ix Ax=x(uo+Au, vo)-x(uo, vo), Ay=y(uo+Au, vo)-y(uo, vo), 由于x=x(u,0),y=y(u,)在(un,n)点可偏导,所以成立 lim (0,v),im lo Vo), 0△ △→>0 并且有mAx2+4y2=0。于是当AMn趋于0时, a(△x,△y)√△x2+△ △x =a(△x,Ay) △ △L 炒39(1的n(x+△M)yn+M0)(x(a,n)y(an 也 于0,所以 △ lim f(xo+Ax, Jo +Ay)-f(xo, yo) △l x0,y0)+(x,y0)-|+mn a(△x,△y) +△ =Im At→0 yo) ou设 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 x = x u + u v − x u v ， ( , ) ( , ) 0 0 0 0 y = y u + u v − y u v ， 由于x = x(u, v)， y = y(u,v) 在( , ) 0 0 u v 点可偏导，所以成立 lim ( , ), lim ( , ) 0 0 0 0 0 0 u v u y u y u v u x u x u u   =     =    →  → ， 并且有 lim 0 2 2 0  +  =  → x y u 。于是当u 趋于 0 时， 2 2 2 2 ( , ) ( , )          +           =        +  u y u x u u x y u x y x y   也趋于 0，所以 u f x u u v y u u v f x u v y u v u v u z u  +  +  − =    → ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u f x x y y f x y u  +  +  − =  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 u x y x y u y x y y f u x x y x f u u     +  +          +     =  →  → 2 2 0 0 0 0 0 0 ( , ) lim ( , ) ( , ) lim  0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x f y x y u v x y u v x u y u     = +    