.454 北京科技大学学报 第30卷 Y(i)= y(2i) E()=[0]X(i), y(2i+1)y 即 上式写为： X(i+1)=ΦX(i)+GAU(i)+Gm△R(i) Y(i)=CoXo(i)十DoU(i) (4) E(i)=[0]x(i) 其中， C0000 (10) Co-CA CAI 00 0D-CB 0 系统(10)即为导出的扩大误差系统，它在形式上既 D 没有时滞，又没有多采样率特征 由式（③）和(4)得到新的系统： 利用系统(10)的状态向量，性能指标函数(8)可 Xo(i+1)=AoXo(i)+BoU(i) (5) 改写为： Y(i)=CoXo(i)+DoU(i) 记 J=[(i)0()+△U()Hau()] R(i)= R(2i)1 (11) R(2i+1) 其中， 则系统的误差为： 0 0 E()=R(i)-Y(i) (6) 00Q 至此，已得到了形式上没有时滞且没有扰动的系统， 2.2导出扩大误差系统 问题现在变为：设计使性能指标函数(11)取最 取如下差分算子： 小值的系统(10)的最优控制器，再给出系统(1)的带 △x(k)=x(k+1)一x(k) 预见前馈补偿的控制器，假设2表明R()(从而 系统(5)的状态方程和输出方程两边分别取差分 △R(i))的预见步数为S, 得到： 3控制器的设计 △Xo(i+1)=Ao△Xo(i)十Bo△U(i) (7) △Y(i)=Co△Xo(i)+D△U(i) 由预见控制理论可知，若[ΦG]可镇定且 [Q1/2 Φ]可检测，则系统(10)的带有预见前馈补 对系统(7)，引入下面的二次型： 偿的最优控制输入为： =2 [E'()OEE()+△Ur()HAU(] =0 △U(i)=Fx(i)+ 宫r()aa+)吗 (8) 作为性能指标函数.其中，Q为(2p)X(2p)正定 其中， 矩阵，H为(2m)X(2m)正定矩阵. F=-[H+GPB]-1GPΦ 同样地，对式(6)两边取差分有： FR(j)=-[H+G PG]GT ()PGR. △E(i)=△R(i)-△Y(i)= j=0,1,2,…,S, △R(i)-Co△Xo(i)-DnAU(i) S=Φ+GF. 注意到△E(i)=E(i+1)一E(i),代入上式得： P是代数Riccati方程 E(i+1)=E(i)-Co△Xo(i)-D△U(i)十△R(i) P=Q+ΦpΦ-DPG[H+GPG]-1Gp④ (9) 的唯一对称半正定解 综合系统(7)的第1式和式(9)得到： 将F、FR(j)分解如下： X(i+1)=Φx(i)+GAU(i)+GR△R(i), F(O (j) F 其中，(i)= △Xo(i) ,Φ A00 F(i FR(j)= (j) E(i) L-Co 注意到 Bo G一DN GR= U(i)=U(i-1)+△U(i-1), u(2i) 观测方程取为： U(i)= (2i+1)yY（ i）＝ y（2i） y（2i＋1） ‚ 上式写为： Y（ i）＝C0X0（ i）＋ D0U（ i） （4） 其中‚ C0＝ C 0 0 0 0 CA CA1 0 0 0 ‚D0＝ D 0 CB D ‚ 由式（3）和（4）得到新的系统： X0（ i＋1）＝ A0X0（ i）＋B0U（ i） Y（ i）＝C0X0（ i）＋ D0U（ i） （5） 记 R ～ （ i）＝ R（2i） R（2i＋1） ‚ 则系统的误差为： E（ i）＝ R ～ （ i）—Y（ i） （6） 至此‚已得到了形式上没有时滞且没有扰动的系统． 2∙2 导出扩大误差系统 取如下差分算子： Δx（ k）＝x（ k＋1）—x（ k）‚ 系统（5）的状态方程和输出方程两边分别取差分 得到： ΔX0（ i＋1）＝ A0ΔX0（ i）＋B0ΔU（ i） ΔY（ i）＝C0ΔX0（ i）＋ D0ΔU（ i） （7） 对系统（7）‚引入下面的二次型： J＝ ∑ ∞ i＝0 ［ E T （ i） QE E（ i）＋ΔU T （ i） HΔU（ i）］ （8） 作为性能指标函数．其中‚QE 为（2p）×（2p）正定 矩阵‚H 为（2m）×（2m）正定矩阵． 同样地‚对式（6）两边取差分有： ΔE（ i）＝ΔR ～ （ i）—ΔY（ i）＝ ΔR ～ （ i）—C0ΔX0（ i）— D0ΔU（ i） 注意到ΔE（ i）＝ E（ i＋1）— E（ i）‚代入上式得： E（ i＋1）＝ E（ i）—C0ΔX0（ i）— D0ΔU（ i）＋ΔR（ i） （9） 综合系统（7）的第1式和式（9）得到： X ～ （ i＋1）＝ΦX ～ （ i）＋ GΔU（ i）＋ GRΔR ～ （ i）‚ 其中‚ X ～ （ i）＝ ΔX0（ i） E（ i） ‚Φ＝ A0 0 —C0 I ‚ G＝ B0 — D0 ‚GR＝ 0 I ． 观测方程取为： E（ i）＝［0 I］ X ～ （ i）‚ 即 X ～ （ i＋1）＝ΦX ～ （ i）＋ GΔU（ i）＋ GRΔR ～ （ i） E（ i）＝［0 I］ X ～ （ i） （10） 系统（10）即为导出的扩大误差系统‚它在形式上既 没有时滞‚又没有多采样率特征． 利用系统（10）的状态向量‚性能指标函数（8）可 改写为： J＝ ∑ ∞ i＝0 ［ X ～ T （ i） Q X ～ （ i）＋ΔU T （ i） HΔU（ i）］ （11） 其中‚ Q＝ 0 0 0 QE ． 问题现在变为：设计使性能指标函数（11）取最 小值的系统（10）的最优控制器‚再给出系统（1）的带 预见前馈补偿的控制器．假设2表明 R ～ （ i）（从而 ΔR ～ （ i））的预见步数为 S． 3 控制器的设计 由预见控制理论可知‚若 ［ Φ G］ 可镇定且 ［ Q 1／2 Φ］可检测‚则系统（10）的带有预见前馈补 偿的最优控制输入为： ΔU（ i）＝F X ～ （ i）＋ ∑ S j＝0 FR（ j）ΔR ～ （ i＋ j） （12） 其中‚ F＝—［ H＋ G T PB］ —1G T PΦ‚ FR（ j）＝—［ H＋ G T PG］ —1G T （ξ T ） jPGR‚ j＝0‚1‚2‚…‚S‚ ξ＝Φ＋ GF． P 是代数 Riccati 方程 P＝ Q＋ΦT PΦ—ΦT PG［ H＋ G T PG］ —1G T PΦ 的唯一对称半正定解． 将 F、FR（ j）分解如下： F＝ F （0） F （1） ‚FR（ j）＝ F （0） R （ j） F （1） R （ j） ． 注意到 U（ i）＝U（ i—1）＋ΔU（ i—1）‚ U（ i）＝ u（2i） u（2i＋1） ‚ ·454· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷