这就是方程组(8)的一般解，其中x,是自由未知量。 从这个例子看出， 一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子， 但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子。 应该看到，>n的情形是不可能出现的。 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程，总起来说就是，首先用初等变 换化线性方程组为阶梯形方程线，把最后的一些恒等式“0=0”（如果出现的话） 去掉，如果剩下的方程当中最后的一个等 代是零等于非零的数，那么方程组 否则有解，在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个 数，那么方程组有唯一的解，如果阶梯形方程组中方程的个数”小于未知量的个 数，那么方程组就有无穷多个解。 把以上结果应用到齐次线性方程组，就有 定理1在齐次线性方程组 a+a2x2+..+ax=0. a21x1+a2x2+…+a2nx2=0 a+a2x2+…+anxn=0. 中，如果s<，那么它必有非零解 证明显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程组个数不会超过原方程 组中方程的个数，即 r≤s<n. 由r<如得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解。「 矩阵 aa22…amb a2a22…a2mb (10) a1a2…amb 称为线性方程线(1)的增广矩阵，显然，用初等变换化方程组(1)或阶梯形就 相当于用初等变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵。因而，解线性方程组的第 步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是 无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解。 例解 2x1-x+3x3=1 4x1-2x2+5x3=4, 2x-2+4x3=0. 对它的增广矩阵作初等变换， (2-131月(2-131)(2-131 g8888。 4-254 →00-12 从最后一行(0001)可以看出原方程组无解。这就是方程组（8）的一般解，其中 2 x 是自由未知量。 从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是（5）的样子， 但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成（5）的样子。 应该看到，r>n 的情形是不可能出现的。 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程，总起来说就是，首先用初等变 换化线性方程组为阶梯形方程线，把最后的一些恒等式“0＝0”（如果出现的话） 去掉，如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非零的数，那么方程组无解， 否则有解，在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数 r 等于未知量的个 数，那么方程组有唯一的解，如果阶梯形方程组中方程的个数 r 小于未知量的个 数，那么方程组就有无穷多个解。 把以上结果应用到齐次线性方程组，就有 定理 1 在齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0. 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     中，如果 s<n,那么它必有非零解。 证明 显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程组个数不会超过原方程 组中方程的个数，即 r  s<n. 由 r<n 得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解。¶ 矩阵               s s sn s n n a a a b a a a b a a a b        1 2 22 22 2 2 11 22 1 1 （10） 称为线性方程线（1）的增广矩阵，显然，用初等变换化方程组（1）或阶梯形就 相当于用初等变换化增广矩阵（10）成阶梯形矩阵。因而，解线性方程组的第一 步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是 无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解。 例 解      − + = − + = − + = 2 4 0. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 对它的增广矩阵作初等变换，           − − − 2 1 4 0 4 2 5 4 2 1 3 1 →           − − − 0 0 1 1 0 0 1 2 2 1 3 1 →           − − 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 3 1 从最后一行（0 0 0 1）可以看出原方程组无解