20.一个速率问题 水以速率r流进锥形容器。容器具有正圆锥形状,底是水平的,顶点在下 方,底的半径是a,高为b。当水深为y时,求水表面上升的速率。最后,假定a=4 尺,b=3尺,r=2立方尺/分,y=1尺,求未知数的数值。 我们假定学生知道最简单的微分法和变化率的概念 已知数是什么?” 圆锥底的半径a=4尺,圆锥的高b=3尺,水流入容器的速率r=2立方尺/分, 在某一时刻的水深y=1尺。” 对,从问题的叙述方式看来,是建议你先忽略具体数值而用字母求解, 把未知数用a,b,r,y表示出来,而仅在最终得到未知数的字母表达式以后再 代入具体数值。我愿意按照这条建议做。现在未知数是什么?” “当水深为y时,水面升起的速率。” 它是什么?你能用其他术语来说吗?” 水深增加的速率。” 它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?” “水深的变化率。” 对,y的变化率。但什么是变化率?回到定义去。” 函数的变化率是导数。” “正确。现在y是函数吗?如前所述,我们不管y的具体数值。你能否想象y 是变化的?” 是的,水深y随着时间而增加。” 这样,y是什么的函数 时间t的 “好,引入适当的记号。用数学符号,你将怎样写‘y的变化率’?” 好,这就是你的未知数。你必须用a,b,r,y来表示它。顺便说一下, 数据中有一个是‘速率’,哪一个?” r是水流进容器的速率。” “它是什么?你能用别的术语来说它吗?” r是容器中水的体积的变化率。” 它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?你将怎样用适当的记号来写20．一个速率问题 水以速率r流进锥形容器。容器具有正圆锥形状，底是水平的，顶点在下 方，底的半径是a，高为b。当水深为y时，求水表面上升的速率。最后，假定a=4 尺，b=3尺，r=2立方尺/分，y=1尺，求未知数的数值。 图6 我们假定学生知道最简单的微分法和变化率的概念。 “已知数是什么?” “圆锥底的半径a=4尺，圆锥的高b=3尺，水流入容器的速率r=2立方尺/分， 在某一时刻的水深y=1尺。” “对，从问题的叙述方式看来，是建议你先忽略具体数值而用字母求解， 把未知数用a，b，r，y表示出来，而仅在最终得到未知数的字母表达式以后再 代入具体数值。我愿意按照这条建议做。现在未知数是什么？” “当水深为y时，水面升起的速率。” “它是什么?你能用其他术语来说吗?” “水深增加的速率。” “它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?” “水深的变化率。” “对，y的变化率。但什么是变化率?回到定义去。” “函数的变化率是导数。” “正确。现在y是函数吗?如前所述，我们不管y的具体数值。你能否想象y 是变化的?” “是的，水深y随着时间而增加。” “这样，y是什么的函数?” “时间t的。” “好，引入适当的记号。用数学符号，你将怎样写‘y的变化率’?” “dy/dt” “好，这就是你的未知数。你必须用a，b，r，y来表示它。顺便说一下， 数据中有一个是‘速率’，哪一个?” “r是水流进容器的速率。” “它是什么?你能用别的术语来说它吗?” “r是容器中水的体积的变化率。” “它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?你将怎样用适当的记号来写 它?