X,(k)=DFT[=,(n)] X2(k)=DFT[x2(n)] 如果 X(k)=X1(k)k2(k) 则 x(n)=IDFTLX()]=2x,(m)*(n-m), RN(n) (2.5) 或 x(n)=DFTLX(k)]=2*2(m)x,(n-m))R(n 般称(2.5)式为所表示的运算为x(m)和x2(n)的循环卷积 2、循环卷积的公式证明 对(2.5)式两边进行DFT,则有 X(k)=DFT[x(n)] *(m)x2(n-m)RN(n)W 令n-m=n,则有 x(k)=∑x(m)∑x1(n)W*m x(m)如 x2(7) 因为上式中x1(n)形是以N为周期的,所以对其在任一个周期商丘和的结果不 变。因此X k DFT x n 1 1 ( ) =   ( )   X k DFT x n 2 2 ( ) =   ( )   如果 X k X k X k ( ) =  1 2 ( ) ( ) 则 ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 1 1 2 0 N N N m x n IDFT X k x m x n m R n − = = = −      (2.5) 或 ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 1 2 1 0 N N N m x n IDFT X k x m x n m R n − = = = −      一般称(2.5)式为所表示的运算为 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 的循环卷积。 2、循环卷积的公式证明 对(2.5)式两边进行 DFT，则有 ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) ( ) (( )) 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 0 N N kn N N N n m N N kn N N m n X k DFT x n x m x n m R n W x m x n m W − − = = − − = = =       = −     = −     令 n m n − = ，则有 ( ) ( ) (( )) ( ) ( ) (( )) 1 1 1 2 0 1 1 1 2 0 N N m k n m N m n m N N N m kn kn N N m n m N X k x m x n W x m W x n W − − − + = =−  − − −  = =−  =  =      因为上式中 2 (( )) kn N N x n W   是以 N 为周期的，所以对其在任一个周期商丘和的结果不 变。因此