第三章离散傅里叶变换 Discrete fourier Transform 在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时,要求信号在时域和 频域都应是离散的,且都应是有限长的。 3.1离散傅里叶变换(DT)的定义 DFT实质上是有限长序列 Fourier变换的有限点离散采样,从而使利用计算机 进行信号分析成为可能。 3.11DFT的定义 1、DFT和IDFT 设x(m)是一个长度为M的有限长序列,则定义x(n)的M点离款傅里叶变换为 X(k)=DFT[x()]=∑x(m)形,k=0,1…N X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT, Inverse discrete fourier transform)为 x(n)=DFT[X(k)]=∑X(k),n=0,1…,N-1 其中,W=eN,N称为DT变换区间的长度,N≥M 2、唯一性证明 3、例题 3.1.2DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N,其Z变换和DT分别为: X(=)=Z[x(m)]=∑x(n)
第三章 离散傅里叶变换 Discrete Fourier Transform 在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时，要求信号在时域和 频域都应是离散的，且都应是有限长的。 3.1 离散傅里叶变换（DFT）的定义 DFT 实质上是有限长序列 Fourier 变换的有限点离散采样，从而使利用计算机 进行信号分析成为可能。 3.1.1 DFT 的定义 1、DFT 和 IDFT 设 x n 是一个长度为 M 的有限长序列，则定义 x n 的 N 点离散傅里叶变换为 1 0 , 0,1, , 1 N kn N n X k DFT x n x n W k N (1.1) X k 的离散傅里叶逆变换（IDFT，Inverse Discrete Fourier Transform）为 1 0 1 , 0,1, , 1 N kn N k x n IDFT X k X k W n N N (1.2) 其中， 2 j N W e N ，N 称为 DFT 变换区间的长度， N M 。 2、唯一性证明 3、例题 3.1.2 DFT 和 Z 变换的关系 设序列 x n 的长度为 N，其 Z 变换和 DFT 分别为： 1 0 N n n X z ZT x n x n z
X(k)=DF[x(m)]=∑x(m)如,0≤k≤N 比较可得 x(k)=X(二) 0≤k≤N-1 (1.3) 点 x (k)=x(el 0≤k≤N-1 (1.3)式表明:列x(n)的N点DF是x(m)的2变换在单位國上的N点等间隔采 样,(1.4)式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变换X()在区间[2]上的N点等间 隔采样。由此可见,DFT的变换区间长度N不同,表示对X(e")在2]区间上的 采样间隔和采样点数不同,所以DFT的变换结果不同。 (a)x(n)的幅频特性曲线 0.2040.60.8 12141.61.8 (b)X(n)的8点DFT (c)x(n)的16点DFT 图3.1.1R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系
1 0 , 0 1 N kn N n X k DFT x n x n W k N 比较可得 2 , 0 1 j k z e N X k X z k N (1.3) 或 2 , 0 1 k N j X k X e k N (1.4) (1.3)式表明：序列 x n 的 N 点 DFT 是 x n 的 Z 变换在单位圆上的 N 点等间隔采 样。(1.4)式则说明 X k 为 x n 的傅里叶变换 j X e 在区间 0,2 上的 N 点等间 隔采样。由此可见，DFT 的变换区间长度 N 不同，表示对 j X e 在 0,2 区间上的 采样间隔和采样点数不同，所以 DFT 的变换结果不同。 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 2 4 / 幅 度 (a)x(n)的幅频特性曲线 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 k 幅 度 (b)x(n)的 8点 DFT 0 5 10 15 0 2 4 k 幅 度 (c)x(n)的 16点 DFT 图 3.1.1 R4（n）的 FT 和 DFT 的幅度特性关系
3.1.3DFT的隐含周期性 x(k)的周期性 由于 W=Wm),k,m,N均为整数 所以 Y(k+mN= r(n)wltmN)n =∑x(m)W=(k) 同理,有 x(n+mN)=x(n) 实际上,任何周期为N的周期序列(m)都可以看作长度为N的有限长序列 x(rn)的周期延拓序列,而x(m)则是式(n)的一个周期,即 )=∑x(m+mN) x(n)=x(n)R、() 2、主值区间与主值序列 般定义周期序列x(n)中从n=0到N1的第一个周期为x(m)的主信区闯,而 主值区间上的序列称为(m)的主值序型。因此,上述关系可以叙述为:x(n)是 x()的周延拓序列x(m)是x(m)的主值序列 为了叙述方便,将(1.5)表示为 (n)=x(n) (1.7) 式中x()表示x()以N周期的周期延拓序列,x(n)表示n对N求余,即如 n=MN+n1,0≤n1≤N-1,M为整数
3.1.3 DFT 的隐含周期性 1、 X k 的周期性 由于 , , , k k mN W W k m N N N 均为整数 所以 1 1 0 0 N N k mN n kn N N n n X k mN x n W x n W X k 同理，有 x n mN x n 实际上，任何周期为 N 的周期序列 x n 都可以看作长度为 N 的有限长序列 x n 的周期延拓序列，而 x n 则是 x n 的一个周期，即 m x n x n mN (1.5) x n x n R n N (1.6) 2、主值区间与主值序列 一般定义周期序列 x n 中从 n=0 到 N-1 的第一个周期为 x n 的主值区间，而 主值区间上的序列称为 x n 的主值序列。因此，上述关系可以叙述为： x n 是 x n 的周期延拓序列； x n 是 x n 的主值序列。 为了叙述方便，将(1.5)表示为 N x n x n (1.7) 式中 N x n 表示 x n 以 N 周期的周期延拓序列， N x n 表示 n 对 N 求余，即如 果 1 1 n MN n n N , 0 1，M 为整数
(n) 3、离散傅里叶变换与离散傅里叶级数的关系 如果x(n)的长度为N,且(n)=x(m),则 X()=∑x(m=x()=∑x() (1.8) x (k)h (1.9) 式中 (k)=X(k)R3(k) (1.10) 为X()主值序列。可得:有限长序列x(n)的离散傅里叶变換X(k),正好是x(m) 的周期延拓序列x(m)的离散傅里叶级数系数X(k)的主值序列,即 X(k)=X(k)R、( 4、 MATLAB计算 fft(x) fft(x, n) 【例3.1.2】
则 1 N n n 3、离散傅里叶变换与离散傅里叶级数的关系 如果 x n 的长度为 N，且 N x n x n ，则 1 1 1 0 0 0 N N N kn kn kn N N N N n n n X k x n W x n W x n W (1.8) 1 1 0 0 1 1 N N kn kn N N k k x n X k W X k W N N (1.9) 式中 X k X k R k N (1.10) 为 X k 主值序列。可得：有限长序列 x n 的离散傅里叶变换 X k ，正好是 x n 的周期延拓序列 N x n 的离散傅里叶级数系数 X k 的主值序列，即 X k X k R k N 。 4、MATLAB 计算 fft(x) fft(x,n) 【例 3.1.2】
(a)16点DFT幅频特性 (b)16点DFT相频特 005 0.51 1.5 (c)32点DFT幅频特性 (d)32点DFT相频特性 00.5 15 0.5 1.5 3.2离散傅里叶变换的基本性质 321线性性质 若x(n)和x(m)是两个有限长序列,长度分别为N和N2,且 式中,a,b为常数,取N=max[N,N2],则y(n)的N点DFT为 y(k)=DFTLy(n)=aX, (k)+bx2(k),0sksN (2.1) 其中X1(k)和X2()分别为x(n)和x(n)的N点DFT 3.2.2循环移位性质 1、序列的循环移位 设x(m)为有限长序列,长度为N,则x(m)的循环移位定义为:
0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 / 幅 度 (a)16点 DFT幅频特性 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1 0 1 2 / 相 位 (b)16点 DFT相频特性 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 / 幅 度 (c)32点 DFT幅频特性 0 0.5 1 1.5 2 -4 -2 0 2 4 / 相 位 (d)32点 DFT相频特性 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.2.1 线性性质 若 x n 1 和 x n 2 是两个有限长序列，长度分别为 N1 和 N2 ，且 y n ax n bx x 1 2 式中，a,b 为常数，取 N N N max , 1 2 ，则 y n 的 N 点 DFT 为 Y k DFT y n aX k bX k 1 2 , ０ k N-1 (2.1) 其中 X k 1 和 X k 2 分别为 x n 1 和 x n 2 的 N 点 DFT。 3.2.2 循环移位性质 1、序列的循环移位 设 x n 为有限长序列，长度为 N，则 x n 的循环移位定义为：
(n)=x(n+m), R(n) 即:将x(n)以N为周期进行周期延拓得到(n)=x(n),再将(n)左移m位得到 (n+m),最后取x(n+m)的主值序列就得到有限长序列x(n)的循环移位序列 y(n)。即:循环移位的实质是将x(n)左移m位,而移出主区间(0≤n≤N-1的 房列值又依次从右侧进入主区周。 2、时域循环移位定理 设x(m)是长度为N的有限长序列,y(m)为x(n)的循环移位,即 y(n)=x((n+m),RN (n) ( k)=DFTLy(n)]=W x(k) 其中X(k)=DF7[x(n)0≤ksN-1 3、频域循环移位定理证明 若 X(k)=DFT[x(n).OsksN (k)=X(k+1)R(k) y(n)=IDFTLY(k)=Wx(n) (2.4) 32.3循环卷积性质 1、循环卷积 有限长序列x(m)和x(n),长度分别为N和M2,N=max[N,N2]。x(n)和 x2()的N点DFT分别为
N N y n x n m R n (2.2) 即：将 x n 以 N 为周期进行周期延拓得到 N x n x n ，再将 x n 左移 m 位得到 x n m ，最后取 x n m 的主值序列就得到有限长序列 x n 的循环移位序列 y n 。即：循环移位的实质是将 x n 左移 m 位，而移出主治区间 0 1 n N 的 序列值又依次从右侧进入主治区间。 2、时域循环移位定理 设 x n 是长度为 N 的有限长序列， y n 为 x n 的循环移位，即 N N y n x n m R n 则 kn Y k DFT y n W X k N (2.3) 其中 X k DFT x n k N ,0 1 。 3、频域循环移位定理证明 若 X k DFT x n k N ,0 1 N N Y k X k l R k 则 nl N y n IDFT Y k W x n (2.4) 3.2.3 循环卷积性质 1、循环卷积 有限长序列 x n 1 和 x n 2 ，长度分别为 N1 和 N2 ， N N N max , 1 2 。 x n 1 和 x n 2 的 N 点 DFT 分别为：
X,(k)=DFT[x(n) X2(k)=DFT[=(n) 如果 X(k)=X1(k)K2(k) 则 x(n)=IDFTLX(k)=2*(m)*2(n-m)) RN(n) 或 x(n)=IDFTLX()=2x2(m)x(n-m)),RN(n) 一般称(2.5)式为所表示的运算为x(n)和x2(m)的循环卷积。 2、循环卷积的公式证明 对(2.5)式两边进行DFT,则有 X(k)=DFTLx(n)] =∑x(m)∑x(m-m)W如 令n-m=n,则有 y (k)=∑x(m)∑x1(n) ∑x(m)x(m 因为上式中x2(m)环是以N为周期的,所以对其在任一个周期商丘和的结果不 变。因此
X k DFT x n 1 1 X k DFT x n 2 2 如果 X k X k X k 1 2 则 1 1 2 0 N N N m x n IDFT X k x m x n m R n (2.5) 或 1 2 1 0 N N N m x n IDFT X k x m x n m R n 一般称(2.5)式为所表示的运算为 x n 1 和 x n 2 的循环卷积。 2、循环卷积的公式证明 对(2.5)式两边进行 DFT，则有 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 0 N N kn N N N n m N N kn N N m n X k DFT x n x m x n m R n W x m x n m W 令 n m n ，则有 1 1 1 2 0 1 1 1 2 0 N N m k n m N m n m N N N m kn kn N N m n m N X k x m x n W x m W x n W 因为上式中 2 kn N N x n W 是以 N 为周期的，所以对其在任一个周期商丘和的结果不 变。因此
X(k)=∑x1(m)W∑x2(mW=x1(k)X2(k),0≤k≤N 3、循环卷积的实现 step1:先将x(m)周期化,形成x(m),再反转形成x2(-m),并取主 值序列x2(-m)R(m) step2:对x1(m)的循环反转序列循环移位n,形成x(n-m)R(m),当 n=0,1,…,N1时,分别将x(m)与x(n-m)、R(m)相乘,并对m在0-(N-1) 区间商求和,便得。 4、循环卷积的表示 x(n)=2x,(m)x2(n-m)),R(n)=x(n)@x2(n) 5、循环卷积定理 有限长序列x(m)和x(m)的长度分别为N和N,N=max[N,N],x(m)和 x2(n)的N点循环卷积为 x(n)=x, (n)8x2(n)=2*(m)*(n-m)),RN(n) 则x(m)的N点DFT为 X(k)=DFT[x(n)I=X,(k)X2(k) (2.7) 其中, X,()=DFT[,(n) X2(k)=DFTLx2(n) 6、时域循环卷积定理 若
1 1 1 2 1 2 0 0 , 0 1 N N kn kn N N m n X k x m W x n W X k X k k N 3、循环卷积的实现 Step 1: 先将 x m 2 周期化，形成 2 N x m ，再反转形成 2 N x m ，并取主 值序列 2 N N x m R m 。 Step 2: 对 x m 2 的循环反转序列循环移位 n，形成 2 N N x n m R m ，当 n=0,1,„,N-1 时，分别将 x m1 与 2 N N x n m R m 相乘，并对 m 在 0 1 N 区间商求和，便得。 4、循环卷积的表示 1 1 2 1 2 0 N N N m x n x m x n m R n x n x n 5、循环卷积定理 有限长序列 x n 1 和 x n 2 的长度分别为 N1和 N2， N N N max , 1 2 ， x n 1 和 x n 2 的 N 点循环卷积为 1 1 2 1 2 0 N N N m x n x n x n x m x n m R n (2.6) 则 x n 的 N 点 DFT 为 1 2 N X k DFT x n X k X k (2.7) 其中， 1 1 2 2 N N X k DFT x n X k DFT x n 6、时域循环卷积定理 若
x(n)=x1(n)x2(m) 则 x(k)=DFTLx(n)=yX, (k)ox2 (k) (2.8) ∑X1(0)x2(k-1)、R(k) 或 x(k)=DFT[x(n)=xX2(k)ox,(k) ∑x:()x(k-D)R( 其中 X,()=DFTLx,(n)] x2()=DFT[x2(n)I 0≤k≤N-1 3.24复共轭序列的DFT 设x(n)是x(n)的复共轭序列,长度为N X(k)=DFTx(n) 则 DFTIx'(n)=X(N-k 0≤k≤N-1 且 X(N)=X(0 3.25DFT的共轭对称性 1、有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 分别用x(n)和x(n)分别表示有限长共对称序列和热反对称序烈,则有 如下定义式
x n x n x n 1 2 则 1 2 1 1 2 0 1 1 N N N l X k DFT x n X k X k N X l X k l R k N (2.8) 或 2 1 1 2 1 0 1 1 N N N l X k DFT x n X k X k N X l X k l R k N 其中 1 1 2 2 , 0 1 X k DFT x n k N X k DFT x n 3.2.4 复共轭序列的 DFT 设 * x n 是 x n 的复共轭序列，长度为 N， X k DFT x n 则 * * DFT x n X N k , 0 k N-1 且 X N X 0 3.2.5 DFT 的共轭对称性 1、有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 分别用 x n ep 和 x n op 分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则有 如下定义式：
xn/(n)=xn(N-n),0≤n≤N (2.9) n)=xm(N-n),0≤n≤N 当N为偶数时,将上式中的n换成N/2-n,可得 0<n N n n 可以证明: 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样,任何有限长序 列x(n)也都可以表示成其共轭对称序列和共轭反对称序列之和,即 (n)=x2(m)+xn(m,0≤n≤N-1 将上式中的n换成N-n,并取复共轭,再将(2.9和(2.10)式代入,得到 x(N 将(2.11)是减去(2.12),可得: (n)=[x(m)+x(-n)] 2、DFT的共轭对称性 (1)若x(n)=x,(m)+fx(n) 其中 x(n)=Re[x(n)]=[x(m)+x(n)] x()=m[x(n)]=[x(n)-x(n) 两边同时取DFT,可得
* ep ep x n x N n ， ０ n N-1 (2.9) * , 0 1 op op x n x N n n N (2.10) 当 N 为偶数时，将上式中的 n 换成 N/2-n，可得： * , 0 1 2 2 2 ep ep N N N x n x n n * , 0 1 2 2 2 op op N N N x n x n n 可以证明： 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序 列 x n 也都可以表示成其共轭对称序列和共轭反对称序列之和，即 , 0 1 ep op x n x n x n n N (2.11) 将上式中的 n 换成 N-n，并取复共轭，再将(2.9)和(2.10)式代入，得到： * * * ep op ep op x N n x N n x N n x n x n (2.12) 将(2.11)是减去(2.12)，可得： 1 * 2 ep x n x n x N n (2.13) 1 * 2 op x n x n x N n (2.14) 2、DFT 的共轭对称性 （1）若 x n x n jx n r i 其中 1 * Re 2 r x n x n x n x n 1 * Im 2 i jx n j x n x n x n 两边同时取 DFT，可得