第一章时域离散信号和时域离散系统 1.1引言 1、信号通常是一个或几个变量的函数。如果仅有一个自变量,则称为一维信号,如果 有两个以上的自变量,则称多维信号。本书只研究以为数字信号处理的理论与技术 2、信号分类 时域连续信号:信号的自变量和函数值都取连续值的信号,如:语音信号、电视信号 时域离散信号:自变量取离散值,而函数值取连续值的信号 数字信号:自变量和函数值均取离散值。 1.2时域高散信号 对模拟信号x()进行等间隔采样,采样间隔为T,得到 x()=m=x(m7),-0<n<o (1.1) 可简写为 x(n)=x2(n7),-∞<n 信号随n的变化规律可以用公式表示,也可以用图形表示,还可以用集合表示 1.2.1常用的典型序列 1、单位采样序列(m) ∫1n=0 (1.3) MATLAB实现 function y=srcdelta(n1, n2, n0) y=[(n-nO)==0] 函数调用: y=srcdelta(-2, 4, 0) stem(n, y)
第一章 时域离散信号和时域离散系统 1.1 引言 1、信号通常是一个或几个变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号，如果 有两个以上的自变量，则称多维信号。本书只研究以为数字信号处理的理论与技术。 2、信号分类 时域连续信号：信号的自变量和函数值都取连续值的信号，如：语音信号、电视信号。 时域离散信号：自变量取离散值，而函数值取连续值的信号。 数字信号：自变量和函数值均取离散值。 1.2 时域离散信号 对模拟信号 x t a ( ) 进行等间隔采样，采样间隔为 T，得到 ( ) ( ), a t nT a x t x nT n = = − (1.1) 可简写为 ( ) ( ), a x n x nT n = − (1.2) 信号随 n 的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示，还可以用集合表示。 1.2.1 常用的典型序列 1、单位采样序列 (n) ( ) 1, 0 0, 0 n n n = = (1.3) MATLAB 实现： 函数调用： function y=srcdelta(n1,n2,n0) n=n1:n2; y=[(n-n0)==0]; y=srcdelta(-2,4,0); n=-2:4; stem(n,y)
单位阶跃序列 (=1n0 0n=0] 3、矩形序列R( 1,0≤n≤N-1 R( (1.5) 0其它 矩形序列R(m)可用单位阶跃序列表示 R(n=u(n)-u(n-N MATLAB实现: function y=srcjy(nl, n2, n3, n4) y=[(n-n3)>=0&(n-n4)<=0] 4、实指数序列 x(m)=a"u(m),a为实数 MATLAB实现 function y=srcexp(a, n) 5、正弦序列 已知正弦函数
2、单位阶跃序列 u n( ) ( ) 1, 0 0, 0 n u n n = (1.4) 单位采样函数 (n) 与单位阶跃序列 u n( ) 之间的关系为： (n u n u n ) = − − ( ) ( 1) ( ) ( ) k 0 u n n k = = − MATLAB 实现： 3、矩形序列 R n n ( ) ( ) 1,0 1 0, n n N R n − = 其它 (1.5) 矩形序列 R n N ( ) 可用单位阶跃序列表示： R n u n u n N N ( ) = − − ( ) ( ) MATLAB 实现： 4、实指数序列 ( ) ( ) n x n a u n = ，a 为实数 (1.6) MATLAB 实现： 5、正弦序列 已知正弦函数 function y=srcjy(n1,n2,n0) n=n1:n2; y=[(n-n0)>=0]; function y=srcjy(n1,n2,n3,n4) n=n1:n2; y=[(n-n3)>=0 &(n-n4)<=0]; function y=srcexp(a, n) y=a.^n
xn()=sn(9) Ω为角频率。对其以周期T进行采样,可得 sin(Ω tent 简写为 x(n=sin(on 其中O称为数字颜率,对应的9称为模拟角频率,有 Q7 f f为采样颜率。 6、复指数序列 x(n)=ela+je n 其中on为数字域频率。由于有 ,M=0,±1,±2, 所以复指数序列具有以2x为周期的周期性。 7、周期序列 若对所有n存在一个最小的正整数N,使 x(m)=x(m+N),-0<n< 成立,则称序列x(n)为周期性序列 设 aon+p) x(n+N)=Asin(oo(n+N)+)=Asin(0n+@N+p) 要使 x(n+N=x(n) 则必须有 k 式中k与N均取整数,且k的取值要保证N是最小正整数,满足这些条件,正 弦序列才是以N为周期的周期序列 8、锯齿波和三角波: sawtooth(T, Width) 9、方波: square(t)
x t t a ( ) = sin( ) 为角频率。对其以周期 T 进行采样，可得 x t nT a t nT ( ) = = sin( ) 简写为 x n n ( ) = sin( ) 其中 称为数字频率，对应的 称为模拟角频率，有 =T s f = s f 为采样频率。 6、复指数序列 ( ) ( j n 0 ) x n e + = 其中 0 为数字域频率。由于有 ( 0 ) 0 2 , 0, 1, 2, j M n j n e e M + = = 所以复指数序列具有以 2 为周期的周期性。 7、周期序列 若对所有 n 存在一个最小的正整数 N，使 x n x n N n ( ) = + − ( ), 成立，则称序列 x n( ) 为周期性序列。 设 x n A n ( ) = + sin( 0 ) 则 x n N A n N A n N ( + = + + = + + ) sin sin ( 0 0 0 ( ) ) ( ) 要使 x n N x n ( + =) ( ) 则必须有 0 2 N k = 式中 k 与 N 均取整数，且 k 的取值要保证 N 是最小正整数，满足这些条件，正 弦序列才是以 N 为周期的周期序列。 8、锯齿波和三角波：sawtooth(T,Width) 9、方波：square(t)
1.22序列的运算 序列运算有:乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。 乘法和相加:同序号的序列值逐项相乘或相加 移位、翻转及尺度变换
1.2.2 序列的运算 序列运算有：乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。 乘法和相加：同序号的序列值逐项相乘或相加 移位、翻转及尺度变换
1.3时域离散系统 设时域离散系统的输入为x(n),经过规定的运算,系统输出序列用y(n)表 示。设运算关系用7[表示,输入与输出值之间的关系用下式表示: 7x( (1.3.1) 在时域离散系统中,常用的是线性时不变系统,这是因为很多物理过程都可用 这类系统表征,且便于分析。 1.3.1线性系统 满足线性叠加原理的系统称为线性系统。即设x(n)和x2(n)分别作为系统 的输入序列,其输出分别用y(m)和y2(m)表示,即 y(n)=T[x(m)],y2(m)=T[x(n)] 如果该系统为线性系统,则必须满足以下两式: T[x(m)+x2(m)=y(m)+y(n)(可加性) (1.3.2) T[ax(n)]=a(m)(齐次性) (1.3.3) 例1.3.1证明y(m)=a(m)+b(a和b是常数),所代表的系统是非线性系 3.2时不变系统 如果系统对输入信号的运算在整个运算过程中不随时间变化,或者说系统 对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关,则这种系统称为时不变系 统。即 y(n)=TLx(n)] (1.3.5) y(n-no)=TLx(n-no) 式中n为任意整数。 例1.3.2检查y(m)=ax(m)+b(a和b是常数)表示的系统是否是时不变系 统
1.3 时域离散系统 设时域离散系统的输入为 x n( ) ，经过规定的运算，系统输出序列用 y n( ) 表 示。设运算关系用 T 表示，输入与输出值之间的关系用下式表示： y n T x n ( ) = ( ) （1.3.1） 在时域离散系统中，常用的是线性时不变系统，这是因为很多物理过程都可用 这类系统表征，且便于分析。 1.3.1 线性系统 ——满足线性叠加原理的系统称为线性系统。即设 x n 1 ( ) 和 x n 2 ( ) 分别作为系统 的输入序列，其输出分别用 y n 1 ( ) 和 y n 2 ( ) 表示，即 y n T x n 1 1 ( ) = ( ) ， y n T x n 2 2 ( ) = ( ) 如果该系统为线性系统，则必须满足以下两式： T x n x n y n y n 1 2 1 2 ( ) + = + ( ) ( ) ( ) （可加性） （1.3.2） T ax n ay n 1 1 ( ) = ( ) （齐次性） （1.3.3） 例 1.3.1 证明 y n ax n b ( ) = + ( ) （a 和 b 是常数），所代表的系统是非线性系 统。 1.3.2 时不变系统 ——如果系统对输入信号的运算在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统 对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系 统。即 ( ) ( ) ( 0 0 ) ( ) y n T x n y n n T x n n = − = − （1.3.5） 式中 0 n 为任意整数。 例1.3.2 检查 y n ax n b ( ) = + ( ) （a 和 b 是常数）表示的系统是否是时不变系 统
例1.3.3检查y(n)=nx(m)所代表的系统是否是时不变系统 1.3.3线性时不变系统输入与输出之间的关系 l、单位取样响应 设系统的输入x(n)=(m),系统输出y(m)的初始状态为零,则系统输出称 为系统的单位破样响应,表示为h(n),即 h(m)=T[()] (1.3.6) 2、一般输入x(n)的响应 对于一般输入信号x(m),可以表示成单位采样序列移位加权和 (n)=∑x(m)(m-m) 根据线性时不变系统的叠加性和时不变性,可得系统的输出 y(n)=x(n)*h(n) (1.3.7) 表示线性时不变系统的款出等无款入序列和该系统的单位取样响应的卷积。因 此,只要知道系统的单位取样响应,就可以按照(1.3.7)式,求出对于任意输 入x(m)的系统输出。 3、卷积的计算 方法1:手工计算 Step1:将x(m)和h(m)用x(m)和h(m)表示,并将h(m)翻转,形成 Step2:将h(-m)移位n,得到h(n-m)。当n>0时,序列右移;n<0 时,序列左移 step3:将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘后,再相加 方法2: MATLAB计算 用 MATLAB提供的函数:conv
例1.3.3 检查 y n nx n ( ) = ( ) 所代表的系统是否是时不变系统。 1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系 1、单位取样响应 设系统的输入 x n n ( ) = ( ) ，系统输出 y n( ) 的初始状态为零，则系统输出称 为系统的单位取样响应，表示为 h n( ) ，即 h n T n ( ) = ( ) （1.3.6） 2、一般输入 x n( ) 的响应 对于一般输入信号 x n( ) ，可以表示成单位采样序列移位加权和 ( ) ( ) ( ) m x n x m n m =− = − 根据线性时不变系统的叠加性和时不变性，可得系统的输出 y n x n h n ( ) = ( )* ( ) （1.3.7） 表示线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。因 此，只要知道系统的单位取样响应，就可以按照（1.3.7）式，求出对于任意输 入 x n( ) 的系统输出。 3、卷积的计算 方法 1：手工计算 Step 1: 将 x n( ) 和 h n( ) 用 x m( ) 和 h m( ) 表示，并将 h m( ) 翻转， 形成 h m (− ) ； Step 2: 将 h m (− ) 移位 n，得到 h n m ( − ) 。当 n 0 时，序列右移； n 0 时，序列左移； Step 3: 将 x m( ) 和 h n m ( − ) 相同 m 的序列值对应相乘后，再相加。 方法 2：MATLAB 计算 用 MATLAB 提供的函数：conv
m=0:3 n=0:6 h=[1111 x=[1111] subplot(221) stem(m, h) stem(m, x) y=conv(x, h)i subplot(223) 方法3 自己用计算机语言设计程序。 例1.3.4设x(m)=R(m),h(n)=R(m),求y(m)。 3.5 4、线性卷积的性质 x(n*(n)=(n)*x(n) (1.3.8) x(n)+[(m)*2(m)=(x(n)*A(n)*h(m) (1.39) x(n)+[h(n)+h(m)]=x(m)+h()+x(n)*h(m) (1.3.10) 5、系统的级联、并联及其响应
m=0:3; n=0:6; h=[1 1 1 1]; x=[1 1 1 1]; subplot(221) stem(m,h) subplot(222) stem(m,x) y=conv(x,h); subplot(223) stem(n,y) 方法 3： 自己用计算机语言设计程序。 例 1.3.4 设 x n R n ( ) = 4 ( )，h n R n ( ) = 4 ( ) ，求 y n( ) 。 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 n y(n) 4、线性卷积的性质 x n h n h n x n ( )* * ( ) = ( ) ( ) （1.3.8） x n h n h n x n h n h n ( )* * * * 1 2 1 2 ( ) ( ) = ( ( ) ( )) ( ) （1.3.9） x n h n h n x n h n x n h n ( )* * * 1 2 1 2 ( ) + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （1.3.10） 5、系统的级联、并联及其响应
两系统级联,其等效系统的单位取样响应等于两系统分别的单位取样响应 的卷积。 两系统并联,其等效系统的单位取样响应等于两个系统分别的单位取样响 应之和。 注意:以上关系仅适用于线性时不变系统。 x(n) y(n) h,(n) h2(n) h(n)*h2(n) (n) y(n) h(n)+h2(n) h,(n) n) y(n) h2(n) 图1卷积的结合律和分配律 .3.4系统的因果性和稳定性 1、系统的因果性与因果系统 如果系统n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列,而和 n时刻以后的输入序列无关,则称该系统具有因果性,称该系统为因果系统。 否则,系统称为非因果系统 系统的因果性是指系统的可实现性。 注意 模拟系统的非因果系统确实不能实现,而对于数字系统,利用系统中数据 的存储性能,有些非因果系统可以实现,有些非因果系统可以近似实现,只是 系统输出有延时
两系统级联，其等效系统的单位取样响应等于两系统分别的单位取样响应 的卷积。 两系统并联，其等效系统的单位取样响应等于两个系统分别的单位取样响 应之和。 注意：以上关系仅适用于线性时不变系统。 h1 (n) h2 (n) h1 (n)*h2 (n) h1 (n)+h2 (n) h2 (n) h1 (n) x(n) y(n) x(n) y(n) x(n) y(n) x(n) y(n) 图 1 卷积的结合律和分配律 1.3.4 系统的因果性和稳定性 1、系统的因果性与因果系统 如果系统 n 时刻的输出只取决于 n 时刻以及 n 时刻以前的输入序列，而和 n 时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性，称该系统为因果系统。 否则，系统称为非因果系统。 系统的因果性是指系统的可实现性。 注意： 模拟系统的非因果系统确实不能实现，而对于数字系统，利用系统中数据 的存储性能，有些非因果系统可以实现，有些非因果系统可以近似实现，只是 系统输出有延时
2、线性时不变系统具有因果性的充要条件 h 满足(1.3.13)式的序列称为因果序型 因果系统的单位取样响应必然是因果序列 3、稳定性与稳定系统 —是指系统有界输入,系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系 统的单位取样响应绝对可和,用公式表示为 (1.3.14) 4、例题 例1.3.6设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=alu(m),式中a是实常数, 试分析该系统的因果稳定性 例1.3.7设系统的单位取样响应h(n)=u(m),求对于任意输入序列x(m)的输 出y(n),并检验系统的因果性和稳定性。 1.4时域高散系统的输入输出描述法—线性常系数差分方程 描述一个系统,不去管系统内部结构,只描述或者研究系统输出和输 入之间的关系。 对于时域离散系统可以用差分方程描述或研究输出于输入之间的关系。对 于线性时不变系统,可用线性常系数差分方程描述 1.4.1线性常系数差分方程 个N阶线性常系数差分方程可以表示为 y(n)=∑bx(n-1)-∑ay(n-) (1.4.1 或者
2、线性时不变系统具有因果性的充要条件 h n n ( ) = 0, 0 （1.3.13） 满足（1.3.13）式的序列称为因果序列。 因果系统的单位取样响应必然是因果序列。 3、稳定性与稳定系统 ——是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系 统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为 ( ) n h n =− （1.3.14） 4、例题 例 1.3.6 设线性时不变系统的单位取样响应 ( ) ( ) n h n a u n = ，式中 a 是实常数， 试分析该系统的因果稳定性。 例 1.3.7 设系统的单位取样响应 h n u n ( ) = ( ) ，求对于任意输入序列 x n( ) 的输 出 y n( ) ，并检验系统的因果性和稳定性。 1.4 时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程 ——描述一个系统，不去管系统内部结构，只描述或者研究系统输出和输 入之间的关系。 对于时域离散系统可以用差分方程描述或研究输出于输入之间的关系。对 于线性时不变系统，可用线性常系数差分方程描述。 1.4.1 线性常系数差分方程 一个 N 阶线性常系数差分方程可以表示为 ( ) ( ) ( ) 0 1 M N i i i i y n b x n i a y n i = = = − − − （1.4.1） 或者
a vn-I x(n-1 ao (1.4.2) 14.2线性常系数差分方程的求解 1、经典解法 类似于求解微分方程,较麻烦,很少用。 2、递推解法 适合于计算机求解,但只能得到数值解。 3、变换域解法 变换到Z域进行求解,较简便 此处只介绍递推解法,变换域解法第二章介绍,经典解法不予介绍。 4、递推解法及示例 求解条件: 由(1.4.1)可知,要求n时刻的输出,必须知道n时刻以及以前的输入序 列,和n时刻以前的N个输出信号值 例1.4.1设系统用差分方程y()=a(n-1)+x(m)描述,输入序列 x(m)=d(n),求输出序列。 例1.4.2设差分方程为y(n)=ay(m-1)+x(n),式中x(m)=6(m), y(n)=0,n>0,求输出序列
( ) ( ) 0 0 0 , 1 N M i i i i a y n i b x n i a = = − = − = （1.4.2） 1.4.2 线性常系数差分方程的求解 1、经典解法 类似于求解微分方程，较麻烦，很少用。 2、递推解法 适合于计算机求解，但只能得到数值解。 3、变换域解法 变换到 Z 域进行求解，较简便。 此处只介绍递推解法，变换域解法第二章介绍，经典解法不予介绍。 4、递推解法及示例 求解条件： 由（1.4.1）可知，要求 n 时刻的输出，必须知道 n 时刻以及以前的输入序 列，和 n 时刻以前的 N 个输出信号值。 例 1.4.1 设系统用差分方程 y n ay n x n ( ) = − + ( 1) ( ) 描述，输入序列 x n n ( ) = ( ) ，求输出序列。 例 1.4.2 设差分方程为 y n ay n x n ( ) = − + ( 1) ( ) ，式中 x n n ( ) = ( ) ， y n( ) = 0，n 0 ，求输出序列