定理12.2.1(链式规则)设g在(u1,v)∈D点可导,即x=x(,1), y=y(uν)在(u”)点可偏导。记xn=x(un,n),y=(n,n),如果∫在 点可微,那么 (l2V0) a+(x0,%) (60,v)+(x2,y)-(,v) az y (l0,v0)+ 证只证明第一式。由于∫在(xny3)点可微,因此 f(xo+Ax, yo +Ay)-f(xo,yo) (x0,y)Ax+(x0,y0)y+a(△x,△y)y△x2+△y 其中a(Ax,4y)满足mna(Ax,4y)=0。定义a(0,0)=0,那么上式当 (Ax,△y)=(00)时也成立定理 12.2.1（链式规则） 设 g 在(u0 , v0 ) Dg 点可导，即x = x(u, v)， y = y(u,v) 在 ( , ) 0 0 u v 点可偏导。记 ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 x = x u v y = u v ，如 果 f 在 ( , ) 0 0 x y 点可微，那么 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) z z x z y u v x y u v x y u v u x u y u      = +      ； 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) z z x z y u v x y u v x y u v v x v y v      = +      。 证 只证明第一式。由于 f 在( , ) 0 0 x y 点可微，因此 ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x y y x y x y y f x y x x f f x x y y f x y  +    +     +   = +  +  −  其 中 (x,y) 满 足 lim ( , ) 0 ( , ) 0   =   → x y x y  。定义(0,0) = 0 ，那么上式当 (x,y) = (0,0)时也成立