第六章无限脉冲响应数字滤波器的 设计 61数字滤波器的基本概念 数字滤波器的概念 数字滤波器是指输入、输出均为数字信号,通过一定运算关系改变输入信号 所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件和程序 说明 数字滤波器的概念和模拟滤波器相同,只是信号形式和实现滤波器方法 不同; 数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定性好、体积小、重量轻、灵 活、不要求阻抗匹配以及可实现特殊滤波功能等特点。 ●模拟信号通过A①和DA转换也可以使用数字滤波器进行滤波, 2、数字滤波器的分类 (1)数字滤波器有多种分类方法 从所处理信号的频率分布看,可分为 经典滤波器 输入信号中有用的频率成分和希望滤出的频率成分各占不同的频 带,通过选频滤波器实现滤波目的。 现代滤波器 一信号和干扰的频谱相互重叠,根据信号的统计特性实现滤波目的。 (2)经典数字滤波器分类 根据滤波特性,可分为: 低通滤波器 高通滤波器
第六章 无限脉冲响应数字滤波器的 设计 6.1 数字滤波器的基本概念 1、数字滤波器的概念 数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号 所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件和程序。 说明： ⚫ 数字滤波器的概念和模拟滤波器相同，只是信号形式和实现滤波器方法 不同； ⚫ 数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定性好、体积小、重量轻、灵 活、不要求阻抗匹配以及可实现特殊滤波功能等特点。 ⚫ 模拟信号通过 A/D 和 D/A 转换也可以使用数字滤波器进行滤波。 2、数字滤波器的分类 （1）数字滤波器有多种分类方法 ⚫ 从所处理信号的频率分布看，可分为： ➢ 经典滤波器 ——输入信号中有用的频率成分和希望滤出的频率成分各占不同的频 带，通过选频滤波器实现滤波目的。 ➢ 现代滤波器 ——信号和干扰的频谱相互重叠，根据信号的统计特性实现滤波目的。 （2）经典数字滤波器分类 ⚫ 根据滤波特性，可分为： ➢ 低通滤波器 ➢ 高通滤波器
带通滤波器 带阻滤波器 根据实现的网络结构或者单位脉冲响应,可分为 无限脉冲响应(IR)滤波器 有限脉冲响应(FIR)滤波器 ●根据滤波器对信号的处理作用,可分为 选频滤波器 其他滤波器 3、数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的传输函数H(e")用下式表示: H 其中,H()称为幅颜件丝,表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况 Q(a)称为相频特性,反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。 一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出,相频特性一般不作要求,但如 果对输出波形有要求,则需要考虑相频特性的技术指标。 在实际应用中,各种理想滤波器很难实现,通带和阻带也都允许一定的误差 容限,在通带与阻带之间还应设置一定宽度的过渡带。 H(e! l-61 0.707
➢ 带通滤波器 ➢ 带阻滤波器 ⚫ 根据实现的网络结构或者单位脉冲响应，可分为： ➢ 无限脉冲响应（IIR）滤波器 ➢ 有限脉冲响应（FIR）滤波器 ⚫ 根据滤波器对信号的处理作用，可分为： ➢ 选频滤波器 ➢ 其他滤波器 3、数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的传输函数 ( ) j H e 用下式表示： ( ) ( ) j j jQ( ) H e H e e = 其中， ( ) j H e 称为幅频特性，表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况； Q() 称为相频特性，反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。 一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，相频特性一般不作要求，但如 果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标。 Note： 在实际应用中，各种理想滤波器很难实现，通带和阻带也都允许一定的误差 容限，在通带与阻带之间还应设置一定宽度的过渡带
图6.1.2低通滤波器的技术要求 on:通带边界频率 ,:阻带截止频率 通带频率范围为0≤叫≤On,要求(1-)<H(e)s1 阻带频率范围为a≤slx,要求H(e")≤a 片段常数特性 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示,通带内允许的最大衰减用a 表示,阻带内允许的最小衰减用a,表示,分别定义为: =20g/(e (H(e ldB 如将(0)归一化为1,又可表示为 ap=-201gH(e")dB a1=20g|(e~)dB 当幅度下降到时,O=O2,此时an=3B,称o为3dB通带截止频率。On、 o和o,统称为边界频率。 数字滤波器设计方法概述 (1)IR滤波器和FIR滤波器的设计方法不同。 (2)IR滤波器设计方法有 ●间接法:借助模拟滤波器的设计方法设计。先设计模拟滤波器得到传输
图 6.1.2 低通滤波器的技术要求 p ：通带边界频率 s ：阻带截止频率 通带频率范围为 0 p ，要求 (1 1 1 ) ( ) j H e − 阻带频率范围为 s ，要求 ( ) 2 j H e 片段常数特性 通带内和阻带内允许的衰减一般用 dB 数表示，通带内允许的最大衰减用 p 表示，阻带内允许的最小衰减用 s 表示，分别定义为： ( ) ( ) 0 20lg p j p j H e dB H e = ( ) ( ) 0 20lg s j s j H e dB H e = 如将 ( ) j0 H e 归一化为 1，又可表示为 20lg ( ) p j p H e dB = −20lg ( ) s j s H e dB = − 当幅度下降到 2 2 时， = c ，此时 3 p = dB ，称 c 为 3dB 通带截止频率。p 、 c 和 s 统称为边界频率。 4、数字滤波器设计方法概述 （1）IIR 滤波器和 FIR 滤波器的设计方法不同。 （2）IIR 滤波器设计方法有： ⚫ 间接法：借助模拟滤波器的设计方法设计。先设计模拟滤波器得到传输
函数H2(s),然后将H2(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(-)。优 点是可以直接利用模拟滤波器设计的成果。 直接法:直接在频域或者时域进行设计。需要求解联立方程,需要计算 机辅助。 (3)FIR滤波器设计方法有 窗函数法 频率采样法 ●切比雪夫等波纹逼近法 (4)对于线性相位滤波器,通常采用FR滤波器,其单位脉冲响应满足一定 条件,可以证明其相位特性在整个频带中是严格线性的,这是模拟滤波器无法达 到的。也可以采用IR滤波器,但必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相 位校正。 62模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展的相当成熟,且有若干典型的模拟 滤波器供我们选择,如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、贝塞尔滤波 器等,这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员 使用。 ●模拟滤波器按幅度特性可分成低通、髙通、带通和带阻滤波器,如图所 小:
函数 H s a ( ) ，然后将 H s a ( ) 按某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H z( ) 。优 点是可以直接利用模拟滤波器设计的成果。 ⚫ 直接法：直接在频域或者时域进行设计。需要求解联立方程，需要计算 机辅助。 （3） FIR 滤波器设计方法有 ⚫ 窗函数法 ⚫ 频率采样法 ⚫ 切比雪夫等波纹逼近法 （4）对于线性相位滤波器，通常采用 FIR 滤波器，其单位脉冲响应满足一定 条件，可以证明其相位特性在整个频带中是严格线性的，这是模拟滤波器无法达 到的。也可以采用 IIR 滤波器，但必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相 位校正。 6.2 模拟滤波器的设计 ⚫ 模拟滤波器的理论和设计方法已发展的相当成熟，且有若干典型的模拟 滤波器供我们选择，如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、贝塞尔滤波 器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员 使用。 ⚫ 模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器，如图所 示：
低通 高通 带通 带阻 图621各种理想滤波器的幅频特性 设计波器时,总是先投计低通滤波器,在通过频率变换瘩低迺滤波器搀 成望类型的滤放器 1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 (1)设计指标 设计模拟滤波器时,设计指标一般由幅频函数。()给出,有an、9、a, 和Ω HaGs 0.707 g 9. 图622低通滤波器的幅频特性 工程实际中,通常用损耗函数(或称为衰减函数)A(2)来描述滤波器的幅 频特性,有 A()=-20lg|(9)=-10g(9)dB 技术指标
) ( j Ha O O O O O 低通 带通 带阻 高通 ) ( j Ha O ) ( j Ha O ) ( j Ha O 0 0 c 0 图 6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，在通过频率变换将低通滤波器转换 成希望类型的滤波器。 1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 （1）设计指标 设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频函数 H j a ( ) 给出，有 p 、 p 、 s 和 s 。 图 6.2.2 低通滤波器的幅频特性 工程实际中，通常用损耗函数（或称为衰减函数） A() 来描述滤波器的幅 频特性，有 ( ) ( ) ( ) 2 20lg 10lg A H j H j dB = − = − a a (1) 技术指标
a,和a:通带最大衰减和阻带最小衰减 Ωn和Ω:通带边界频率和阻带截止频率 H LS 101g Ha(2, g2:3dB截止频率,即 lg{H2(92) δ和a2:通带和阻带波纹幅度,有 20lg(-a) 201go (2)逼近方法 根据给定后的滤波器技术指标,设计一个传输函数H2(),使其幅度平 方函数满足给定指标a和a.。具体地讲,设滤波器的单位冲击响应为实 数,则 H(n)=H2(S)H1(-s)l-a=H()() 如果能由an、92、a,和旦求出H(A),那么就可求出所需要的 Hn(3) 稳定性问题 巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数H2(92)为
p 和 s ：通带最大衰减和阻带最小衰减 p 和 s ：通带边界频率和阻带截止频率 ( ) 2 10lg p a p = − H j (2) ( ) 2 10lg s a s = − H j (3) c ：3dB 截止频率，即 − = 20lg 3 H j dB a c ( ) 1 和 2 ：通带和阻带波纹幅度，有 p = − − 20lg 1( 1 ) (4) 2 20lg s = − (5) （2）逼近方法 ⚫ 根据给定后的滤波器技术指标，设计一个传输函数 H s a ( ) ，使其幅度平 方函数满足给定指标 p 和 s 。具体地讲，设滤波器的单位冲击响应为实 数，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * H j H s H s H j H j a a a s j a a = − = = 如果能由 p 、 p 、 s 和 s 求出 ( ) 2 H j a ，那么就可求出所需要的 H s a ( ) 。 ⚫ 稳定性问题 2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法 ⚫ 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 ( ) 2 H j a 为
Q 其中,N称为滤波器的阶数。如图所示: 图623巴特沃斯幅度特性和N的关系 讨论: (1)9=0和9=旦时,|H2()的值 (2)|H2(9)与滤波阶数的关系。 HfΩ N=2 N=4 巴特沃斯低通滤波器幅度特性与Ω和N的关系 将()改写成s的函数: H2(s)H2(-s)= 此时表明幅度平方函数有2N个极点,极点s可表示为 (2) k=0,12,…,(2N-1) 2N个极点等间隔分布在半径为9的圆上,间隔为rad
( ) 2 2 1 1 a N c H j = + 其中，N 称为滤波器的阶数。如图所示： 图 6.2.3 巴特沃斯幅度特性和 N 的关系 讨论： （1） = 0 和 = c 时， H j a ( ) 的值。 （2） H j a ( ) 与滤波阶数的关系。 巴特沃斯低通滤波器幅度特性与和 N 的关系 将 ( ) 2 H j a 改写成 s 的函数： ( ) ( ) 2 1 1 a a N c H s H s s j − = + 此时表明幅度平方函数有 2N 个极点，极点 k s 可表示为： ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 , 0,1,2, , 2 1 2 k j N N k c c s j e k N + + = − = = − 2N 个极点等间隔分布在半径为 c 的圆上，间隔为 rad N
5z 图624三阶巴特沃斯滤波器极点分布(N=3) (2)确定巴特沃斯滤波器的传输函数H(s) 为形成稳定的滤波器,只取s平面左半面的N个极点构成H(s),右半面的 N个极点构成H4(-s)。H(s)的表示式为 (S-Sk) 为使设计统一,将所有的频率对3dB截止频率g归一化,得 H2(s) SS 式中,S_Ω 令A=旦,称为归一化频率:令p=几,称为归一化复变量,这样归一化巴 特沃斯的传输函数为 H(P)=N p-p 式中,P4为归一化极点
图 6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布（N=3） （2）确定巴特沃斯滤波器的传输函数 H s a ( ) 为形成稳定的滤波器，只取 s 平面左半面的 N 个极点构成 H s a ( ) ，右半面的 N 个极点构成 H s a (− ) 。 H s a ( ) 的表示式为 ( ) ( ) 1 0 N c a N k k H s s s − = = − 为使设计统一，将所有的频率对 3dB 截止频率 c 归一化，得 ( ) 1 0 1 a N k k c H s s s − = = − 式中， c c s j = 。 令 c = ，称为归一化频率；令 p j = ，称为归一化复变量，这样归一化巴 特沃斯的传输函数为 ( ) ( ) 1 0 1 a N k k H p p p − = = − (1.6) 式中， k p 为归一化极点
Pk k=0,1, (1.7) 这样,只要根据技术指标求出阶数N,按照(1.7)求出N个极点,再按照(1.6)得到 归一化的传输函数H(p),若确定,再去归一化,即将P==,代入 l(p)中,便得到实际的传输函数。 将极点表示式(7)代入(16可得 H,(p) (18) b+b 归一化的传输函数H2(P)的系数bk=0,1…,N-1,以及极点,可由表查得 (3)阶数N的确定方法 阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度,它应该由技术指标an、92、a,和 2确定 具体步骤如下: Step 1:将9=9代入幅度平方函数 H2(A)= 然后,代入a=-10g(),得 =10 step:将9=9代入(19),再将H2(A)代入,a=-10g(),得 (1.11) Step3:由(1.10)和(1.11)式可得
1 2 1 2 2 , 0,1, , 1 j N k p e k N + + = = − (1.7) 这样，只要根据技术指标求出阶数 N，按照(1.7)求出 N 个极点，再按照(1.6)得到 归一化的传输函数 H p a ( ) ，若确定 c ，再去归一化，即将 c s p j = = ，代入 H p a ( ) 中，便得到实际的传输函数。 将极点表示式(1.7)代入(1.6)可得 ( ) 1 0 1 1 1 a N N N H p b b p b p p − − = + + + + (1.8) 归一化的传输函数 H p a ( ) 的系数 , 0,1, , 1 k b k N = − ，以及极点，可由表查得。 （3）阶数 N 的确定方法 阶数 N 的大小主要影响幅度特性下降速度，它应该由技术指标 p 、 p 、 s 和 s 确定。 具体步骤如下： Step 1: 将 = p 代入幅度平方函数 ( ) 2 2 1 1 a N c H j = + (1.9) 然后，代入 ( ) 2 10lg p a p = − H j ，得 2 10 1 10 p N a p c + = (1.10) Step 2: 将 = s 代入(1.9)，再将 ( ) 2 H j a s 代入， ( ) 2 10lg s a s = − H j ，得 2 10 1 10 s N a s c + = (1.11) Step 3: 由(1.10)和(1.11)式可得
1010-1 令 则 Ig k (1.12) lgλ 取大于等于N的最小整数 Step4:若技术指标中未给出3dB截止频率Ω’可以按照(1.10)式或(1.1) 式求出。由(1.10)式可得 由(1.11)式可得 00 (1.14) 若采用(1.13)式确定Ω,则阻带指标有富裕量;若采用(1.14)式确定Ω,则通 带指标有富裕量。 (4)低通巴特沃思滤波器设计步骤 Step 1:根据技术指标an、92、a,和9,用(1.12)式求出滤波器的阶数N Step2:按照(1.7)式,求出归一化极点p,将p代入(1.6)式,得到归 化传输函数H(p)。也可以根据阶数N查表求极点P和归一化传输函数H2(p)。 step3:将H(p)去归一化。将p=/9代入H2(P),得到实际的滤波器传 输函数H(s)。9若未给出,可按(1.13)式或(1.14)式求出。 表6.2.1巴特沃思归一化低通滤波器参数
10 10 10 1 10 1 p s a N p a s − = − 令 s sp p = ， 10 10 10 1 10 1 p s a sp a k − = − ，则 lg lg sp sp k N = − (1.12) 取大于等于 N 的最小整数。 Step 4: 若技术指标中未给出 3dB 截止频率 c ，可以按照(1.10)式或(1.11) 式求出。 由(1.10)式可得 ( ) 1 0.1 2 10 1 p a N c p − = − (1.13) 由(1.11)式可得 ( ) 1 0.1 2 10 1 s a N c s − = − (1.14) 若采用(1.13)式确定 c ，则阻带指标有富裕量；若采用(1.14)式确定 c ，则通 带指标有富裕量。 （4）低通巴特沃思滤波器设计步骤 Step 1: 根据技术指标 p 、 p 、 s 和 s ，用(1.12)式求出滤波器的阶数 N； Step 2: 按照(1.7)式，求出归一化极点 k p ，将 k p 代入(1.6)式，得到归一 化传输函数 H p a ( ) 。也可以根据阶数 N 查表求极点 k p 和归一化传输函数 H p a ( ) 。 Step 3: 将 H p a ( ) 去归一化。将 / c p s = 代入 H p a ( ) ，得到实际的滤波器传 输函数 H s a ( ) 。 c 若未给出，可按(1.13)式或(1.14)式求出。 表 6.2.1 巴特沃思归一化低通滤波器参数