§2n维向量空间 上一节我们介绍了消元法，对于具体地解线性方程组，消元法是一个最有效和最 基本的方法，但是，有时候需要直接从原方程组来看它是否有解， 这样，消元法 就不能用了。同时，用消元法化方程组成阶梯形，剩下来的方程的个数是否唯 决定的呢，这个问题也是没有解决的，这些问题就要求我们对线性方程组还要作 讲一光的研究 个线性方程组的解的情况是被方程组中方程之间的关系所规定的， 譬如说，在1方程组(8 2x1-2+3x3=1 4x1-2x2+5x3=4, 2x-x3+4x3=-1. 中，第一个方程的3倍减去第二个方程就等于第三个方程，这就是说，第三 个方程可以去掉而不影响方程组的解。在那里用初等变换得到的阶梯形方程组中 只含有两个方程正是反映了这个情况。可以认为，初等变换是揭露方程之间关系 的一种方法。因此，为了直接从原来的线性方程组来讨论它解的情况，我们有必 要来研究方程之间的关系。 -个n元方程 a+a2x2+…+anxn=b 可以用n+1元有序数组 (a,a2,…,an,b) 来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的+1元有序数组之间的关 系。因此，我们先来讨论多元有序数组。 应该指出，多元有序数组不只是可以代表线性方程，而且还与其它方面还有 极其广泛的联系。在解析几何中我们已经看到，有的事物的性质不能用一个数来 划画。例如，为了刻画一个点在平面上的位置需要用两个数，一点在空间中的位 置需要三个数，也就是产要知道它们的坐标 又如力学中的力、速度、加速度等 由于它们既有大小，又有方向，用一个数也不能刻画它们，在取定坐标系之后 它们就可以用三个数来刻画。几何中向量的概念正是它们的抽象。但是，还有不 少的东西用三个数来刻画是不够的，如一个n元方程组的解是由n个数组成，而 这个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的，在几何上这样的 例子也是不少的，为了刻画一个球的大小和位置，需要知道它中心的坐标（三个 数)以及它的半径，也就是说，球的大小和位置需要4个数来刻画。至于 一个刚 体的位置的确定就需要6个数了，事实上，如果我们在刚体中取定 一个点以及过 这一点的一根轴，那么刚体的位置就决定于这一点的坐标（三个数），轴的方向 (两个数一一它的方向余弦的两个)，以及刚体绕这根轴转动的角度（一个数）。 在国民经济的问题中，我们也会碰到这种情况。譬如 个工厂的生产好几种产品 那么为了说明这个 就需要同时指出 每种产品的月 丁厂的 原料是来自好多地方，于是 个原料的采购计划就需要指出从每个原料产 地的米 购量。总之，这样的例子举不胜举的，作为它们的一个共同的抽象，我们就有 定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组 §2 n 维向量空间 上一节我们介绍了消元法，对于具体地解线性方程组，消元法是一个最有效和最 基本的方法，但是，有时候需要直接从原方程组来看它是否有解，这样，消元法 就不能用了。同时，用消元法化方程组成阶梯形，剩下来的方程的个数是否唯一 决定的呢，这个问题也是没有解决的，这些问题就要求我们对线性方程组还要作 进一步的研究。 显然，一个线性方程组的解的情况是被方程组中方程之间的关系所规定的， 譬如说，在§1 方程组（8）      − + = − − + = − + = 2 4 1. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 中，第一个方程的 3 倍减去第二个方程就等于第三个方程，这就是说，第三 个方程可以去掉而不影响方程组的解。在那里用初等变换得到的阶梯形方程组中 只含有两个方程正是反映了这个情况。可以认为，初等变换是揭露方程之间关系 的一种方法。因此，为了直接从原来的线性方程组来讨论它解的情况，我们有必 要来研究方程之间的关系。 一个 n 元方程 a1 x1 + a2 x2 ++ an xn = b 可以用 n+1 元有序数组 ( , , , , ) a1 a2  an b 来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的 n+1 元有序数组之间的关 系。因此，我们先来讨论多元有序数组。 应该指出，多元有序数组不只是可以代表线性方程，而且还与其它方面还有 极其广泛的联系。在解析几何中我们已经看到，有的事物的性质不能用一个数来 刻画。例如，为了刻画一个点在平面上的位置需要用两个数，一点在空间中的位 置需要三个数，也就是产要知道它们的坐标。又如力学中的力、速度、加速度等， 由于它们既有大小，又有方向，用一个数也不能刻画它们，在取定坐标系之后， 它们就可以用三个数来刻画。几何中向量的概念正是它们的抽象。但是，还有不 少的东西用三个数来刻画是不够的，如一个 n 元方程组的解是由 n 个数组成，而 这 n 个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的，在几何上这样的 例子也是不少的，为了刻画一个球的大小和位置，需要知道它中心的坐标（三个 数）以及它的半径，也就是说，球的大小和位置需要 4 个数来刻画。至于一个刚 体的位置的确定就需要 6 个数了，事实上，如果我们在刚体中取定一个点以及过 这一点的一根轴，那么刚体的位置就决定于这一点的坐标（三个数），轴的方向 （两个数――它的方向余弦的两个），以及刚体绕这根轴转动的角度（一个数）。 在国民经济的问题中，我们也会碰到这种情况。譬如一个工厂的生产好几种产品， 那么为了说明这个工厂的产量，就需要同时指出每种产品的产量又如一个工厂的 原料是来自好多地方，于是一个原料的采购计划就需要指出从每个原料产地的采 购量。总之，这样的例子举不胜举的，作为它们的一个共同的抽象，我们就有 定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中 n 个数组成的有序数组