第六章无限脉冲响应数字滤波器的 设计 61数字滤波器的基本概念 1、数字滤波器的概念 数字滤波器是指输入、输出均为数字信号,通过一定运算关系改变输入信号 所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件和程序。 说明: 数字滤波器的概念和模拟滤波器相同,只是信号形式和实现滤波器方法 不同 数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定性好、体积小、重量轻、灵 活、不要求阻抗匹配以及可实现特殊滤波功能等特点。 ●模拟信号通过A/D和DA转换也可以使用数字滤波器进行滤波 2、数字滤波器的分类 (1)数字滤波器有多种分类方法 从所处理信号的频率分布看,可分为: 经典滤波器 输入信号中有用的频率成分和希望滤出的频率成分各占不同的频 带,通过选频滤波器实现滤波目的 现代滤波器 -信号和干扰的频谱相互重叠,根据信号的统计特性实现滤波目的。 (2)经典数字滤波器分类 根据滤波特性,可分为 低通滤波器 高通滤波器
第六章 无限脉冲响应数字滤波器的 设计 6.1 数字滤波器的基本概念 1、数字滤波器的概念 数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号 所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件和程序。 说明： 数字滤波器的概念和模拟滤波器相同，只是信号形式和实现滤波器方法 不同； 数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定性好、体积小、重量轻、灵 活、不要求阻抗匹配以及可实现特殊滤波功能等特点。 模拟信号通过 A/D 和 D/A 转换也可以使用数字滤波器进行滤波。 2、数字滤波器的分类 （1）数字滤波器有多种分类方法 从所处理信号的频率分布看，可分为： 经典滤波器 ——输入信号中有用的频率成分和希望滤出的频率成分各占不同的频 带，通过选频滤波器实现滤波目的。 现代滤波器 ——信号和干扰的频谱相互重叠，根据信号的统计特性实现滤波目的。 （2）经典数字滤波器分类 根据滤波特性，可分为： 低通滤波器 高通滤波器
带通滤波器 带阻滤波器 ●根据实现的网络结构或者单位脉冲响应,可分为: 无限脉冲响应(IR)滤波器 有限脉冲响应(FIR)滤波器 ●根据滤波器对信号的处理作用,可分为 选频滤波器 其他滤波器 3、数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的传输函数H(e)用下式表示 H(e/)=H(ee )e le) 其中,|H(e-)称为幅颜特性,表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况 Q()称为相频特性,反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况 一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出,相频特性一般不作要求,但如 果对输出波形有要求,则需要考虑相频特性的技术指标 在实际应用中,各种理想滤波器很难实现,通带和阻带也都允许一定的误差 容限,在通带与阻带之间还应设置一定宽度的过渡带 0.707 @p @
带通滤波器 带阻滤波器 根据实现的网络结构或者单位脉冲响应，可分为： 无限脉冲响应（IIR）滤波器 有限脉冲响应（FIR）滤波器 根据滤波器对信号的处理作用，可分为： 选频滤波器 其他滤波器 3、数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的传输函数 j H e 用下式表示： j j jQ H e H e e 其中， j H e 称为幅频特性，表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况； Q 称为相频特性，反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。 一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，相频特性一般不作要求，但如 果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标。 Note： 在实际应用中，各种理想滤波器很难实现，通带和阻带也都允许一定的误差 容限，在通带与阻带之间还应设置一定宽度的过渡带
图6.1.2低通滤波器的技术要求 O:通带边界频率 O,:阻带截止频率 通带频率范围为0s≤on,要求(-4)<H()≤ 阻带频率范围为asx,要求H(e) 片段常数特性 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示,通带内允许的最大衰减用a 表示,阻带内允许的最小衰减用a,表示,分别定义为 =20l He 201g 如将(2)归一化为1,又可表示为 a,=-201gH(e o)dB 当幅度下降到y时,=,此时a=3B,称O为3dB通带截止频率。o O和o,统称为边界频率 4、数字滤波器设计方法概述 (1)IR滤波器和FIR滤波器的设计方法不同。 (2)IR滤波器设计方法有 间接法:借助模拟滤波器的设计方法设计。先设计模拟滤波器得到传输
图 6.1.2 低通滤波器的技术要求 p ：通带边界频率 s ：阻带截止频率 通带频率范围为 0 p ，要求 1 1 1 j H e 阻带频率范围为 s ，要求 2 j H e 片段常数特性 通带内和阻带内允许的衰减一般用 dB 数表示，通带内允许的最大衰减用 p 表示，阻带内允许的最小衰减用 s 表示，分别定义为： 0 20lg p j p j H e dB H e 0 20lg s j s j H e dB H e 如将 j0 H e 归一化为 1，又可表示为 20lg p j p H e dB 20lg s j s H e dB 当幅度下降到 2 2 时， c ，此时 3 p dB ，称 c 为 3dB 通带截止频率。p 、 c 和 s 统称为边界频率。 4、数字滤波器设计方法概述 （1）IIR 滤波器和 FIR 滤波器的设计方法不同。 （2）IIR 滤波器设计方法有： 间接法：借助模拟滤波器的设计方法设计。先设计模拟滤波器得到传输
函数H2(s),然后将H2(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(-)。优 点是可以直接利用模拟滤波器设计的成果。 直接法:直接在频域或者时域进行设计。需要求解联立方程,需要计算 机辅助。 (3)FIR滤波器设计方法有 窗函数法 频率采样法 ●切比雪夫等波纹逼近法 (4)对于线性相位滤波器,通常采用FIR滤波器,其单位脉冲响应满足一定 条件,可以证明其相位特性在整个频带中是严格线性的,这是模拟滤波器无法达 到的。也可以采用IR滤波器,但必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相 位校正 62模拟滤波器的设计 ●模拟滤波器的理论和设计方法已发展的相当成熟,且有若干典型的模拟 滤波器供我们选择,如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、贝塞尔滤波 器等,这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员 使用。 ●模拟滤波器按幅度特性可分成低通、髙通、带通和带阻滤波器,如图所
函数 H s a ，然后将 H s a 按某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H z 。优 点是可以直接利用模拟滤波器设计的成果。 直接法：直接在频域或者时域进行设计。需要求解联立方程，需要计算 机辅助。 （3） FIR 滤波器设计方法有 窗函数法 频率采样法 切比雪夫等波纹逼近法 （4）对于线性相位滤波器，通常采用 FIR 滤波器，其单位脉冲响应满足一定 条件，可以证明其相位特性在整个频带中是严格线性的，这是模拟滤波器无法达 到的。也可以采用 IIR 滤波器，但必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相 位校正。 6.2 模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展的相当成熟，且有若干典型的模拟 滤波器供我们选择，如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、贝塞尔滤波 器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员 使用。 模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器，如图所 示：
高通 带通 带阻 图62.1各种理想滤波器的幅频特性 设计滤波器时,总是先设计低通滤波器,在通过颜率变换将低通滤波接换 成望类型的滤波器。 1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 (1)设计指标 设计模拟滤波器时,设计指标一般由幅频函数H2(x)给出,有an、9、a 和Ω2 团f2 0.707 n 32 图622低通滤波器的幅频特性 工程实际中,通常用损耗函数(或称为衰减函数)A(92)来描述滤波器的幅 频特性,有 4(2)=-20gH2(9)=-0lgH(A)dB 技术指标
) ( j Ha O O O O O 低通 带通 带阻 高通 ) ( j Ha O ) ( j Ha O ) ( j Ha O 0 0 c 0 图 6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，在通过频率变换将低通滤波器转换 成希望类型的滤波器。 1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 （1）设计指标 设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频函数 H j a 给出，有 p 、 p、 s 和 s 。 图 6.2.2 低通滤波器的幅频特性 工程实际中，通常用损耗函数（或称为衰减函数） A 来描述滤波器的幅 频特性，有 2 20lg 10lg A H j H j dB a a (1) 技术指标
a,和a,:通带最大衰减和阻带最小衰减 Ω和Ω:通带边界频率和阻带截止频率 101g Ha(Q,) 10lgH2(/2) g:3dB截止频率,即 3dB δ1和δ2:通带和阻带波纹幅度,有 an=-20g(1-) -201g 82 (2)逼近方法 根据给定后的滤波器技术指标,设计一个传输函数H(s),使其幅度平 方函数满足给定指标an和a1。具体地讲,设滤波器的单位冲击响应为实 数,则 H(n)=H(S)H1(-s)la=H()(p) 如果能由an、旦2、a,和9求出(2),那么就可求出所需要的 H 稳定性问题 2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法 ●巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|H(2)为
p 和 s ：通带最大衰减和阻带最小衰减 p 和 s ：通带边界频率和阻带截止频率 2 10lg p a p H j (2) 2 10lg s a s H j (3) c ：3dB 截止频率，即 20lg 3 H j dB a c 1 和 2 ：通带和阻带波纹幅度，有 p 20lg 1 1 (4) 2 20lg s (5) （2）逼近方法 根据给定后的滤波器技术指标，设计一个传输函数 H s a ，使其幅度平 方函数满足给定指标 p 和 s 。具体地讲，设滤波器的单位冲击响应为实 数，则 2 * H j H s H s H j H j a a a s j a a 如果能由 p 、 p 、 s 和 s 求出 2 H j a ，那么就可求出所需要的 H s a 。 稳定性问题 2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 2 H j a 为
其中,N称为滤波器的阶数。如图所示 图623巴特沃斯幅度特性和N的关系 讨论 (1)9=0和=9时,H(AO的值。 (2)|H(O与滤波阶数的关系 N=2 N 巴特沃斯低通滤波器幅度特性与Ω和N的关系 将|H()改写成s的函数 H2(s)H2(-s) 1+ 此时表明幅度平方函数有2N个极点,极点SA可表示为 S4=(-1)2(2)=9e :2) k=01,2,…(2N-1) 2N个极点等间隔分布在半径为9的圆上,间隔为mad
2 2 1 1 a N c H j 其中，N 称为滤波器的阶数。如图所示： 图 6.2.3 巴特沃斯幅度特性和 N 的关系 讨论： （1） 0 和 c 时， H j a 的值。 （2） H j a 与滤波阶数的关系。 巴特沃斯低通滤波器幅度特性与和 N 的关系 将 2 H j a 改写成 s 的函数： 2 1 1 a a N c H s H s s j 此时表明幅度平方函数有 2N 个极点，极点 k s 可表示为： 1 2 1 1 2 2 1 , 0,1,2, , 2 1 2 k j N N k c c s j e k N 2N 个极点等间隔分布在半径为 c 的圆上，间隔为 rad N
图624三阶巴特沃斯滤波器极点分布(N=3) (2)确定巴特沃斯滤波器的传输函数H2(s) 为形成稳定的滤波器,只取S平面左半面的N个板点构成H(s),右半面的 N个极点构成H(-s)。H(S)的表示式为 (s-S) 为使设计统一,将所有的频率对3dB截止频率Q归一化,得 H2(s) SK k=0 式中 S 令9,称为归一化频率:令P=,称为归一化复变量,这样归一化巴 特沃斯的传输函数为 H2(p) (P-P) 式中,p为归一化极点
图 6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布（N=3） （2）确定巴特沃斯滤波器的传输函数 H s a 为形成稳定的滤波器，只取 s 平面左半面的 N 个极点构成 H s a ，右半面的 N 个极点构成 H s a 。 H s a 的表示式为 1 0 N c a N k k H s s s 为使设计统一，将所有的频率对 3dB 截止频率 c 归一化，得 1 0 1 a N k k c H s s s 式中， c c s j 。 令 c ，称为归一化频率；令 p j ，称为归一化复变量，这样归一化巴 特沃斯的传输函数为 1 0 1 a N k k H p p p (1.6) 式中， k p 为归一化极点
Pk =e (2) 这样,只要根据技术指标求出阶数N,按照(1.7求出N个极点,再按照(16)得到 归一化的传输函数H(),若确定只,再去归一化,即将p=12=代入 H2(P)中,便得到实际的传输函数。 将极点表示式(17代入(16)可得 H2(p) (18) b+bP+…+b 归一化的传输函数H2(P)的系数bk=0.1…N-1,以及极点,可由表查得 (3)阶数N的确定方法 阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度,它应该由技术指标an92a,和 Ω确定。 具体步骤如下 Step1:将Ω=,代入幅度平方函数 H2() (1.9) 然后,代入an=-10gH,(2),得 (1.10) ip将9=92代入(19),再将H(n)代入,a=-101gH(A),得 Q2 Step3:由(1.10)和(111)式可得
1 2 1 2 2 , 0,1, , 1 j N k p e k N (1.7) 这样，只要根据技术指标求出阶数 N，按照(1.7)求出 N 个极点，再按照(1.6)得到 归一化的传输函数 H p a ，若确定 c ，再去归一化，即将 c s p j ，代入 H p a 中，便得到实际的传输函数。 将极点表示式(1.7)代入(1.6)可得 1 0 1 1 1 a N N N H p b b p b p p (1.8) 归一化的传输函数 H p a 的系数 , 0,1, , 1 k b k N ，以及极点，可由表查得。 （3）阶数 N 的确定方法 阶数 N 的大小主要影响幅度特性下降速度，它应该由技术指标 p 、 p、 s 和 s 确定。 具体步骤如下： Step 1: 将 p 代入幅度平方函数 2 2 1 1 a N c H j (1.9) 然后，代入 2 10lg p a p H j ，得 2 10 1 10 p N a p c (1.10) Step 2: 将 s 代入(1.9)，再将 2 H j a s 代入， 2 10lg s a s H j ，得 2 10 1 10 s N a s c (1.11) Step 3: 由(1.10)和(1.11)式可得
1010-1 令 则 Ig k (1.12) lg 取大于等于N的最小整数。 Step4:若技术指标中未给出3dB截止频率g,可以按照(1.10)式或(1.11) 式求出。由(1.10)式可得 由(1.11)式可得 g2=92(101-1) (1.14) 若采用(1.13)式确定Ω,则阻带指标有富裕量;若采用(1.14)式确定Ω,则通 带指标有富裕量。 (4)低通巴特沃思滤波器设计步骤 Step1:根据技术指标∝n、Ω、a,和Ω,用(1.12)式求出滤波器的阶数N Step2:按照(1.7)式,求出归一化极点p,将p代入(1.6)式,得到归 化传输函数H(p)。也可以根据阶数N查表求极点P和归一化传输函数H(p)。 Step3:将H(p)去归一化。将p=s/9代入H2(p),得到实际的滤波器传 输函数H(s)。92若未给出,可按(1.13)式或(1.14)式求出 表6.2.1巴特沃思归一化低通滤波器参数
10 10 10 1 10 1 p s a N p a s 令 s sp p ， 10 10 10 1 10 1 p s a sp a k ，则 lg lg sp sp k N (1.12) 取大于等于 N 的最小整数。 Step 4: 若技术指标中未给出 3dB 截止频率 c ，可以按照(1.10)式或(1.11) 式求出。 由(1.10)式可得 1 0.1 2 10 1 p a N c p (1.13) 由(1.11)式可得 1 0.1 2 10 1 s a N c s (1.14) 若采用(1.13)式确定 c ，则阻带指标有富裕量；若采用(1.14)式确定 c ，则通 带指标有富裕量。 （4）低通巴特沃思滤波器设计步骤 Step 1: 根据技术指标 p 、 p、 s 和 s ，用(1.12)式求出滤波器的阶数 N； Step 2: 按照(1.7)式，求出归一化极点 k p ，将 k p 代入(1.6)式，得到归一 化传输函数 H p a 。也可以根据阶数 N 查表求极点 k p 和归一化传输函数 H p a 。 Step 3: 将 H p a 去归一化。将 / c p s 代入 H p a ，得到实际的滤波器传 输函数 H s a 。 c 若未给出，可按(1.13)式或(1.14)式求出。 表 6.2.1 巴特沃思归一化低通滤波器参数