第4期 摩福成等：带有状态时滞的多采样率线性离散时间系统的最优预见控制器设计 .453. 后，利用预见控制理论的结果得到带有预见前馈补 Bu(2i+1)=Ax(2i+1)+A1x(2(i-1)+ 偿的控制器 1)+Bu(2i+1)=A[Ax(2i)+A1x(2(i-1)+ 1问题表述及假设 Bu(2i)]+A[Ax(2(i-1)+A1x(2(i-2)+ Bu(2(i-1)]+Bu(2i+1)=[A2x(2i)+ 考虑具有状态时滯的线性离散时间系统： (AA1+A1A)x(2(-1))+Aix(2(-2)]+ x(k+1)=Ax(k)+A1x(k-)+B()(L) [Bu(2i+1)+ABu(2i)+A1Bu(2(i-1)], y(k)=Cx(k)+Du(k) 即 其中，x(k)∈R”是状态向量，y(k)∈RP是输出向 x(2(+1)=[A2AA1十A1AA]· 量，u(k)∈Rm是输入向量，A、A1、B、C和D是具 x(2i) 有相应维数的实常数矩阵，整数N表示系统状态在 x(2(i-1)) +[AB u(2i) 状态通道中的时滞.在上面的第2个方程中，输入 x(2(i-2)》 Lu(2i+1) 通过系数矩阵直接作用于系统的输出. A1Bu(2(1) (2) 下面是本文的两个假设： 记 假设1x(k)和y(k)仅在k=N(i=0,1,2, x(2i) …)时能被检测. x(2(i-1) 假设2设目标信号R(k)有NL步可预见，即 X(i)=x(2(-2) ,U(i)= u(2i)1 在每个时刻k,R(k十1)，R(k十2)，…，R(k十NL) u(2i+1) u(2(i-1) 为已知.采用预见控制中常用的手法，从N步之 u(2(i-2) 后认为它是常数，即R(k十j)=R(k十N) 则式(2)可表示为： =N十1，N+2,.假设N=NS,这里S为非 Xo(i+1)=AoXo(i)+BoU(i) (3) 负整数， 其中， 为了不至于推导太复杂，本文只考虑N=2的 A2 AA+AA A AiB 0 情形.这时系统(1)成为 0 0 0 x(k+1)=Ax(k)+A1(k一2)+B()() 0 A0= 0 1 0 0 0, y(k)=Cx(k)+Du(k) 0 0 0 0 而假设1变为： 0 0 I 假设1'x(k)和y(k)仅在k=2i(i=0,1,2, AB B …)时能被检测 0 0 目标信号与系统输出之间的差值定义为系统的 B0= 0 0 误差： 0 e(k)=R(k)一y(k), 00 本文的目的是设计出一个带有预见补偿的控制 再由上面的推导及系统(1)的第2式得到： 器，使得系统的输出y(k)能够跟踪目标值信号 y(2i)=Cx(2i)+Du(2i), R(k),即使 y(2i+1)=Cx(2i+1)+Du(2i+1)= lime(k)=lim(R()-y(k))=0. CAx(2i)+CAix(2(i-1))+CBu(2i)+Du(2i+1), 2扩大误差系统的导出 即有： y(2i)1 C 0000 将多采样率预见控制问题转化为单一采样间隔 Ly(2+1)y CA1000 的预见控制问题，然后将系统(1)转化为一个扩大 x(2i) 误差系统， x(2(i-1) 2.1多采样率系统的离散提升 D 0「 x(2(i-2) u(2i) 在(1')中令k=2i及k=2i+1得到： L CB DLu(2i+1) u(2(i-1) x(2i+1)=Ar(2i)+A1x(2(i-1)+Bu(2i) u(2(i-2))y x(2i+2)=Ax(2i+1)+A1x(2i+1)-2)+ 记后‚利用预见控制理论的结果得到带有预见前馈补 偿的控制器． 1 问题表述及假设 考虑具有状态时滞的线性离散时间系统： x（ k＋1）＝ Ax（ k）＋ A1x（ k— N）＋Bu（ k） y（ k）＝Cx（ k）＋ Du（ k） （1） 其中‚x（ k）∈R n 是状态向量‚y（ k）∈R p 是输出向 量‚u（ k）∈R m 是输入向量‚A、A1、B、C 和 D 是具 有相应维数的实常数矩阵‚整数 N 表示系统状态在 状态通道中的时滞．在上面的第2个方程中‚输入 通过系数矩阵直接作用于系统的输出． 下面是本文的两个假设： 假设1 x（ k）和 y（ k）仅在 k＝ iN（ i＝0‚1‚2‚ …） 时能被检测． 假设2 设目标信号 R（ k）有 NL 步可预见‚即 在每个时刻 k‚R（ k＋1）‚R（ k＋2）‚…‚R（ k＋ NL） 为已知．采用预见控制中常用的手法‚从 NL 步之 后认为它是常数‚即 R （ k ＋ j ） ＝ R （ k ＋ NL ）‚ j＝ NL＋1‚NL＋2‚…．假设 NL＝ NS‚这里 S 为非 负整数． 为了不至于推导太复杂‚本文只考虑 N＝2的 情形．这时系统（1）成为 x（ k＋1）＝ Ax（ k）＋ A1x（ k—2）＋Bu（ k） y（ k）＝Cx（ k）＋ Du（ k） （1′） 而假设1变为： 假设1′ x（ k）和 y（ k）仅在 k＝2i（ i＝0‚1‚2‚ …）时能被检测． 目标信号与系统输出之间的差值定义为系统的 误差： e（ k）＝ R（ k）—y（ k）． 本文的目的是设计出一个带有预见补偿的控制 器‚使得系统的输出 y （ k）能够跟踪目标值信号 R（ k）‚即使 limk→∞ e（ k）＝limk→∞ （ R（ k）—y（ k））＝0． 2 扩大误差系统的导出 将多采样率预见控制问题转化为单一采样间隔 的预见控制问题‚然后将系统（1）转化为一个扩大 误差系统． 2∙1 多采样率系统的离散提升 在（1′）中令 k＝2i 及 k＝2i＋1得到： x（2i＋1）＝ Ax（2i）＋ A1x（2（ i—1））＋Bu（2i） x（2i＋2）＝ Ax（2i＋1）＋ A1x（（2i＋1）—2）＋ Bu（2i＋1）＝ Ax（2i＋1）＋ A1x（2（ i—1）＋ 1）＋Bu（2i＋1）＝ A［ Ax（2i）＋ A1x（2（ i—1））＋ Bu（2i）］＋ A1［ Ax（2（ i—1））＋ A1x（2（ i—2））＋ Bu（2（ i—1））］＋Bu（2i＋1）＝［ A 2 x（2i）＋ （ AA1＋ A1A） x（2（ i—1））＋ A 2 1x（2（ i—2））］＋ ［ Bu（2i＋1）＋ ABu（2i）＋ A1Bu（2（ i—1））］‚ 即 x（2（ i＋1））＝［ A 2 AA1＋ A1A A 2 1］· x（2i） x（2（ i—1）） x（2（ i—2）） ＋［ AB B］ u（2i） u（2i＋1） ＋ A1Bu（2（ i—1）） （2） 记 X0（ i）＝ x（2i） x（2（ i—1）） x（2（ i—2）） u（2（ i—1）） u（2（ i—2）） ‚U（ i）＝ u（2i） u（2i＋1） ‚ 则式（2）可表示为： X0（ i＋1）＝ A0X0（ i）＋B0U（ i） （3） 其中‚ A0＝ A 2 AA1＋ A1A A 2 1 A1B 0 I 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 ‚ B0＝ AB B 0 0 0 0 I 0 0 0 ． 再由上面的推导及系统（1）的第2式得到： y（2i）＝Cx（2i）＋ Du（2i）‚ y（2i＋1）＝Cx（2i＋1）＋ Du（2i＋1）＝ CAx（2i）＋CA1x（2（i—1））＋CBu（2i）＋Du（2i＋1）‚ 即有： y（2i） y（2i＋1） ＝ C 0 0 0 0 CA CA1 0 0 0 · x（2i） x（2（ i—1）） x（2（ i—2）） u（2（ i—1）） u（2（ i—2）） ＋ D 0 CB D u（2i） u（2i＋1） ． 记 第4期 廖福成等： 带有状态时滞的多采样率线性离散时间系统的最优预见控制器设计 ·453·