第七章有限脉冲响应数字滤波器的设计 ●IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进 行设计的,因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中 只考虑了幅度特性,没有考虑相位特性,所设计的滤波器相位特性一般 是非线性的。 ●在IIR滤波器设计时,如果要得到线性相位特性,必须另外增加相位校 正网络,使滤波器设计变得复杂,成本升高。 ●FIR滤波器在保证幅度特性满足要求的同时,很容易做到有严格的线性 相位特性。设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为N,其系统函数H(=) 为 H(=)=∑h(n) H(-)是=的(N-1)次多项时,它在z平面上有(N-1)个零点,原点z=0是(N-1) 阶重极点。因此,H(=)永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优 FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大不同。FIR滤波器设计 任务是选择有限长度的h(n),使传输函数H(e)满足技术要求。 7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 1、线性相位条件 对于长度为N的h(n),传输函数为 H(e)=∑h(nem
第七章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 ⚫ IIR 数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进 行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中 只考虑了幅度特性，没有考虑相位特性，所设计的滤波器相位特性一般 是非线性的。 ⚫ 在 IIR 滤波器设计时，如果要得到线性相位特性，必须另外增加相位校 正网络，使滤波器设计变得复杂，成本升高。 ⚫ FIR 滤波器在保证幅度特性满足要求的同时，很容易做到有严格的线性 相位特性。设 FIR 滤波器单位脉冲响应 h n( ) 长度为 N，其系统函数 H z( ) 为 ( ) ( ) 1 0 N n n H z h n z − − = = H z( ) 是 1 z − 的（N-1）次多项时，它在 z 平面上有（N-1）个零点，原点 z=0 是（N-1） 阶重极点。因此， H z( ) 永远稳定。稳定和线性相位特性是 FIR 滤波器突出的优 点。 FIR 滤波器的设计方法和 IIR 滤波器的设计方法有很大不同。FIR 滤波器设计 任务是选择有限长度的 h n( ) ,使传输函数 ( ) j H e 满足技术要求。 7.1 线性相位 FIR 数字滤波器的条件和特点 1、线性相位条件 对于长度为 N 的 h n( ) ，传输函数为 ( ) ( ) 1 0 N j j n n H e h n e − − = = (1.1)
H(e")=H2(o) 式中,H2(a)称为幅度特性,b(o)称为相位特性。 H(e)线性相位是指()是o的线性函数,即 0(c)=-mO,r为常数 (1.3) 如果(a)满足 ()=日-m,是起始相位 (1.4) 严格地说,此时θ(ω)不具有线性相位,但以上两种情况都满足群时延是一个常 数,即 也称这种情况为线性相位。一般称满足(1.3)式是第一类线性相位:满足(1.4)式 为第二类线性相位 2、线性相位FIR的时域约束条件 (1)第一类线性相位对h(n)的约束条件 第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数 0()= 由式(11)和(.2)可得 H(ee)=2h(n)e jon =H,(o)e jier >h(n)(cos on-jsin on)=H(o)(cos oT-sinor) (1.5) 可得 HR(o)cosar=>h(n)cos on H()inor=∑h( n)sinon
( ) ( ) j j ( ) H e H e g = (1.2) 式中， H g () 称为幅度特性， ( ) 称为相位特性。 ( ) j H e 线性相位是指 ( ) 是 的线性函数，即 ( ) = − , 为常数 (1.3) 如果 ( ) 满足 ( ) 0 0 = − , 是起始相位 (1.4) 严格地说，此时 ( ) 不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常 数，即 d ( ) d = − 也称这种情况为线性相位。一般称满足(1.3)式是第一类线性相位；满足(1.4)式 为第二类线性相位。 2、线性相位 FIR 的时域约束条件 （1） 第一类线性相位对 h n( ) 的约束条件 第一类线性相位 FIR 数字滤波器的相位函数 ( ) = − 由式(1.1)和(1.2)可得 ( ) ( ) ( ) 1 0 N j j n j g n H e h n e H e − − − = = = ( )( ) ( )( ) 1 0 cos sin cos sin N g n h n n j n H − = − = − (1.5) 可得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 cos cos sin sin N g n N g n H h n n H h n n − = − = = = (1.6)
将两式相除,可得 ∑h(n) cos on ∑h(n) sin on 即 h(n)cos onsin@r=h(n)sin oncos 由三角公式可得 h(n)sino(n-r)]=0 (1.7) 如果取h(n)是实序列且对 N 偶对称,即 h(n)=h(n 此时FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数,即 )= (2)第二类线性相位对h(n)的约束条件 第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数为 to 同理可得 H()2(=,(0)(o(m--0a.9 如果取h(n)是实序列且对二偶对称,即 l)0≤n≤N-1 3、线性相位FR滤波器幅度特性Hx()的特点 将时域约束条件
将两式相除，可得 ( ) ( ) 1 0 1 0 cos cos sin sin N n N n h n n h n n − = − = = 即 ( ) ( ) 1 1 0 0 cos sin sin cos N N n n h n n h n n − − = = = 由三角公式可得 ( ) ( ) 1 0 sin 0 N n h n n − = − = (1.7) 如果取 h n( ) 是实序列且对 1 2 N − 偶对称，即 h n h N n ( ) = − − ( 1) (1.8) 此时 FIR 数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，即 ( ) 1 2 N − = − （2） 第二类线性相位对 h n( ) 的约束条件 第二类线性相位 FIR 数字滤波器的相位函数为 ( ) 2 = − − 同理可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 0 cos 0 N N j j j n g n n H e h n e H e h n n − − − + − = = = = = − = (1.9) 如果取 h n( ) 是实序列且对 1 2 N − 偶对称，即 h n h N n n N ( ) = − − − − ( 1 0 1 ) (1.10) 3、线性相位 FIR 滤波器幅度特性 H g () 的特点 将时域约束条件
h(m)=土小(N-n-1) 代入(1.1)式,即 (e)=∑h(n)e 并设h(n)为实序列,即可推导出线性相位条件对FIR数字滤波器的幅度特性 H2(a)的约束条件。 当N取奇数和偶数对H()的约束不同,因此分以下四种情况讨论 CASE1:h(m)=h(N-n-1),N=奇数 将时域约束条件H(n)=h(N-n-1)和0(o)=-0r代入(1)和(2)式,可得: H h(n) N2)=+0)=+b(- 其中 所以 H(o)=h(r)+2 2h(n)cos[o(n-r)I (1.11) 结论 H(a)关于o=0,x,2z三点对称,因此,该情况可以实现各种滤波器,即 低通、高通、带通和带阻
h n h N n ( ) = − − ( 1) 代入(1.1)式，即 ( ) ( ) 1 0 N j j n n H e h n e − − = = 并设 h n( ) 为实序列，即可推导出线性相位条件对 FIR 数字滤波器的幅度特性 H g () 的约束条件。 当 N 取奇数和偶数对 H g () 的约束不同，因此分以下四种情况讨论： CASE 1： h n h N n ( ) = − − ( 1) ，N=奇数 将时域约束条件 h n h N n ( ) = − − ( 1) 和 ( ) = − 代入(1.1)和(1.2)式，可得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 2 cos N j j j n g n N N j j n j N n n N N j j n j N n n N j n H e H e h n e N h e h n e h N n e N h e h n e h n e e h h n n − − − = − − − − − − − − = − − − − − − − − = − − − = = = − = + + − − − = + + = + − 其中 1 2 N − = 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 2 cos N g n H h h n n − − = = + − (1.11) 结论： H g () 关于 = 0, ,2 三点对称，因此，该情况可以实现各种滤波器，即 低通、高通、带通和带阻
CASE2:h(n)=h(N-n-1),N=偶数 推导情况和前面相似,但由于N=偶数,H2(o)中没有单独项,相等的项合 并成项。 H(e-)=H2(o)em=∑h(n)lem=em∑2h(n)oso(n-t) H2(a)=∑h(n)os[o(m-) (1.12) 其中 N-1 又因为 N-1 N 且N是偶数,所以当=丌时 cos[o(n-r)]=cosl 2)2-5zn-|1=0 结论 H2(x)=0,H2(o)关于=x奇对称,关于O=0,2z偶对称。因此,CASE2 不能实现高通和带阻滤波器。 CASE3:h(n)=-h(N-n-1),N奇数 将时域约束条件A(m)=(N-n-)和(a)=-7-r代入(1.)和(12),并 考虑 =0,可得 H(eo)=H(o)ee)=Eh(n)e on ∑2h(n)sn[o(n-)] Hg(o)=22h(n)sin[o(n-r)] 其中,τ和M同上
CASE 2： h n h N n ( ) = − − ( 1) ，N=偶数 推导情况和前面相似，但由于 N=偶数， H g () 中没有单独项，相等的项合 并成 2 N 项。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 2 cos N M j j j n j g n n H e H e h n e e h n n − − − − = = = = = − ( ) ( ) ( ) 0 2 cos M g n H h n n = = − (1.12) 其中 1 2 N M − = 又因为 1 1 2 2 2 N N − = = − 且 N 是偶数，所以当 = 时 cos cos sin 0 ( ) 2 2 2 N N n n n − = − + = − − = 结论： ( ) 0 H g = ，H g () 关于 = 奇对称，关于 = 0,2 偶对称。因此，CASE 2 不能实现高通和带阻滤波器。 CASE 3: h n h N n ( ) = − − − ( 1)，N=奇数 将时域约束条件 h n h N n ( ) = − − − ( 1) 和 ( ) 2 = − − 代入(1.1)和(1.2)，并 考虑 1 0 2 N h − = ，可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 0 2 sin N j j n j g n j M n H e H e h n e e h n n − − − = − + − = = = = − ( ) ( ) ( ) 1 0 2 sin M g n H h n n − = = − 其中， 和 M 同上
结论: 因为N为奇数,r时整数,所以,当O=0,丌,2π时正弦项为零,且关于过零 点奇对称。因此,H2()关于o=0,x,2z三点奇对称。只适合实现带通滤波器 CASE4:h(n)=-h(N-n-1),N=偶数 与CASE3类似 HR(o)=22h(n)sin[o(n-r) (1.13) 结论: N是偶数,r= N-1 N 。所以,当O=0.,2z时正弦项为零,当=时 sn[o(n-)]=(-),为峰点。因此H()关于O=0.2奇对称,关于O=x 偶对称 CASE4不能实现低通和带阻滤波器。 表7.1.1线性相位FIR滤波器的幅度特性与相位特性一览表 相位响应 N为奇数 H2(0)=∑c(n)sin(no) c(n) N为偶数 0 H(0)
结论： 因为 N 为奇数， 时整数，所以，当 = 0, ,2 时正弦项为零，且关于过零 点奇对称。因此， H g () 关于 = 0, ,2 三点奇对称。只适合实现带通滤波器。 CASE 4：h n h N n ( ) = − − − ( 1)，N=偶数 与 CASE 3 类似 ( ) ( ) ( ) 0 2 sin M g n H h n n = = − (1.13) 结论： N 是偶数， 1 1 2 2 2 N N − = = − 。所以，当 = 0,2 时正弦项为零，当 = 时， ( ) ( ) 2 sin 1 n N n − − = − ，为峰点。因此 H g () 关于 = 0,2 奇对称，关于 = 偶对称。 CASE 4 不能实现低通和带阻滤波器。 表 7.1.1 线性相位 FIR 滤波器的幅度特性与相位特性一览表
偶对称单位脉冲响应 h(n)=h(N-1-n) 相位响应 N为奇数 m)1 (n)cosn@ 况 a(n) 0N-1 N为偶数 H,(0)=∑bno- AAA 4、线性相位FIR滤波器零点分布特点 因为对于FIR数字滤波器,有 H(-)=∑h(n) 要保持线性相位,必有h(m)=±h(N-n-1),所以有 由(1.14)可见 如二=1是H(二)的零点,其倒数z1也必然是其零点。 又因为h(n)是实序列,H(=)的零点必是共轭成对,因此三和(=)也 是其零点。 因此,线性相位FR滤波器零点分市特点是零点必须是互为倒数的共轭对 磅定其中一个,另外三个零点也就磅定。但在以下三种情况例外: 零点是实数; ●零点是纯虚数且在单位圆上 零点在单位圆上且是实数
4、线性相位 FIR 滤波器零点分布特点 因为对于 FIR 数字滤波器，有 ( ) ( ) 1 0 N n n H z h n z − − = = 要保持线性相位，必有 h n h N n ( ) = − − ( 1) ，所以有 ( ) ( ) ( ) N 1 1 H z z H z − − − = (1.14) 由(1.14)可见： ⚫ 如 i z z = 是 H z( ) 的零点，其倒数 1 i z − 也必然是其零点。 ⚫ 又因为 h n( ) 是实序列， H z( ) 的零点必是共轭成对，因此 * i z 和 ( ) * 1 i z − 也 是其零点。 因此，线性相位 FIR 滤波器零点分布特点是零点必须是互为倒数的共轭对， 确定其中一个，另外三个零点也就确定。但在以下三种情况例外： ⚫ 零点是实数； ⚫ 零点是纯虚数且在单位圆上； ⚫ 零点在单位圆上且是实数
jIm(e) Re(:) 图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布
图 7.1.1 线性相位 FIR 滤波器零点分布
72利用窗函数法设计FIR滤波器 1、窗函数法设计原理 设希望设计的滤波器传输函数为H(e"),h(m)是与其对应的单位脉冲响 应,因此 H(e-)=∑b(m)e ()=\H(e)2da h 如果能够由已知的H(e)求出h(n),经过Z变换可得到滤波器的系统函数 但一般情况下,通常以理想滤波器作为H(e),其幅度特性逐段恒定,在 边界频率处有不连续点,因而h(m)是无限时宽的,且是非因果序列。 例如:理想低通滤波器的传输函数H(e")为 H e-e, oso (2.1) 10.a<o≤z 相应的单位取样响应h(n)为 九()=cmm sin(on-a ) (2.2) 丌(n-a) 可以看出,理想低通滤波器的单位取样响应h(m)是无限长,且是非因果序列
7.2 利用窗函数法设计 FIR 滤波器 1、 窗函数法设计原理 设希望设计的滤波器传输函数为 ( ) j H e d ，h n d ( ) 是与其对应的单位脉冲响 应，因此 ( ) ( ) j j n d d n H e h n e − =− = ( ) ( ) 1 2 j j d d h n H e e d − = 如果能够由已知的 ( ) j H e d 求出 h n d ( ) ，经过 Z 变换可得到滤波器的系统函数。 但一般情况下，通常以理想滤波器作为 ( ) j H e d ，其幅度特性逐段恒定，在 边界频率处有不连续点，因而 h n d ( ) 是无限时宽的，且是非因果序列。 例如：理想低通滤波器的传输函数 ( ) j H e d 为 ( ) , 0, j j c d c e H e − = (2.1) 相应的单位取样响应 h n d ( ) 为 ( ) ( ( )) ( ) 1 sin 2 c c j j n c d n h n e e d n − − − = = − (2.2) 可以看出，理想低通滤波器的单位取样响应 h n d ( ) 是无限长，且是非因果序列
h (n) (N-1 AR( n) (b) 0 N-1 k(n)=h(n)R,(n) 图7.2.1理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器,只有将h(m)截取一段,并保证截取 的一段对N对称。设截取的一段用h(m)表示,即 h(n)=h(nR(n) (2.3) 当a 2 时,h(m)对一,对称,保证所设计的滤波器具有线性相位 一一这就是窗函数设计FIR数字滤波器的基本思想。 存在的问题 用一个有限长的序列h(n)去代替h(m),肯定会产生误差,表现在频域上就 是通常所说的吉布斯效应。该效应会引起通带内和阻带内的波动性,尤其使阻带 衰减减小,从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将h(n)直接截 断引起的,因此,也称为截断效应
图 7.2.1 理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗 为了构造一个长度为 N 的线性相位滤波器，只有将 h n d ( ) 截取一段，并保证截取 的一段对 1 2 N − 对称。设截取的一段用 h n( ) 表示，即 h n h n R n ( ) = d N ( ) ( ) (2.3) 当 1 2 N − = 时， h n( ) 对 1 2 N − 对称，保证所设计的滤波器具有线性相位。 ——这就是窗函数设计 FIR 数字滤波器的基本思想。 存在的问题： 用一个有限长的序列 h n( ) 去代替 h n d ( ) ，肯定会产生误差，表现在频域上就 是通常所说的吉布斯效应。该效应会引起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带 衰减减小，从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将 h n d ( ) 直接截 断引起的，因此，也称为截断效应