第三章离散傅里叶变换 Discrete fourier transform 在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时,要求信号在时域和 频域都应是离散的,且都应是有限长的。 3.1离散傅里叶变换(DT)的定义 DFT实质上是有限长序列 Fourier变换的有限点离散采样,从而使利用计算机 进行信号分析成为可能。 3.1.1DFT的定义 1、DFT和IDFT 设x(m)是一个长度为M的有限长序列,则定义x(m)的M点离散傅里叶变换为 X(k)=DFT[x(n)=∑x(m)形如,k=0,1…,N-1 (1.1) X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT, Inverse Discrete Fourier Transform)为 x(n)=IDFTLX(K)=2X()Wx b, n=0, (1.2) 其中,W=eN,N称为DFT变换区间的长度,N≥M 2、唯一性证明 3、例题 3.1.2DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N,其Z变换和DT分别为 X()=Z7[x(m)]=∑x(m)
第三章 离散傅里叶变换 Discrete Fourier Transform 在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时，要求信号在时域和 频域都应是离散的，且都应是有限长的。 3.1 离散傅里叶变换（DFT）的定义 DFT 实质上是有限长序列 Fourier 变换的有限点离散采样，从而使利用计算机 进行信号分析成为可能。 3.1.1 DFT 的定义 1、DFT 和 IDFT 设 x n( ) 是一个长度为 M 的有限长序列，则定义 x n( ) 的 N 点离散傅里叶变换为 ( ) ( ) ( ) 1 0 , 0,1, , 1 N kn N n X k DFT x n x n W k N − = = = = − (1.1) X k( ) 的离散傅里叶逆变换（IDFT，Inverse Discrete Fourier Transform）为 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 , 0,1, , 1 N kn N k x n IDFT X k X k W n N N − − = = = = − (1.2) 其中， 2 j N W e N − = ，N 称为 DFT 变换区间的长度， N M 。 2、唯一性证明 3、例题 3.1.2 DFT 和 Z 变换的关系 设序列 x n( ) 的长度为 N，其 Z 变换和 DFT 分别为： ( ) ( ) ( ) 1 0 N n n X z ZT x n x n z − − = = =
X(k)=DF[x(n)]=∑x(n)W,0≤k≤N 比较可得 X(k)=X(),0≤k≤N (1.3) 0≤k<N-1 (1.3)式表明:序列x()的N点DF是x(n)的Z变换在单位国上的N点等间隔采 样。(.4)式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变换x(e)在区间[p,2r]上的N点等间 隔采样。由此可见,DFT的变换区间长度N不同,表示对x(e")在[02z]区间上的 采样间隔和采样点数不同,所以DFT的变换结果不同 (a)x(η)的幅频特性曲线 0 0.20.40.60.811.21.41.61.8 (b)x()的8点DFT (c)x(n)的16点DFT 15 图3.1.1R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系
( ) ( ) ( ) 1 0 , 0 1 N kn N n X k DFT x n x n W k N − = = = − 比较可得 ( ) ( ) 2 , 0 1 j k z e N X k X z k N = = − (1.3) 或 ( ) ( ) 2 , 0 1 k N j X k X e k N = = − (1.4) (1.3)式表明：序列 x n( ) 的 N 点 DFT 是 x n( ) 的 Z 变换在单位圆上的 N 点等间隔采 样。(1.4)式则说明 X k( ) 为 x n( ) 的傅里叶变换 ( ) j X e 在区间 0,2 上的 N 点等间 隔采样。由此可见，DFT 的变换区间长度 N 不同，表示对 ( ) j X e 在 0,2 区间上的 采样间隔和采样点数不同，所以 DFT 的变换结果不同。 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 2 4 / 幅 度 (a)x(n)的幅频特性曲线 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 k 幅 度 (b)x(n)的 8点 DFT 0 5 10 15 0 2 4 k 幅 度 (c)x(n)的 16点 DFT 图 3.1.1 R4（n）的 FT 和 DFT 的幅度特性关系
3.1.3DFT的隐含周期性 1、(k)的周期性 由于 W=W(+mN),k,mN均为整数 所以 (k+mN)n 同理,有 x(n+mv)=x(n) 实际上,任何周期为N的周期序列x(n)都可以看作长度为N的有限长序列 x(n)的周期延拓序列,而x(m)则是(m)的一个周期,即 (n)=∑x(n+mN) (1.5) x(n)=x(n). R( 主值区间与主值序列 般定义周期序列c(m)中从n=0到N-1的第一个周期为x(m)的主信区凤,而 主值区间上的序列称为x(m)的主信序烈因此,上述关系可以叙述为:x(m)是 x(m)的眉廼拓庐烈x(m)是(η)的主信序列 为了叙述方便,将(1.5)表示为 (1.7) 式中x()表示x()以N周期的周期延拓序列,x(m)表示n对N求余,即如 n=MN+n10≤n1≤N-1,M为整数
3.1.3 DFT 的隐含周期性 1、 X k( ) 的周期性 由于 ( ) , , , k k mN W W k m N N N + = 均为整数 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 N N k mN n kn N N n n X k mN x n W x n W X k − − + = = + = = = 同理，有 x n mN x n ( + =) ( ) 实际上，任何周期为 N 的周期序列 x n( ) 都可以看作长度为 N 的有限长序列 x n( ) 的周期延拓序列，而 x n( ) 则是 x n( ) 的一个周期，即 ( ) ( ) m x n x n mN =− = + (1.5) x n x n R n ( ) = ( ) N ( ) (1.6) 2、主值区间与主值序列 一般定义周期序列 x n( ) 中从 n=0 到 N-1 的第一个周期为 x n( ) 的主值区间，而 主值区间上的序列称为 x n( ) 的主值序列。因此，上述关系可以叙述为： x n( ) 是 x n( ) 的周期延拓序列； x n( ) 是 x n( ) 的主值序列。 为了叙述方便，将(1.5)表示为 ( ) (( ))N x n x n = (1.7) 式中 (( ))N x n 表示 x n( ) 以 N 周期的周期延拓序列， (( ))N x n 表示 n 对 N 求余，即如 果 1 1 n MN n n N = + − , 0 1，M 为整数
则 (m)=n1 3、离散傅里叶变换与离散傅里叶级数的关系 如果x(n)的长度为N,且(m)=x(m),则 x(k)=∑(m)W如=∑x(m)W=∑x(n)W (1.8) X(k)y X(k)W k=0 式中 X(k)=X(kRN (k) (1.10) 为X(k)主值序列。可得:有限长序列x(n)的离散傅里叶变换x(k),正好是x(n) 的周期延拓序列x(m)的离散傅里叶级数系数X(k)的主值序列,即 X(k)=X(k)R(k)。 4、 MATLAB计算 fft(x) fft(x, n) 【例3.1.2】
则 (( )) 1 N n n = 3、离散傅里叶变换与离散傅里叶级数的关系 如果 x n( ) 的长度为 N，且 ( ) (( ))N x n x n = ，则 ( ) ( ) (( )) ( ) 1 1 1 0 0 0 N N N kn kn kn N N N N n n n X k x n W x n W x n W − − − = = = = = = (1.8) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 1 N N kn kn N N k k x n X k W X k W N N − − − − = = = = (1.9) 式中 X k X k R k ( ) = ( ) N ( ) (1.10) 为 X k( ) 主值序列。可得：有限长序列 x n( ) 的离散傅里叶变换 X k( ) ，正好是 x n( ) 的周期延拓序列 (( ))N x n 的离散傅里叶级数系数 X k( ) 的主值序列，即 X k X k R k ( ) = ( ) N ( )。 4、MATLAB 计算 fft(x) fft(x,n) 【例 3.1.2】
(a)16点DFT幅频特性 (b)16点DFT相频特性 005 15 (c)32点DFT幅频特性 d)32点DFT相频特性 2 00.5 1.5 32离散傅里叶变换的基本性质 3.2.1线性性质 若x1(n)和x(n)是两个有限长序列,长度分别为N和N2,且 y(n)=ax,(n)+bx2(x) 式中,a,b为常数,取N=max[N1,N2],则y(n)的N点DFT为 y(k)=DFTLy(n)=ax, ( k)+bX2 (k),0<<N-1 (2.1) 其中X(k)和X2(k)分别为x(m)和x(n)的N点DFT 3.2.2循环移位性质 1、序列的循环移位 设x(m)为有限长序列,长度为N,则x(n)的循环移位定义为:
0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 / 幅 度 (a)16点 DFT幅频特性 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1 0 1 2 / 相 位 (b)16点 DFT相频特性 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 / 幅 度 (c)32点 DFT幅频特性 0 0.5 1 1.5 2 -4 -2 0 2 4 / 相 位 (d)32点 DFT相频特性 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.2.1 线性性质 若 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 是两个有限长序列，长度分别为 N1 和 N2 ，且 y n ax n bx x ( ) = + 1 2 ( ) ( ) 式中，a,b 为常数，取 N N N = max , 1 2 ，则 y n( ) 的 N 点 DFT 为 Y k DFT y n aX k bX k ( ) = = + ( ) 1 2 ( ) ( ), ０ k N-1 (2.1) 其中 X k 1 ( ) 和 X k 2 ( ) 分别为 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 的 N 点 DFT。 3.2.2 循环移位性质 1、序列的循环移位 设 x n( ) 为有限长序列，长度为 N，则 x n( ) 的循环移位定义为：
y(n)=x(n+m)() 即:将x(n)以N为周期进行周期延拓得到(n)=x(n),再将(n)左移m位得到 X(n+m),最后取x(n+m)的主值序列就得到有限长序列x(n)的循环移位序列 y(n)。即:循环移位的实质是x(m)左移皿位,而移出去着区(0≤n≤N-1)丝 序列值又依次从右侧进入主区凤。 2、时域循环移位定理 设x(m)是长度为N的有限长序列,y(n)为x(m)的循环移位,即 y(m)=x(n+m)、R(n) 则 Y(k)=DFTLy(n)]=Wxo x(k) (2.3) 其中X(k)=DFT[x(n)]0≤k≤N-1 3、频域循环移位定理证明 X(k)=DFT[x(n)0≤k≤N-1 (k)=X(k+D)、R3(k) 则 y(n)=IDFTLY(K)]=W'x(n) 3.23循环卷积性质 1、循环卷积 有限长序列x(n)和x2(n),长度分别为N1和N2,N=max[N,N2]。x1(m)和 x2(m)的N点DF分别为:
( ) (( )) ( ) N N y n x n m R n = + (2.2) 即：将 x n( ) 以 N 为周期进行周期延拓得到 ( ) (( ))N x n x n = ，再将 x n( ) 左移 m 位得到 x n m ( + ) ，最后取 x n m ( + ) 的主值序列就得到有限长序列 x n( ) 的循环移位序列 y n( ) 。即：循环移位的实质是将 x n( ) 左移 m 位，而移出主治区间 (0 1 − n N ) 的 序列值又依次从右侧进入主治区间。 2、时域循环移位定理 设 x n( ) 是长度为 N 的有限长序列， y n( ) 为 x n( ) 的循环移位，即 ( ) (( )) N ( ) N y n x n m R n = + 则 ( ) ( ) ( ) kn Y k DFT y n W X k N − = = (2.3) 其中 X k DFT x n k N ( ) = − ( ) ,0 1 。 3、频域循环移位定理证明 若 X k DFT x n k N ( ) = − ( ) ,0 1 ( ) (( )) N ( ) N Y k X k l R k = + 则 ( ) ( ) ( ) nl N y n IDFT Y k W x n = = (2.4) 3.2.3 循环卷积性质 1、循环卷积 有限长序列 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( )，长度分别为 N1 和 N2 ， N N N = max , 1 2 。 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 的 N 点 DFT 分别为：
X,(k)=DFT[=,(n)] X2(k)=DFT[x2(n)] 如果 X(k)=X1(k)k2(k) 则 x(n)=IDFTLX()]=2x,(m)*(n-m), RN(n) (2.5) 或 x(n)=DFTLX(k)]=2*2(m)x,(n-m))R(n 般称(2.5)式为所表示的运算为x(m)和x2(n)的循环卷积 2、循环卷积的公式证明 对(2.5)式两边进行DFT,则有 X(k)=DFT[x(n)] *(m)x2(n-m)RN(n)W 令n-m=n,则有 x(k)=∑x(m)∑x1(n)W*m x(m)如 x2(7) 因为上式中x1(n)形是以N为周期的,所以对其在任一个周期商丘和的结果不 变。因此
X k DFT x n 1 1 ( ) = ( ) X k DFT x n 2 2 ( ) = ( ) 如果 X k X k X k ( ) = 1 2 ( ) ( ) 则 ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 1 1 2 0 N N N m x n IDFT X k x m x n m R n − = = = − (2.5) 或 ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 1 2 1 0 N N N m x n IDFT X k x m x n m R n − = = = − 一般称(2.5)式为所表示的运算为 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 的循环卷积。 2、循环卷积的公式证明 对(2.5)式两边进行 DFT，则有 ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) ( ) (( )) 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 0 N N kn N N N n m N N kn N N m n X k DFT x n x m x n m R n W x m x n m W − − = = − − = = = = − = − 令 n m n − = ，则有 ( ) ( ) (( )) ( ) ( ) (( )) 1 1 1 2 0 1 1 1 2 0 N N m k n m N m n m N N N m kn kn N N m n m N X k x m x n W x m W x n W − − − + = =− − − − = =− = = 因为上式中 2 (( )) kn N N x n W 是以 N 为周期的，所以对其在任一个周期商丘和的结果不 变。因此
x(k)=∑x(m)W·∑x(n)W=X1(k)2(k),0≤k≤N-1 3、循环卷积的实现 step1:先将x(m)周期化,形成x1(m),再反转形成x1(-m),并取主 值序列x(-m)R( step2:对x(m)的循环反转序列循环移位n,形成x2(n-m)R、(m),当 n=0,1,…N-1时,分别将x(m)与x1(m-m)R(m)相乘,并对m在0-(N-1) 区间商求和,便得 4、循环卷积的表 x(n)=2x(m)x2(n-m), R(n)=x(n)@x2( 5、循环卷积定理 有限长序列x(m)和x(n)的长度分别为N和N,N=max[M,N2],x(m)和 x2(m)的N点循环卷积为 x(n)=x(n)x2(n)=2x(m)x2(n-m)),RN(n) 则x(m)的N点DF为 X(k)=DFT[x(n)I=X,(k)X2(k) (2.7) X,(k)=DFTLx,(n)I X2(k)=DFT=2(n)] 6、时域循环卷积定理
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 0 0 , 0 1 N N kn kn N N m n X k x m W x n W X k X k k N − − = = = = − 3、循环卷积的实现 Step 1: 先将 x m2 ( ) 周期化，形成 2 (( ))N x m ，再反转形成 2 (( ))N x m− ，并取主 值序列 2 (( )) N ( ) N x m R m − 。 Step 2: 对 x m2 ( ) 的循环反转序列循环移位 n，形成 2 (( )) N ( ) N x n m R m − ，当 n=0,1,…,N-1 时，分别将 x m1 ( ) 与 2 (( )) N ( ) N x n m R m − 相乘，并对 m 在 0 1 (N − ) 区间商求和，便得。 4、循环卷积的表示 ( ) ( ) (( )) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 0 N N N m x n x m x n m R n x n x n − = = − = 5、循环卷积定理 有限长序列 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 的长度分别为 N1和 N2， N N N = max , 1 2 ， x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 的 N 点循环卷积为 ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 1 1 2 1 2 0 N N N m x n x n x n x m x n m R n − = = = − (2.6) 则 x n( ) 的 N 点 DFT 为 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) N X k DFT x n X k X k = = (2.7) 其中， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 N N X k DFT x n X k DFT x n = = 6、时域循环卷积定理 若
xi(n)x2 则 DFTLx(n)=+, (k)8 x2(k) (2.8) 1∑x()x:(k-D)R1(k) 或 X(k)=DF[x(m)]=1X2(k)8x1(k) X2()X(k-)、R(k) 其中 X,(k)=DFT[x, (n) x2()=DFT[x2(n)I0 0≤k≤N-1 3.2.4复共轭序列的DFT 设x(n)是x(n)的复共轭序列,长度为N Y(k=dFT x( 则 DFT[x(n)=X(N-k),ask<N-1 且 (N)=x(O) 3.2.5DFT的共轭对称性 1、有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 分别用x(m)和x(n)分别表示有限长热对称序列和送反对称序型,则有 如下定义
x n x n x n ( ) = 1 2 ( ) ( ) 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 1 2 1 1 2 0 1 1 N N N l X k DFT x n X k X k N X l X k l R k N − = = = = − (2.8) 或 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) 2 1 1 2 1 0 1 1 N N N l X k DFT x n X k X k N X l X k l R k N − = = = = − 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 , 0 1 X k DFT x n k N X k DFT x n = − = 3.2.4 复共轭序列的 DFT 设 ( ) * x n 是 x n( ) 的复共轭序列，长度为 N， X k DFT x n ( ) = ( ) 则 ( ) ( ) * * DFT x n X N k = − , 0 k N-1 且 X N X ( ) = (0) 3.2.5 DFT 的共轭对称性 1、有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 分别用 x n ep ( ) 和 x n op ( ) 分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则有 如下定义式：
(n)=x(N-n),0≤n≤N1 x(n)=-x7(N-n),0≤n≤N-1 当N为偶数时,将上式中的n换成N/2-n,可得 N 0≤n≤-1 2 2 <n< 可以证明 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样,任何有限长序 列x(m)也都可以表示成其共轭对称序列和共轭反对称序列之和,即 (n)=x2(m)+x(m),0≤n≤N-1 将上式中的n换成N-n,并取复共轭,再将(2.9)和(2.10)式代入,得到 x( (2.12) 将(2.11)是减去(2.12),可得 xep(n)=5x(n)+x(N-n)I (2.13) (n)=x(n)-x(N 2、DFT的共轭对称性 (1)若x(n)=x(n)+r(m) 其中 (n)=Re[x()]=[x(n)+x(n) x(m)=/m[x(m)]=5[x(n)-x(m)] 两边同时取DFT,可得
( ) ( ) * ep ep x n x N n = − ， ０ n N-1 (2.9) ( ) ( ) * , 0 1 op op x n x N n n N = − − − (2.10) 当 N 为偶数时，将上式中的 n 换成 N/2-n，可得： * , 0 1 2 2 2 ep ep N N N x n x n n − = + − * , 0 1 2 2 2 op op N N N x n x n n − = − + − 可以证明： 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序 列 x n( ) 也都可以表示成其共轭对称序列和共轭反对称序列之和，即 ( ) ( ) ( ), 0 1 ep op x n x n x n n N = + − (2.11) 将上式中的 n 换成 N-n，并取复共轭，再将(2.9)和(2.10)式代入，得到： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * ep op ep op x N n x N n x N n x n x n − = − + − = − (2.12) 将(2.11)是减去(2.12)，可得： ( ) ( ) ( ) 1 * 2 ep x n x n x N n = + − (2.13) ( ) ( ) ( ) 1 * 2 op x n x n x N n = − − (2.14) 2、DFT 的共轭对称性 （1）若 x n x n jx n ( ) = + r i ( ) ( ) 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * Re 2 r x n x n x n x n = = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * Im 2 i jx n j x n x n x n = = − 两边同时取 DFT，可得