第二章时域离散信号和系统的频域分析 2.1引言 信号和系统的分析方法有时域分析法和频率分析法。对于时域连续信号, 系统用微分方程描述,为了在频域进行分析,一般要用 Laplace变换或 Fourier变换将时间与函数转换到频率域。对于时域离散信号,信号要用序列 表示,系统则用差分方程描述,频域分析则采用Z变换或 Fourier变换实现。 2.2序列的 Fourier变换的定义及性质 1、序列傅立叶变换的定义 定义 (e")=∑x 为序列x(m)的傅立叶变换,用FT表示。 2、傅立变换的条件 FT成立的充要条件是序列x(m)绝对可和,即 、傅立叶反变换 x(n) =2 x(elo)e/mdo 傅里叶反变换用IFT表示。 4、例题 例2.2.1设x(n)=R3(m),求x(n)的FT
第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 信号和系统的分析方法有时域分析法和频率分析法。对于时域连续信号， 系统用微分方程描述，为了在频域进行分析，一般要用 Laplace 变换或 Fourier 变换将时间与函数转换到频率域。对于时域离散信号，信号要用序列 表示，系统则用差分方程描述，频域分析则采用 Z 变换或 Fourier 变换实现。 2.2 序列的 Fourier 变换的定义及性质 1、序列傅立叶变换的定义 定义 ( ) ( ) j j n n X e x n e − =− = (2.1) 为序列 x n( ) 的傅立叶变换，用 FT 表示。 2、傅立变换的条件 FT 成立的充要条件是序列 x n( ) 绝对可和，即 ( ) n x n =− (2.2) 3、傅立叶反变换 ( ) ( ) 1 2 j j n x n X e e d − = (2.3) 傅里叶反变换用 IFT 表示。 4、例题 例 2.2.1 设 x n R n ( ) = N ( ) ，求 x n( ) 的 FT
5、序列傅立叶变换的性质 (1)FT的周期性 由定义(2.2.1)式可知,序列x(n)的傅立叶变换为 x(e")=∑x(n)em 由于复指数函数具有周期性,所以有 (e)=∑x(n)eo+2xM,M为整数 即序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数,周期是2x。 由于序列的傅立叶变换具有周期性,且周期为2丌,所以在ω=0和ω=2πM 附近的频谱分布应是相同的,在ω=0,±2π,…点上表示x(n)信号的直流分 量,离开这些点越远,其频率越高,最高频率应是ω=(2M+1)π。 Note:由于FT是以2π为周期的周期函数,一般只分析-x~+丌之间或 0~2范围的FT就够了。 (2)线性性 设X1(e)=F[x1(m)],x2(e")=FT[x2(m)],则 FTLax, (n)+bx2(n)]=ar,(e)+bx,(e) 式中a,b为常数。 (3)时移与频移 设x(e")=F[x(m),那么 (228) FTLe wx(n)]=x(e/le-b) (229) (4)FT的对称性 ●共轭对称 设序列x(n)满足下式 (n)=x(-n)
5、序列傅立叶变换的性质 （1）FT 的周期性 由定义(2.2.1)式可知，序列 x(n)的傅立叶变换为 ( ) ( ) j j n n X e x n e − =− = 由于复指数函数具有周期性，所以有 ( 2 ) ( ) ( ) , j j M n n X e x n e − + =− = M 为整数 (2.4) 即序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数， 周期是 2 。 由于序列的傅立叶变换具有周期性，且周期为 2 ，所以在ω=0 和ω= 2πM 附近的频谱分布应是相同的，在ω=0，±2π，…点上表示 x(n)信号的直流分 量，离开这些点越远，其频率越高，最高频率应是ω=(2M+1)π。 Note：由于 FT 是以 2π为周期的周期函数，一般只分析 − + ~ 之间或 0 ~ 2 范围的 FT 就够了。 （2）线性性 设 1 1 2 2 ( ) [ ( )], ( ) [ ( )] j j X e FT x n X e FT x n = = ，则 1 2 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) j j FT ax n bx n aX e bX e + = + (2.5) 式中 a,b 为常数。 （3）时移与频移 设 ( ) ( ) j X e FT x n = , 那么 ( ) ( ) 0 0 j n j FT x n n e X e − − = （ 2.2.8） ( ) ( ) ( ) 0 0 j n j FT e x n X e − = （2.2.9） （4）FT 的对称性 ⚫ 共轭对称 设序列 x n e ( ) 满足下式： ( ) ( ) * e e x n x n = − (2.2.10)
则称x(m)为共称序烈 ●共轭反对称 设序列x(m)满足下式 (2.2.13) 称x(m)为反对称序到。 ●共轭对称序列的性质 将x(n)用其实部与虚部表示 (n)=xe(n)+jre(n) 将上式两边n用-n代替,并取共轭,得到 x(-n)=x-(-m)-x2(-n) 对比上面两公式,可得 x(n)=x(-n) (2.2.11) xe (n)=xe (-n 即共轭对称序列的实部是偶函数,而虚部是奇函数。 共轭反对称序列的性质 将x(m)表示成实部与虚部如下式: xo(n)=xo (n)+jx (n) 可以得到 xo (n =-x(-n) (2.2.14 xo (n)=xo(-n (2.2.15 即共亮反对称序列的实部是奇函数,历虚部是偶函数。 般序列的表 般序列可用共称与共轭反对称序列之和表示,即
则称 x n e ( ) 为共轭对称序列。 ⚫ 共轭反对称 设序列 x n o ( ) 满足下式： ( ) ( ) * o o x n x n = − − (2.2.13) 称 x n o ( ) 为共轭反对称序列。 ⚫ 共轭对称序列的性质 将 x n e ( ) 用其实部与虚部表示 x n x n jx n e er ei ( ) = + ( ) ( ) 将上式两边 n 用-n 代替，并取共轭，得到 ( ) ( ) ( ) * e er ei x n x n jx n − = − − − 对比上面两公式，可得 x n x n er er ( ) = −( ) (2.2.11) x n x n ei ei ( ) = − −( ) (2.2.12) 即共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数。 ⚫ 共轭反对称序列的性质 将 x n 0 ( ) 表示成实部与虚部如下式： x n x n jx n o or oi ( ) = + ( ) ( ) 可以得到 x n x n or or ( ) = − −( ) (2.2.14) x n x n oi oi ( ) = −( ) (2.2.15) 即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。 ⚫ 一般序列的表示 一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， 即
x(m)=x(m)+x2(m) (2.2.16) 式中x(m),x2(n)分别为 1 x(n)=x()+x( (-n)] (2.2.18) x(n)=[x(n)-x(-n)] (2.2.19) 频域函数的共轭对称部分和共轭反对称部分 如果频域函数满足 x(eo)=x:(eio) (2.2.21) X xle (2.2.22) 则x(e")与x()分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分 一般序列频域函数的表示 般序列的频域函数同样可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示 x(e)=x(e")+x(e") (2.2.20) 其中 x(")=[x(e")+x(e) 序列频域函数的共轭对称性 将序列x(m)表示为实部x(m)与虚部x(n),即 (n)=x(n)+x(m) 两边同时进行FT,可得 X(eio)=FT[,(n)]=2x, (n)e je X,(ele)=FT[x(n)]=2x(n)e /ien
x n x n x n ( ) = + e o ( ) ( ) (2.2.16) 式中 x n e ( ) , x n o ( ) 分别为 ( ) ( ) ( ) 1 * 2 e x n x n x n = + − （2.2.18） ( ) ( ) ( ) 1 * 2 o x n x n x n = − − （2.2.19） ⚫ 频域函数的共轭对称部分和共轭反对称部分 如果频域函数满足 ( ) ( ) j j * X e X e e e − = （2.2.21） ( ) ( ) j j * X e X e o o − = − （2.2.22） 则 ( ) j X e e 与 ( ) j X e o 分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分。 ⚫ 一般序列频域函数的表示 一般序列的频域函数同样可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示 ( ) ( ) ( ) j j j X e X e X e e o = + （2.2.20） 其中 ( ) ( ) ( ) 1 * 2 j j j X e X e X e e − = + （2.2.23） ( ) ( ) ( ) 1 * 2 j j j X e X e X e o − = − （2.2.24） ⚫ 序列频域函数的共轭对称性 ➢ 将序列 x n( ) 表示为实部 x n r ( ) 与虚部 x n i ( ) ，即 x n x n jx n ( ) = + r i ( ) ( ) 两边同时进行 FT，可得 ( ) ( ) ( ) j j n r r r n X e FT x n x n e − =− = = ( ) ( ) ( ) j j n i i i n X e FT x n x n e − =− = =
因为 X(el)=x(ejo) x(e/)=-X;(e 分别是共轭对称部分和共轭反对称部分。所以有 一个序列,如果将其分成实部与虚部分别表示,则实部对应的P具有共 对称性,虚部和j一起刚应的FT具有共反对称性。 将序列分成共轭对称部分x(n)和共轭反对称部分x),即 x(n)=x(n)+x(n) (2.2.25) 因为 x(n)=5[x(m)-x(-n) 分别进行FT,可得 F7x(x(2)+x(e)=Rex()=x(2) F7[x()=2[x(e)-x(e")]=/hm[x(e")=px(e") 因此(2.2.25)式的FT有 x(e")=xa(e")+x(e") (2.2.26) 即:序列的共轭对称部分x(n)对应蓉F的实部XR(e"),序列的共扼反对 称部分x(m)对应着F的虚部X(e") 实因果序列()的对称性 因为h(n)是实序列,其FT只有共轭对称部分H(e),其共轭反对称部分 为零。即 HeJ=h
因为 ( ) ( ) j j * X e X e r r − = ( ) ( ) j j * X e X e i i − = − 分别是共轭对称部分和共轭反对称部分。所以有： 一个序列，如果将其分成实部与虚部分别表示，则实部对应的 FT 具有共轭 对称性，虚部和 j 一起对应的 FT 具有共轭反对称性。 ➢ 将序列分成共轭对称部分 x n e ( ) 和共轭反对称部分 x n o ( ) ，即 x n x n x n ( ) = + e o ( ) ( ) （2.2.25） 因为 ( ) ( ) ( ) 1 * 2 e x n x n x n = + − ( ) ( ) ( ) 1 * 2 o x n x n x n = − − 分别进行 FT，可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * Re 2 j j j j FT x n X e X e X e X e e R = + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * Im 2 j j j j FT x n X e X e j X e jX e o I = − = = 因此（2.2.25）式的 FT 有 ( ) ( ) ( ) j j j X e X e jX e R I = + （2.2.26） 即：序列的共轭对称部分 x n e ( ) 对应着 FT 的实部 ( ) j X e R ，而序列的共轭反对 称部分 x n o ( ) 对应着 FT 的虚部 ( ) j X e I 。 ⚫ 实因果序列 h n( ) 的对称性 因为 h n( ) 是实序列，其 FT 只有共轭对称部分 ( ) j H e e ，其共轭反对称部分 为零。即 ( ) ( ) j j H e H e e =
H 因此实序列的FT的实部是偶函数,虚部是奇函数,用公式表示为 H (e")=-H1(e-) 其模的平方 是偶函数,相位函数 H,et argI H arg tan 是奇函数。 偶函数h(m)、奇函数h(m)与h(m)之间的关系 实因果序列h(n)可表示为 h(n)=h(n)+ho(n) 其中 x()=2 x(n+x (n)=5[x()x(-m) 因为是因果序列,是实序列,所以 h(),n=0 h(n)={h(n),n>0 (2.2.27) h(),n=0 h(m)={h(m),n>0 (2.2.28) h(-n),n<0
( ) ( ) j j * H e H e e − = 因此实序列的 FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为： ( ) ( ) ( ) ( ) j j R R j j I I H e H e H e H e − − = = − 其模的平方 ( ) ( ) ( ) 2 j j j 2 2 H e H e H e R I = + 是偶函数，相位函数 ( ) ( ) ( ) arg arg tan j I j j R H e H e H e = 是奇函数。 ⚫ 偶函数 h n e ( ) 、奇函数 h n o ( ) 与 h n( ) 之间的关系 实因果序列 h n( ) 可表示为 h n h n h n ( ) = + e o ( ) ( ) 其中 ( ) ( ) ( ) 1 * 2 e x n x n x n = + − ( ) ( ) ( ) 1 * 2 o x n x n x n = − − 因为是因果序列，是实序列，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 1 , 0 2 1 , 0 2 e h n h n h n n h n n = = − （2.2.27） ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 1 , 0 2 1 , 0 2 o h n h n h n n h n n = = − − （2.2.28）
即实因果序列可以分别用h(m)和h(n)表示为 h(n)=h(n)u(n) (2.2.29) h(n)=h(n)u,(n)+h(0)(n) (2.2.30) 2.n>0 (m)={1,n=0 0,n<0 即:实因果序列完全可以仅由其偶序列统复。 例22.3x(n)=a"u(m),0a<1。求其偶函数x(m)和奇函数x2(n)。 (5)时域卷积定理 设 (em)=x(e"),H( 22.32) 即:射于线性时不变系统,输出的HT等于勃入信号的FT乘以单位脉神响应的 (6)频域卷积定理 设 (n)=x(n) -x(n) 则 (e)=2x()H()=2x(e)H(e0).(2 即:在时域两序列相乘,转换到频域服从卷积关系。 (7) Paseval定理
即实因果序列可以分别用 h n e ( ) 和 h n o ( ) 表示为 h n h n u n ( ) = e ( ) + ( ) （2.2.29） h n h n u n h n ( ) = + o ( ) + ( ) (0) ( ) （2.2.30） 其中 ( ) 2, 0 1, 0 0, 0 n u n n n + = = （2.2.31） 即：实因果序列完全可以仅由其偶序列恢复。 例 2.2.3 ( ) ( ) n x n a u n = ，0<a<1。求其偶函数 x n e ( ) 和奇函数 x n o ( ) 。 （5）时域卷积定理 设 y n x n h n ( ) = ( )* ( ) ， 则 ( ) ( ) ( ) j j j Y e X e H e = （2.2.32） 即：对于线性时不变系统，输出的 FT 等于输入信号的 FT 乘以单位脉冲响应的 FT。 （6）频域卷积定理 设 y n x n x n ( ) = ( ) ( ) 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 * 2 2 j j j j j Y e X e H e X e H e d − − = = （2.2.33） 即：在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。 （7）Paseval 定理
x(n)=X(e)do =一⑦ 即:信号的时域总能量等于频域总能量
( ) ( ) 2 1 2 2 j n x n X e d − =− = （2.2.34） 即：信号的时域总能量等于频域总能量
2.3周期序列的离散 Fourier级数及 Fourier变换表示式 由(2.22)可知,FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件, 即满足 ∑x(m)<∞ 周期序列一般不满足该条件,因此它的FT是不存在的。 又,由于周期函数可以展开为离散 Fourier级数。只要引入奇异函数δ, 离散 Fourier级数可以表示为FT形式 2.3.1周期序列的离散 Fourier级数 周期序列的离散 Fourier级数 设X(n)是以N为周期的周期序列,则可以展开为 are (2.3.1) ∑(n)e 由于cN是周期函数,当k或者n变化时,其值作周期变化。即有 令X(k)=Na,则有 Xlk (2.3.4) 该式中的x(k)也是一个以N为周期的周期序列,称为x(m)的离散 trier级 WK(DFS, Discrete Fourier Series) 相应地 (n)=1∑X(k (2.3.5) 式(2.3.4)和(2.3.5)称为一对DFS
2.3 周期序列的离散 Fourier 级数及 Fourier 变换表示式 由（2.2.2）可知，FT 成立的充要条件是序列 x n( ) 满足绝对可和的条件， 即满足： ( ) n x n =− 周期序列一般不满足该条件，因此它的 FT 是不存在的。 又，由于周期函数可以展开为离散 Fourier 级数。只要引入奇异函数 ， 离散 Fourier 级数可以表示为 FT 形式。 2.3.1 周期序列的离散 Fourier 级数 1、周期序列的离散 Fourier 级数 设 x n( ) 是以 N 为周期的周期序列，则可以展开为 ( ) 2 j kn N k k x n a e =− = （2.3.1） ( ) 1 2 0 1 , N j kn N k n a x n e k N − − = = − （2.3.3） 由于 2 j kn N e − 是周期函数，当 k 或者 n 变化时，其值作周期变化。即有 k k lN a a = + 令 X k Na ( ) = k ，则有 ( ) ( ) 1 2 0 , N j kn N n X k x n e k − − = = − （2.3.4） 该式中的 X k( ) 也是一个以 N 为周期的周期序列，称为 x n( ) 的离散 Fourier 级 数（DFS,Discrete Fourier Series） 相应地 ( ) ( ) 1 2 0 1 N j kn N n x n X k e N − = = （2.3.5） 式（2.3.4）和（2.3.5）称为一对 DFS
(2.3.5)表明:周期序列的频谱是离散的,频率1=-,k,k=0L,2…,M1 幅度为X(k)。 2、例题 例23.1设x(m)=R(m),将x(n)以N8为周期进行周期延拓,求X()的 DFS。 0.5 2.3.2周期序列的 Fourier变换表示式 1、复指数序列的 Fourier变换 对于时域连续复指数函数x()=e,其 Fourier变换为 X(19)=FT[x()=ce=2m5(92-92)(2.8) 即其 Fourier变换是在g2=g处的单位冲激函数,强度是2r
（2.3.5）表明：周期序列的频谱是离散的，频率 2 k k N = ，k=0,1,2,…，N-1, 幅度为 ( ) 1 X k N 。 2、例题 例 2.3.1 设 x n R n ( ) = 4 ( ) ，将 x n( ) 以 N=8 为周期进行周期延拓，求 x n( ) 的 DFS。 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.5 1 n x(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 n Abs(X) 2.3.2 周期序列的 Fourier 变换表示式 1、复指数序列的 Fourier 变换 对于时域连续复指数函数 ( ) 0 j t a x t e = ，其 Fourier 变换为 ( ) ( ) ( ) 0 0 2 j t j t X j FT x t e e dt a a − − = = = − （2.3.8） 即其 Fourier 变换是在 = 0 处的单位冲激函数，强度是 2