第二章时域离散信号和系统的频域分析 2.1引言 信号和系统的分析方法有时域分析法和频率分析法。对于时域连续信号, 系统用微分方程描述,为了在频域进行分析,一般要用 Laplace变换或 Fourier变换将时间与函数转换到频率域。对于时域离散信号,信号要用序列 表示,系统则用差分方程描述,频域分析则采用Z变换或 Fourier变换实现。 2.2序列的 Fourier变换的定义及性质 1、序列傅立叶变换的定义 定义 (2.1) 为序列x(n)的傅立叶变换,用F表示。 2、傅立变换的条件 FT成立的充要条件是序列x(n)绝对可和,即 3、傅立叶反变换 X do 傅里叶反变换用IFT表示。 4、例题 例2.2.1设x(m)=R3(m),求x(n)的FT
第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 信号和系统的分析方法有时域分析法和频率分析法。对于时域连续信号， 系统用微分方程描述，为了在频域进行分析，一般要用 Laplace 变换或 Fourier 变换将时间与函数转换到频率域。对于时域离散信号，信号要用序列 表示，系统则用差分方程描述，频域分析则采用 Z 变换或 Fourier 变换实现。 2.2 序列的 Fourier 变换的定义及性质 1、序列傅立叶变换的定义 定义 j j n n X e x n e (2.1) 为序列 x n 的傅立叶变换，用 FT 表示。 2、傅立变换的条件 FT 成立的充要条件是序列 x n 绝对可和，即 n x n (2.2) 3、傅立叶反变换 1 2 j j n x n X e e d (2.3) 傅里叶反变换用 IFT 表示。 4、例题 例 2.2.1 设 x n R n N ，求 x n 的 FT
5、序列傅立叶变换的性质 (1)FT的周期性 由定义(2.2.1)式可知,序列x(mn)的傅立叶变换为 (e)=∑ 由于复指数函数具有周期性,所以有 M为整数 即序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数,周期是2x。 由于序列的傅立叶变换具有周期性,且周期为2丌,所以在U=0和ω=2mM 附近的频谱分布应是相同的,在ω=0,±2T,…点上表示x(n)信号的直流分 量,离开这些点越远,其频率越高,最高频率应是ω=(2M+1)Ⅱ Note:由于FT是以2T为周期的周期函数,一般只分析-x~+x之间或 0~2π范围的FT就够了。 (2)线性性 设X1(e°)=FTx(m)lX2(e)=FT[x2(m),则 FTLax(n)+bx,(n)]=aX,(e)+bx,(e/) 式中a,b为常数。 (3)时移与频移 设x(e)=Fr[x(n),那么 F (4)FT的对称性 ●共轭对称 设序列x(n)满足下式 (n)=x(-n) (2.2.10)
5、序列傅立叶变换的性质 （1）FT 的周期性 由定义(2.2.1)式可知，序列 x(n)的傅立叶变换为 ( ) ( ) j j n n X e x n e 由于复指数函数具有周期性，所以有 ( 2 ) ( ) ( ) , j j M n n X e x n e M 为整数 (2.4) 即序列的傅里叶变换是频率ω 的周期函数， 周期是 2 。 由于序列的傅立叶变换具有周期性，且周期为 2 ，所以在ω =0 和ω = 2π M 附近的频谱分布应是相同的，在ω =0，±2π ，„点上表示 x(n)信号的直流分 量，离开这些点越远，其频率越高，最高频率应是ω =(2M+1)π 。 Note：由于 FT 是以 2π 为周期的周期函数，一般只分析 ~ 之间或 0 ~ 2 范围的 FT 就够了。 （2）线性性 设 1 1 2 2 ( ) [ ( )], ( ) [ ( )] j j X e FT x n X e FT x n ，则 1 2 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) j j FT ax n bx n aX e bX e (2.5) 式中 a,b 为常数。 （3）时移与频移 设 j X e FT x n , 那么 0 0 j n j FT x n n e X e （ 2.2.8） 0 0 j n j FT e x n X e （2.2.9） （4）FT 的对称性 共轭对称 设序列 x n e 满足下式： * e e x n x n (2.2.10)
则称x(n)为共苑对称序列。 共轭反对称 设序列x(n)满足下式: x(n)=-x2(-n) (2.2.13) 称x(m)为共反对称序型 共轭对称序列的性质 将x(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xr(n)+jre (n) 将上式两边n用-n代替,并取共轭,得到 x(-n)=x(-n)-xn(-n) 对比上面两公式,可得 x(m)=x(-n) (2.2.11) xn(n)=-x2(-n) (2.2.12) 即共对称序列的实部是偶函数,而虚部是奇函数。 ●共轭反对称序列的性质 将x(m)表示成实部与虚部如下式: x(n=x(n)+jx(n) 可以得到 (2.2.14) 即共轭反对称序列的实部是奇函数,而虚部是偶函数。 一般序列的表示 般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示,即
则称 x n e 为共轭对称序列。 共轭反对称 设序列 x n o 满足下式： * o o x n x n (2.2.13) 称 x n o 为共轭反对称序列。 共轭对称序列的性质 将 x n e 用其实部与虚部表示 x n x n jx n e er ei 将上式两边 n 用-n 代替，并取共轭，得到 * e er ei x n x n jx n 对比上面两公式，可得 x n x n er er (2.2.11) x n x n ei ei (2.2.12) 即共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数。 共轭反对称序列的性质 将 x n 0 表示成实部与虚部如下式： x n x n jx n o or oi 可以得到 x n x n or or (2.2.14) x n x n oi oi (2.2.15) 即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。 一般序列的表示 一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， 即
= x 式中x(n),x(m)分别为 x(n)=5[x(n)+x(-m (2.2.18) x()2=2x()-x(-n) (2.2.19) 频域函数的共轭对称部分和共轭反对称部分 如果频域函数满足 x(e)=x:(e-) (2.2.21) X()=-X2(e) (2.2.22) 则x(2°)与X(e)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分 ●一般序列频域函数的表示 一般序列的频域函数同样可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示 (e")=x、()+x(e) (2.2.20) 其中 2.2.23) Ye (2.2.24) 2 ●序列频域函数的共轭对称性 将序列x(n)表示为实部x(n)与虚部x(n),即 x(n=x (n)+ jx,(n) 两边同时进行FT,可得 X(e)=FT[x(m)=∑x.()e x,(elm)=FT[x(n)=>,(n)e
x n x n x n e o (2.2.16) 式中 x n e , x n o 分别为 1 * 2 e x n x n x n （2.2.18） 1 * 2 o x n x n x n （2.2.19） 频域函数的共轭对称部分和共轭反对称部分 如果频域函数满足 j j * X e X e e e （2.2.21） j j * X e X e o o （2.2.22） 则 j X e e 与 j X e o 分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分。 一般序列频域函数的表示 一般序列的频域函数同样可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示 j j j X e X e X e e o （2.2.20） 其中 1 * 2 j j j X e X e X e e （2.2.23） 1 * 2 j j j X e X e X e o （2.2.24） 序列频域函数的共轭对称性 将序列 x n 表示为实部 x n r 与虚部 x n i ，即 x n x n jx n r i 两边同时进行 FT，可得 j j n r r r n X e FT x n x n e j j n i i i n X e FT x n x n e
因为 (e")=x(e x(e-)=-x(e) 分别是共轭对称部分和共轭反对称部分。所以有 一个序列,如果将其分成实部与虚部分别表示,则实部对应的具有共轭 对称性,虚部和j一起对应的FT具有共反对称性。 将序列分成共轭对称部分x(m)和共轭反对称部分死( x(n)=x()+x(n) (2.2.25) 因为 x()=1()+x(-) x(n)=[x(n)-x(-n 分别进行FT,可得 F7[x(0)]=2x(e)+x(e")]=Rex(e")=xe F7[x()=2x(e")-x(e")]=/m[x(")=r(e 因此(2.2.25)式的FT有 x(ee)=x(eo)+jx, (elo (2.2.26) 即:序列的共对称部分x(n)对应着F的实部X(e"),而序列的共轭反对 称邮分x(n)应着F的虚部x(e") 实因果序列()的对称性 因为h()是实序列,其FT只有共轭对称部分H(e"),其共轭反对称部分 为零。即 H(e")=H(e)
因为 j j * X e X e r r j j * X e X e i i 分别是共轭对称部分和共轭反对称部分。所以有： 一个序列，如果将其分成实部与虚部分别表示，则实部对应的 FT 具有共轭 对称性，虚部和 j 一起对应的 FT 具有共轭反对称性。 将序列分成共轭对称部分 x n e 和共轭反对称部分 x n o ，即 x n x n x n e o （2.2.25） 因为 1 * 2 e x n x n x n 1 * 2 o x n x n x n 分别进行 FT，可得 1 * Re 2 j j j j FT x n X e X e X e X e e R 1 * Im 2 j j j j FT x n X e X e j X e jX e o I 因此（2.2.25）式的 FT 有 j j j X e X e jX e R I （2.2.26） 即：序列的共轭对称部分 x n e 对应着 FT 的实部 j X e R ，而序列的共轭反对 称部分 x n o 对应着 FT 的虚部 j X e I 。 实因果序列 h n 的对称性 因为 h n 是实序列，其 FT 只有共轭对称部分 j H e e ，其共轭反对称部分 为零。即 j j H e H e e
H(e")=b(e-) 因此实序列的FT的实部是偶函数,虚部是奇函数,用公式表示为: Hr(elo)=hr(eo) H(e)=-H(e°) 其模的平方 H(e)=(-)+H(e") 是偶函数,相位函数 arg H(elo 是奇函数 偶函数h(m)、奇函数h(n)与h(n)之间的关系 实因果序列h(n)可表示为 h(n)=h(n)+h(n) 其中 x()2=[x(m)+x(-n)] [x(n)-x(-n) 因为是因果序列,是实序列,所以 h(0),n=0 h(m)=1h(n),n>0 (2.2.27) 2(-n),n0 (2.2.28) 0
j j * H e H e e 因此实序列的 FT 的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为： j j R R j j I I H e H e H e H e 其模的平方 2 j j j 2 2 H e H e H e R I 是偶函数，相位函数 arg arg tan j I j j R H e H e H e 是奇函数。 偶函数 h n e 、奇函数 h n o 与 h n 之间的关系 实因果序列 h n 可表示为 h n h n h n e o 其中 1 * 2 e x n x n x n 1 * 2 o x n x n x n 因为是因果序列，是实序列，所以 0 , 0 1 , 0 2 1 , 0 2 e h n h n h n n h n n （2.2.27） 0 , 0 1 , 0 2 1 , 0 2 o h n h n h n n h n n （2.2.28）
即实因果序列可以分别用h(m)和h(n)表示为 h(n)=h()u4(m) (2.2.29) h(n)=b(m)u,(n)+h(0)(n) (2.2.30) 其中 n(m)={1.n=0 (2.2.31) 0,n<0 即:实因果序列完全可以仅由其偶序列统复。 例2.2.3x(n)=a"u(m),0<a<1。求其偶函数x(n)和奇函数x(n) (5)时域卷积定理 设 y(n=x(n)*h(n) Y(e")=x(e"),H(e") (2.2.32) 即:射于线性时不变系统,输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的 (6)频域卷积定理 设 则 H 即:在时减两序列相乘,转换到颜域服从卷积关系。 (7) Parseval定理
即实因果序列可以分别用 h n e 和 h n o 表示为 h n h n u n e （2.2.29） h n h n u n h n o 0 （2.2.30） 其中 2, 0 1, 0 0, 0 n u n n n （2.2.31） 即：实因果序列完全可以仅由其偶序列恢复。 例 2.2.3 n x n a u n ，0<a<1。求其偶函数 x n e 和奇函数 x n o 。 （5）时域卷积定理 设 y n x n h n * ， 则 j j j Y e X e H e （2.2.32） 即：对于线性时不变系统，输出的 FT 等于输入信号的 FT 乘以单位脉冲响应的 FT。 （6）频域卷积定理 设 y n x n x n 则 1 1 * 2 2 j j j j j Y e X e H e X e H e d （2.2.33） 即：在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。 （7）Paseval 定理
∑(o)=2Cxr)da (2.2.34) 即:信号的时域总能量等于频域总能量
2 1 2 2 j n x n X e d （2.2.34） 即：信号的时域总能量等于频域总能量
23周期序列的离散 Fourier级数及 Fourier变换表示式 由(22.2)可知,FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件, 即满足 ∑x(n)<∞ 周期序列一般不满足该条件,因此它的FT是不存在的。 又,由于周期函数可以展开为离散 Fourier级数。只要引入奇异函数o, 离散 Fourier级数可以表示为FT形式 2.3.1周期序列的离散 Fourier级数 1、周期序列的离散 Fourier级数 设c(m)是以N为周期的周期序列,则可以展开为 ()=∑ae (2.3.1) k=-∞ -J知 00<k<∞ (2.3.3) 由于已是周期函数,当k或者n变化时,其值作周期变化。即有 令x(k)=Na2,则有 X jr (k)=∑(n2,-0<k<∞ (2.3.4 该式中的x(k)也是一个以N为周期的周期序列,称为(m)的离散 Fourier级 K(DFS, Discrete Fourier Series) 相应地 (x)=1∑x(k (2.3.5) 式(2.3.4)和(2.3.5)称为一对DFS
2.3 周期序列的离散 Fourier 级数及 Fourier 变换表示式 由（2.2.2）可知，FT 成立的充要条件是序列 x n 满足绝对可和的条件， 即满足： n x n 周期序列一般不满足该条件，因此它的 FT 是不存在的。 又，由于周期函数可以展开为离散 Fourier 级数。只要引入奇异函数 ， 离散 Fourier 级数可以表示为 FT 形式。 2.3.1 周期序列的离散 Fourier 级数 1、周期序列的离散 Fourier 级数 设 x n 是以 N 为周期的周期序列，则可以展开为 2 j kn N k k x n a e （2.3.1） 1 2 0 1 , N j kn N k n a x n e k N （2.3.3） 由于 2 j kn N e 是周期函数，当 k 或者 n 变化时，其值作周期变化。即有 k k lN a a 令 X k Na k ，则有 1 2 0 , N j kn N n X k x n e k （2.3.4） 该式中的 X k 也是一个以 N 为周期的周期序列，称为 x n 的离散 Fourier 级 数（DFS,Discrete Fourier Series） 相应地 1 2 0 1 N j kn N n x n X k e N （2.3.5） 式（2.3.4）和（2.3.5）称为一对 DFS
(2.3.5)表明:周期序列的频是离戲的率=Nk,k12… 幅度为X(k) 2、例题 例2.3.1设x(n)=R1(m),将x(m)以N8为周期进行周期延拓,求(n)的 2.3.2周期序列的 Fourier变换表示式 1、复指数序列的 Fourier变换 对于时域连续复指数函数x()=e",其 Fourier变换为 ()=Fr[x()]=e 即其 Fourier变换是在s2=g处的单位冲激函数,强度是2r
（2.3.5）表明：周期序列的频谱是离散的，频率 2 k k N ，k=0,1,2,„，N-1, 幅度为 1 X k N 。 2、例题 例 2.3.1 设 x n R n 4 ，将 x n 以 N=8 为周期进行周期延拓，求 x n 的 DFS。 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.5 1 n x(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 n Abs(X) 2.3.2 周期序列的 Fourier 变换表示式 1、复指数序列的 Fourier 变换 对于时域连续复指数函数 0 j t a x t e ，其 Fourier 变换为 0 0 2 j t j t X j FT x t e e dt a a （2.3.8） 即其 Fourier 变换是在 0 处的单位冲激函数，强度是 2
