在υ≠0,满足 [λI-A1B1]✕ ✖ ✗✙✘✛✚✢✜✤✣✥✦✧★✪✩✔✫✭✬✡✮✭✯☞✰✲✱✭✳ ✴ ✵✷✶✡✸✭✹✭✺✡✻✛✼✲✽☞✺☞✾✲✿❁❀☞❂✲❃ ❄✭❅✎❆❇❀❈❄✷❀❈❉❊❄☞❅✍❆●❋ ❀■❍❑❏ ▲ ❉ ❄✷❀■❍❑❏❑▼ ◆✛❖✾☞✿☞P☞◗☞❘✲❙✲❚✲❯☞❱✡❃✔❲☞❳❨❄✡❩✲❀❈❄✷❀❉ ❩✡❋ ❀❍❑❏ ▲ ❉ ❄✷❀❍❑❏ ✵ ❖❘ ❄✷❬✷❩✲❀❈❄✷❀❉✤❭ ❋ ❀❉ ▲ ❍❑❏ ❄✷❀❍❑❏ ❩✲❀❈❄✷❬ ❀❍❑❏✪❪ ❀❈❄✷❬✤❩✲❄✷❬ ❀✄▼ ❫P✲✹✭❴☞❵☞❛☞❜❞❝❇❀✡❡✟❢❤❣✛✐☞❘❁❄ ❬ ❡✟❥☞❦✲❧✙❣✛✐✙❃✟♠♦♥✍♣❑q✲r ❋ s❑❬♣ t ❅✟❄✷❬ ▲ ♥ ♣❑❩✲✉ ◆✛❖ s✍♣■✈☞✖ ✇ s✍♣ t②① ❄☞③✭④✲⑤✲✻✛⑥ ◆ s♣ ❬ t ❅✟❄ ❬ ❩✡❋ s✍♣ t②① ❄✷▲ ❋ s✍♣ t ❅✔❄✷▲ ✇ ⑦ ❋ s❑❬♣ t ❅✔❄✷❬ ▲ ♥ ♣❈❩☞✉⑨⑧✄⑩❶❋ s✍♣ t ❅✟❄✷▲ ♥ ♣❑❩✲✉⑨⑧✄⑩❷❄✷❀✔❩☞❀❈❄ ❸☞❹✼❁❀✟q✲r❺❄✭❩✲❀❈❄✷❀❉ ✇ ❻✲❲✭❳❁❄✭❩✲❄✷❀❈❀❉ ✇ ❖❘❁❀❈❀❉ ❩ t ✵ ❱☞✼☞❼❁❄☞❽☞❾☞❿☞➀ ❄✭❩❇➁ ❄ ❏ ✖ ✖➂❄ ❬➄➃ ➅☞➆ ❄ ❏ ❩♦➇➈ ➈ ➈ ➈ ➈➉ s ❏ t➊ ➋ ✖ ❭ ❭ ❭ ✖ ✖➌s❬ t➊ ➍ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✖ ✖ ❭ ❭ ❭ ✖➎s✍➏ t➊ ➐ ➑➒ ➒ ➒ ➒ ➒ ➓→➔ ❄ ❬ ❩♦➇➈ ➈ ➈ ➈ ➈➉ s✍➏ ➣ ❏ t➊ ➐ ↔ ➋ ✖ ❭ ❭ ❭ ✖ ✖↕s✍➏ ➣ ❬ t➊ ➐ ↔ ➍ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✖ ✖ ❭ ❭ ❭ ✖⑨s✎➙ t➊ ➛ ➑➒ ➒ ➒ ➒ ➒ ➓ ➜☞➝☞➞❃✛❼➟❋➠✛➡➢➠❍❑❏ ➔ ➠✤➤ ➔ ➥ ➠❍❑❏ ▲■❽☞❾☞❿☞➀✡❃ ➠➄➡➢➠❍❑❏ ❩❇➁ ➡ ❏ ❏ ➡ ❏ ❬ ➡ ❬ ❏ ➡ ❬ ❬➄➃ ➔ ➠✤➤➦❩➦➁ ➤ ❏ ➤ ❬➢➃ ➔❨➥➠❍❑❏ ❩✙➧➥ ❏ ➥ ❬ ➨ ➅☞➆➦➩➫➭➡ ❏ ❏ ❩ ➩➫➭❄ ❏ ❩✲❄➏ ♣ ➯ ❏ ➲ ♣ ✵❑➳☞➵✭➸☞➺✲➻✲❃ ➼✲➽✟◗✲➾❇❋➡ ➔ ➤ ➔ ➥ ▲ ➚☞➪☞➶☞❙☞❚✲❯✭❱♦❋➠➹➡➢➠❍❑❏ ➔ ➠✤➤ ➔ ➥ ➠❍❑❏ ▲✎✻ ➘✟➴➟➷❑➬ ➷✡➮ ❋➡ ➔ ➤ ➔ ➥ ▲✪➱☞✃✭❐❤❒✔❮✲✻➢❰➟❋➡ ❏ ❏ ➔ ➤ ❏ ➔ ➥ ❏ ▲✷➱✡Ï☞Ð✭Ñ✟Ò✲✃✭❐✡Ó✡Ô✭✻✔Õ❁❋➡ ❏ ❏ ➔ ➤ ❏ ➔ ➥ ❏ ▲✪Ö☞➱☞✃✭❐❤❒ ❮✲✻ ✶❤❝✟×❈Ø☞✶❤❝Ù❋➡ ❏ ❏ ➔ ➤ ❏ ▲❈❡✭Ú✭Û☞✺●Ü②ÝÞ➭➹➫Þß②à♦❋ ➥ ❏ ➔ ➡ ❏ ❏ ▲❈❡✭Ú✭á☞â☞✺●Ü②ÝÞ➭➹➫Þßã➳✡ä✟✹✭❴☞å✲æ✭ç✲è✡é✭✻✟❋ ê ✵ ë ì ▲ í☞î➳ ➁ ➡ ❏ ❏ ➡ ❏ ❬ ➡ ❬ ❏ ➡ ❬ ❬➄➃ ➁ ❄ ❏ ✖ ✖➎❄ ❬➢➃ ① ➁ ❄ ❏ ✖ ✖➎❄ ❬➄➃ ➁ ➡❉ ❏ ❏ ➡❉ ❬ ❏ ➡❉ ❏ ❬ ➡❉❬ ❬ ➃ ① ➁ ➤ ❏ ➤ ❬➢➃ ➧➤ ❉ ❏ ➤ ❉❬ ➨ ❩ï✖ ➔ ➁ ➡❉ ❏ ❏ ➡❉ ❬ ❏ ➡❉ ❏ ❬ ➡❉ ❬ ❬ ➃ ➁ ❄ ❏ ✖ ✖➎❄ ❬➄➃ ① ➁ ❄ ❏ ✖ ✖➎❄ ❬➢➃ ➁ ➡ ❏ ❏ ➡ ❏ ❬ ➡ ❬ ❏ ➡ ❬ ❬➄➃ ① ➁ ➥ ❉ ❏ ➥ ❉ ❬ ➃ ➧ ➥ ❏ ➥ ❬ ➨ ❩ï✖✪▼ ❋ ê ✵ ë ✴ ▲ ➅☞ð❴☞ñ✙é✔ò✲ó✡❡❺❋ ì ➔ ì ▲✷➀☞❿☞ô✲➳öõ ➡ ❏ ❏ ❄ ❏ ① ❄ ❏ ➡❉ ❏ ❏ ① ➤ ❏ ➤ ❉ ❏ ❩ï✖ ➔ ➡❉ ❏ ❏ ❄ ❏ ① ❄ ❏ ➡ ❏ ❏ ① ➥ ❏ ➥ ❉ ❏ ❩ï✖✪▼ ❋ ê ✵ ë ë ▲ ⑥✲✶❞❝✟÷✲æ☞✺✙✻ ◆ æ☞ø➟ù✷✵ ë ✇ ú☞û☞✶❞❝♦❋➡ ❏ ❏ ➔ ➤ ❏ ➔ ➥ ❏ ▲✪❘❫✡ü❯☞❱✙❃✛❻ ◆ ❄ ❏ ✈✡✖✄Ú✲ý❺➡ ❏ ❏✷þ✲ÿ÷✲æ✡✻✔➾✁￾ ✶✁✂✡✻☎✄➟❋➡ ❏ ❏ ➔ ➤ ❏ ▲✝✆☞Ú✭Û✡✻✛❻❹✼✟✞✡✠❩✲✉✎✇ q✲r ✞ ❉ ➧☛ t ❅✛➡ ❏ ❏ ➤ ❏ ➨ ❩✲✉ ❉ ▼ ❋ ê ✵ ë ê ▲
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