第七章有限脉冲响应数字滤波器的设计 ●IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进 行设计的,因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中 只考虑了幅度特性,没有考虑相位特性,所设计的滤波器相位特性一般 是非线性的。 ●在IIR滤波器设计时,如果要得到线性相位特性,必须另外增加相位校 正网络,使滤波器设计变得复杂,成本升高。 ●FIR滤波器在保证幅度特性满足要求的同时,很容易做到有严格的线性 相位特性。设FIR滤波器单位脉冲响应h()长度为N,其系统函数H(-) 为 H y (=)=∑h(m) H(二)是二-的(N1)次多项时,它在z平面上有(N1)个零点,原点2=0是(N1) 阶重极点。因此,H(=)永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优 FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大不同。FIR滤波器设计 任务是选择有限长度的h(n),使传输函数H(e)满足技术要求。 7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 1、线性相位条件 对于长度为N的h(m),传输函数为 H(e")=∑h(n)em (1.1)
第七章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 IIR 数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进 行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中 只考虑了幅度特性，没有考虑相位特性，所设计的滤波器相位特性一般 是非线性的。 在 IIR 滤波器设计时，如果要得到线性相位特性，必须另外增加相位校 正网络，使滤波器设计变得复杂，成本升高。 FIR 滤波器在保证幅度特性满足要求的同时，很容易做到有严格的线性 相位特性。设 FIR 滤波器单位脉冲响应 h n 长度为 N，其系统函数 H z 为 1 0 N n n H z h n z H z 是 1 z 的（N-1）次多项时，它在 z 平面上有（N-1）个零点，原点 z=0 是（N-1） 阶重极点。因此， H z 永远稳定。稳定和线性相位特性是 FIR 滤波器突出的优 点。 FIR 滤波器的设计方法和 IIR 滤波器的设计方法有很大不同。FIR 滤波器设计 任务是选择有限长度的 h n ,使传输函数 j H e 满足技术要求。 7.1 线性相位 FIR 数字滤波器的条件和特点 1、线性相位条件 对于长度为 N 的 h n ，传输函数为 1 0 N j j n n H e h n e (1.1)
式中,H2()称为幅度特性,()称为相位特性 H(e-)线性相位是指e()是O的线性函数,即 为常数 如果e()满足 0()=日-m,是起始相位 (1.4) 严格地说,此时θ(o)不具有线性相位,但以上两种情况都满足群时延是一个常 数,即 也称这种情况为线性相位。一般称满足(1.3)式是第一类线性相位;满足(1.4)式 为第二类线性相位 2、线性相位FIR的时域约束条件 (1)第一类线性相位对h(n)的约束条件 第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数 ()=-0r 由式(.1)和(1.2)可得 >h(n)(cos an-jsin on)=H,(o)(cos oT-sinor) 可得 H(o) COS OT=∑h(n)oson H,(o)sinor=>h(n)sinon
j j H e H e g (1.2) 式中， H g 称为幅度特性， 称为相位特性。 j H e 线性相位是指 是 的线性函数，即 , 为常数 (1.3) 如果 满足 0 0 , 是起始相位 (1.4) 严格地说，此时 不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常 数，即 d d 也称这种情况为线性相位。一般称满足(1.3)式是第一类线性相位；满足(1.4)式 为第二类线性相位。 2、线性相位 FIR 的时域约束条件 （1） 第一类线性相位对 h n 的约束条件 第一类线性相位 FIR 数字滤波器的相位函数 由式(1.1)和(1.2)可得 1 0 N j j n j g n H e h n e H e 1 0 cos sin cos sin N g n h n n j n H (1.5) 可得 1 0 1 0 cos cos sin sin N g n N g n H h n n H h n n (1.6)
将两式相除,可得 ∑h(n) cos an sIn Ot ∑h(n) h(n)cos onsin@=h(n)sin cosor 由三角公式可得 ∑h(n)in[a(n-)]=0 (1.7) N-1 如果取h(m)是实序列且对一偶对称,即 h(n)=h(N-n-l) 此时FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数,即 0(a) (2)第二类线性相位对h(n)的约束条件 第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数为 (o) 同理可得 -+er H(e)=∑(n)em=H2(o)e1=∑h(n)so(m-]=0(1.9) 如果取h()0是实序列且对~-偶对称,即 h(n)=-h(N-n-1)0≤n≤N-1 1.10) 3、线性相位FIR滤波器幅度特性Hx()的特点 将时域约束条件
将两式相除，可得 1 0 1 0 cos cos sin sin N n N n h n n h n n 即 1 1 0 0 cos sin sin cos N N n n h n n h n n 由三角公式可得 1 0 sin 0 N n h n n (1.7) 如果取 h n 是实序列且对 1 2 N 偶对称，即 h n h N n 1 (1.8) 此时 FIR 数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，即 1 2 N （2） 第二类线性相位对 h n 的约束条件 第二类线性相位 FIR 数字滤波器的相位函数为 2 同理可得 1 1 2 0 0 cos 0 N N j j j n g n n H e h n e H e h n n (1.9) 如果取 h n 是实序列且对 1 2 N 偶对称，即 h n h N n n N 1 0 1 (1.10) 3、线性相位 FIR 滤波器幅度特性 H g 的特点 将时域约束条件
h(n)=±h(N-n-1) 代入(1.1)式,即 H(e")=∑h(n)em 并设h(n)为实序列,即可推导出线性相位条件对FIR数字滤波器的幅度特性 H2(a)的约束条件 当N取奇数和偶数对H2(a)的约束不同,因此分以下四种情况讨论 CASE1:h(n)=h(N-n-1),N奇数 将时域约束条件h(n)=h(N-n-1)和(a)=-or代入(11)和(12)式,可得: H(eo)=H(o)e jer=Eh(n)e jon h(n)e-em+(N-n-1)e-je(N -n-l =-,、+∑[h()-m+h(n)em c-{()+∑2)s(m- 其中 2 所以 )=h()+∑2h(n)os[o(m-) 结论: H(ω)关于o=0,丌,2x三点对称,因此,该情况可以实现各种滤波器,即 低通、高通、带通和带阻
h n h N n 1 代入(1.1)式，即 1 0 N j j n n H e h n e 并设 h n 为实序列，即可推导出线性相位条件对 FIR 数字滤波器的幅度特性 H g 的约束条件。 当 N 取奇数和偶数对 H g 的约束不同，因此分以下四种情况讨论： CASE 1： h n h N n 1 ，N=奇数 将时域约束条件 h n h N n 1 和 代入(1.1)和(1.2)式，可得： 1 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 2 cos N j j j n g n N N j j n j N n n N N j j n j N n n N j n H e H e h n e N h e h n e h N n e N h e h n e h n e e h h n n 其中 1 2 N 所以 1 1 2 0 2 cos N g n H h h n n (1.11) 结论： H g 关于 0, ,2 三点对称，因此，该情况可以实现各种滤波器，即 低通、高通、带通和带阻
CASE2:h(n)=h(N-n-1),N偶数 推导情况和前面相似,但由于N=偶数,H(a)中没有单独项,相等的项合 并成一项 H(e)=H2(o)e jor=2h(n)e em=e /e 22h(n)cos[o(n-r)] H2(a)=∑2h()os[o(n-)] (1.12) 其中 N-1 又因为 N-1N1 且N是偶数,所以当=丌时 sn丌n 0 结论: H2(xz)=0,H2(o)关于O=奇对称,关于O=02z偶对称。因此,CASE2 不能实现高通和带阻滤波器 CASE3:h(n)=-h(N-n-1),N=奇数 将时域约束条件h()=-(N--1)和()=-2-r代入(1和(12),并 考虑h =0,可得 H(eo)=H(o)e le)=2h(n)e "jon ∑2h(n)sin[o(n-t) H2(a)=∑2h(n) 其中,和M同上
CASE 2： h n h N n 1 ，N=偶数 推导情况和前面相似，但由于 N=偶数， H g 中没有单独项，相等的项合 并成 2 N 项。 1 0 0 2 cos N M j j j n j g n n H e H e h n e e h n n 0 2 cos M g n H h n n (1.12) 其中 1 2 N M 又因为 1 1 2 2 2 N N 且 N 是偶数，所以当 时 cos cos sin 0 2 2 2 N N n n n 结论： 0 H g ，H g 关于 奇对称，关于 0,2 偶对称。因此，CASE 2 不能实现高通和带阻滤波器。 CASE 3: h n h N n 1，N=奇数 将时域约束条件 h n h N n 1 和 2 代入(1.1)和(1.2)，并 考虑 1 0 2 N h ，可得 1 0 1 2 0 2 sin N j j n j g n j M n H e H e h n e e h n n 1 0 2 sin M g n H h n n 其中， 和 M 同上
结论 因为N为奇数,τ时整数,所以,当O=0,丌,2m时正弦项为零,且关于过零 点奇对称。因此,H2()关于a=0,兀,2z三点奇对称。只适合实现带通滤波器 CASE4:h(m)=-h(N-n-1),N偶数 与CASE3类似 H(a)=∑2h(n)n[o(n-t) (1.13) 结论: N是偶数,r=N-1N 22-5。所以,当O=0,2x时正弦项为零,当O=丌时, sno(n-)=(-1)M,为峰点。因此H1()关于O=0.2奇对称,关于O= 偶对称。 CASE4不能实现低通和带阻滤波器。 表7.1.1线性相位FIR滤波器的幅度特性与相位特性一览表 相位响应 N为奇数 H2(o)=∑c(n)sin(no) N-1)兀 e()=-0 2J2 c(n) N N为偶数 h(n) 0
结论： 因为 N 为奇数， 时整数，所以，当 0, ,2 时正弦项为零，且关于过零 点奇对称。因此， H g 关于 0, ,2 三点奇对称。只适合实现带通滤波器。 CASE 4： h n h N n 1，N=偶数 与 CASE 3 类似 0 2 sin M g n H h n n (1.13) 结论： N 是偶数， 1 1 2 2 2 N N 。所以，当 0,2 时正弦项为零，当 时， 2 sin 1 n N n ，为峰点。因此 H g 关于 0,2 奇对称，关于 偶对称。 CASE 4 不能实现低通和带阻滤波器。 表 7.1.1 线性相位 FIR 滤波器的幅度特性与相位特性一览表
偶对称单位脉冲响应 h(n)=h(N-1-n) 相位响应 N为奇数 h(n) H2(a)=∑a(n) cosmo e() 况 a(n) e() 0 N为偶数 H(0)=∑b(n)c 111 H() (N-1)r AAAA 4、线性相位FIR滤波器零点分布特点 因为对于FIR数字滤波器,有 H(=)=∑h(n)=n 要保持线性相位,必有h(n)=±h(N-n-1),所以有 H()=±=H(=2) (1.14) 由(114)可见 如z=1是H()的零点,其倒数也必然是其零点。 又因为h(n)是实序列,H()的零点必是共轭成对,因此÷和(=)也 是其零点 因此,线性相位FR滤波器零点分布特点是零点必须是互为倒数的共对 确定其中一个,另外三个军点也就磅定。但在以下三种情况例外 零点是实数; 零点是纯虚数且在单位圆上 零点在单位圆上且是实数
4、线性相位 FIR 滤波器零点分布特点 因为对于 FIR 数字滤波器，有 1 0 N n n H z h n z 要保持线性相位，必有 h n h N n 1 ，所以有 N 1 1 H z z H z (1.14) 由(1.14)可见： 如 i z z 是 H z 的零点，其倒数 1 i z 也必然是其零点。 又因为 h n 是实序列， H z 的零点必是共轭成对，因此 * i z 和 * 1 i z 也 是其零点。 因此，线性相位 FIR 滤波器零点分布特点是零点必须是互为倒数的共轭对， 确定其中一个，另外三个零点也就确定。但在以下三种情况例外： 零点是实数； 零点是纯虚数且在单位圆上； 零点在单位圆上且是实数
Re(:) 图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布
图 7.1.1 线性相位 FIR 滤波器零点分布
72利用窗函数法设计FIR滤波器 1、窗函数法设计原理 设希望设计的滤波器传输函数为H(e),h(m)是与其对应的单位脉冲响 应,因此 H(e")=∑b(n)em n)-2兀 H,(elo )eldo 如果能够由已知的H()求出h(n),经过Z变换可得到滤波器的系统函数 但一般情况下,通常以理想滤波器作为H(e"),其幅度特性逐段恒定,在 边界频率处有不连续点,因而h(n)是无限时宽的,且是非因果序列 例如:理想低通滤波器的传输函数H(e)为 ≤O 0,O.<≤丌 相应的单位取样响应h(n)为 (ny? arge-jodelemdosin(o (n-a)) (2.2) 可以看出,理想低通滤波器的单位取样响应h(n)是无限长,且是非因果序列
7.2 利用窗函数法设计 FIR 滤波器 1、 窗函数法设计原理 设希望设计的滤波器传输函数为 j H e d ， h n d 是与其对应的单位脉冲响 应，因此 j j n d d n H e h n e 1 2 j j d d h n H e e d 如果能够由已知的 j H e d 求出 h n d ，经过 Z 变换可得到滤波器的系统函数。 但一般情况下，通常以理想滤波器作为 j H e d ，其幅度特性逐段恒定，在 边界频率处有不连续点，因而 h n d 是无限时宽的，且是非因果序列。 例如：理想低通滤波器的传输函数 j H e d 为 , 0, j j c d c e H e (2.1) 相应的单位取样响应 h n d 为 1 sin 2 c c j j n c d n h n e e d n (2.2) 可以看出，理想低通滤波器的单位取样响应 h n d 是无限长，且是非因果序列
h(n) a=(N-1) (b) 0 N-1 A (n)=h, (n)R,(n) 图7.2.1理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器,只有将h(m)截取一段,并保证截取 的一段对 2 对称。设截取的一段用h(n)表示,即 h(n)=ha (n),(n) (2.3) 当 时,h(n)对对称,保证所设计的滤波器具有线性相位。 这就是窗函数设计FIR数字滤波器的基本思想 存在的问题 用一个有限长的序列h(m)去代替h(n),肯定会产生误差,表现在频域上就 是通常所说的吉布斯效应。该效应会引起通带内和阻带内的波动性,尤其使阻带 衰减减小,从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将h(m)直接截 断引起的,因此,也称为截断效应
图 7.2.1 理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗 为了构造一个长度为 N 的线性相位滤波器，只有将 h n d 截取一段，并保证截取 的一段对 1 2 N 对称。设截取的一段用 h n 表示，即 h n h n R n d N (2.3) 当 1 2 N 时， h n 对 1 2 N 对称，保证所设计的滤波器具有线性相位。 ——这就是窗函数设计 FIR 数字滤波器的基本思想。 存在的问题： 用一个有限长的序列 h n 去代替 h n d ，肯定会产生误差，表现在频域上就 是通常所说的吉布斯效应。该效应会引起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带 衰减减小，从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将 h n d 直接截 断引起的，因此，也称为截断效应
