数 理 第三章离散时间信号与离散时间系统 着考处 近年来,由于大规模集成技术的日臻成熟,各 种计算机的广泛普及和各种快速傅里叶变换算法的 涌现,人们对离散时间信号与系统的研究兴趣与日 俱增,过去一些被认为是不切实际的设想,今天已 成为现实,一些模拟电路无法涉及的领域,今天已 找到了用数字电路实现的方法,离散时间信号与系 统正是在这种情况下得到了突飞猛进的发展
第三章 离散时间信号与离散时间系统 近年来，由于大规模集成技术的日臻成熟，各 种计算机的广泛普及和各种快速傅里叶变换算法的 涌现，人们对离散时间信号与系统的研究兴趣与日 俱增，过去一些被认为是不切实际的设想，今天已 成为现实，一些模拟电路无法涉及的领域，今天已 找到了用数字电路实现的方法，离散时间信号与系 统正是在这种情况下得到了突飞猛进的发展
F压数 理 23.1离散时间信号 着考处 考虑到离散时间信号是数的序列,因此,离散时间 信号又称为序列,记为x(n)y(n)等。x(m)既可以直接产 生,也可以通过对模拟信号x2(t)均匀抽样来得到,这时 记为xn(nT,(n为整数,常数T为抽样间隔),本书中 仅当需要表明抽样间隔为7时,才用x(n7)表示序列, 且有x(n)=x2(m7),一般用x(m)表示序列。例如,对复 指数信号x()=e以间隔T均匀抽样,得到复指数序列 (o+j)nT x(n=e anem=z",其中z=e3,an=em, O=ΩT,并将o称为数字域角频率
3.1 离散时间信号 () () () ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) a a a a st a xn yn xn x t x nT n T T x nT x n x nT x n xt e T x n = = = 考虑到离散时间信号是数的序列，因此，离散时间 信号又称为序列，记为 、 等。 既可以直接产 生，也可以通过对模拟信号 均匀抽样来得到，这时 记为 ，（ 为整数，常数 为抽样间隔），本书中 仅当需要表明抽样间隔为 时，才用 表示序列， 且有 ，一般用 表示序列。例如，对复 指数信号 以间隔 均匀抽样，得到复指数序列 snT j nT n jn n ( ) sT n nT e e ae z z e a e T σ ω σ ω ω + Ω = == = = = Ω ，其中 ， ， ，并将 称为数字域角频率
数 理 着考处 210246 456 图3.1.1模拟信号 图3.1.2图3.1.1模拟信号的样值序列 若以间隔T=1秒,对如图3.1.1所示的模拟信号x()=(x 进行均匀抽样,可得如图3.1.2所示的序列。图3.1.2在图形上本应 该是一个个离散点,为了便于对比,有时在上面画上包络线。注 意,虽然该图中的横坐标m画成了连续的直线,但是只有n为整数 时,才有定义
1 3.1.1 ( ) ( ) 2 3.1.2 3.1.2 a t T x t Sa n n π 若以间隔 秒，对如图 所示的模拟信号 = = 进行均匀抽样，可得如图 所示的序列。图 在图形上本应 该是一个个离散点，为了便于对比，有时在上面画上包络线。注 意，虽然该图中的横坐标 画成了连续的直线，但是只有 为整数 时，才有定义
数 理 着考处 为了便于传输和处理,有时需要对离散信号进 行量化和编码。对离散信号量化和编码所得的信号 称为数字信号,处理数字信号的系统称为数字系统。 今后讨论的离散时间信号,可以是序列,也可以是 数字信号,两者在分析方法上无区别。此外,序列 x(n)与其在第n位的值x(n)两者在符号上也不加区分 请读者留意
xn n xn ( ) ( ) 为了便于传输和处理，有时需要对离散信号进 行量化和编码。对离散信号量化和编码所得的信号 称为数字信号，处理数字信号的系统称为数字系统。 今后讨论的离散时间信号，可以是序列，也可以是 数字信号，两者在分析方法上无区别。此外，序列 与其在第 位的值 两者在符号上也不加区分， 请读者留意
F压数 理 23.2常用序列 着考处 经常涉及的序列有单位阶跃序列、单位 冲激序列、矩形序列、无时限指数序列、因 果指数序列、反因果指数序列、正弦序列 余弦序列、周期冲激序列及复指数序列等
3.2 常用序列 经常涉及的序列有单位阶跃序列、单位 冲激序列、矩形序列、无时限指数序列、因 果指数序列、反因果指数序列、正弦序列、 余弦序列、周期冲激序列及复指数序列等
数 理 21、单位阶跃序列 着考处 1】单位阶跃序列的定义及序列图 式(321)给出了单位阶跃序列(n)的定义,u(n的序列图,如图32.1所示。 ln≥0 (3.2.1) 图3.2.1(n)的序列图 显然,u(-n-1)+l(m)=1
1、单位阶跃序列 1 3.2.1 ( ) ( ) 3.2.1 un un 【】单位阶跃序列的定义及序列图 式（ ）给出了单位阶跃序列 的定义， 的序列图，如图 所示。 ( 1) ( ) 1 (3.2.2) n 显然，u n un −− + =
数 理 着考处 【2】利用单位阶跃序列u(m)定义其它序列 设x(m)是定义在区间(∞,+∞)上的无时限序列, 利用v(m)可定义下述序列: 1)若x(n)=x(n)u(m),则称x1(n)为因果序列 (2)若x2(n)=x(n)(-n-1,则称x2(n)为反因果序列。 (3)若x3(n)=x(nu(n-m),则称x(n)为有始序列 (4)若x4(m)=x(n)(n0-1-m,则称x4(m)为有终序列。 5)若x3(m)=x(m)(n-n1)-(mn-n2),则称x3(m)为时限序列
1 1 2 2 3 0 3 40 4 ( ) () ( , ) ( ) 1 () ()() () 2 ( ) ( ) ( 1) ( ) 3 () ()( ) () 4 () ()( 1 ) () u n x n u n x n xnun x n x n xnu n x n x n xnun n x n x n xnun n x n −∞ +∞ = = −− = − = −− 【 2 】利用单位阶跃序列 定义其它序列 设 是定义在区间 上的无时限序列， 利 用 可定义下述序列： （ ） 若 ，则称 为因果序列。 （ ）若 ，则称 为反因果序列。 （ ）若 ，则称 为有始序列。 （ ）若 ，则称 为有终序列 5 1 2 5 5 ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) x n xn un n un n x n = −− − 。 （ ）若 ，则称 为时限序列
数 理 22、单位冲激序列 着考处 】单位冲激序列δ(n)的定义及序列图 式(3,2.3)给出了单位冲激序列δ(n)的定义,6(n)的序列图,如图32.2所示 0n≠0 图3.2.26(m)序列图 2】单位冲激序列与单位阶跃序列的关系 1)o6(m)=l(n)-l(n-1)=Vl(n)(差分关系) (2)l(n)=∑(n-p)=∑(m)(累加关系) n=-0
2、单位冲激序列 ( ) 3.2.3 ( ) ( ) 3.2.2 n n n δ δ δ 【 】单位冲激序列 的定义及序列图 1 式（ ）给出了单位冲激序列 的定义， 的序列图，如图 所示。 0 ( ) ( ) ( 1) ( ) () ( ) ( ) n p m n un un un un n p m δ δ δ +∞ = =−∞ = − − =∇ = −= ∑ ∑ 【 】单位冲激序列与单位阶跃序列的关系 2 （1） （差分关系） （2） （累加关系）
数 理 着考处 【3】利用延时单位冲激序列可以表示任意实序列 x(n x(mo(n-m 3.2.4 3、符号序列 符号序列Sgm(n)的定义为 Sgn(n=u(n)-u(n) 3.2.5) 显然,符号序列Sgn(m)是一个实奇序列
( ) ( ) ( ) 3.2.4 m xn xm n m δ +∞ =−∞ = − ∑ 【 】利用延时单位冲激序列可以表示任意实序列 3 （ ） ( ) ( ) ( ) ( ) 3.2.5 ( ) Sgn n Sgn n u n u n Sgn n = −− 3、符号序列 符号序列 的定义为 （ ） 显然，符号序列 是一个实奇序列
数 理 24、矩形序列 着考处 【】矩形窗序列R(n)的定义及序列图 式(326)给出了矩形窗序列R(n)的定义,R(m序列图,如图3.2.3所示 R(n) 0≤n≤N-1 R,(n) (N为正整数)(3.2.6) 0|12N-1 0 other 图3.23R(n)的序列图 【2】矩形窗序列R(m)的另外两种表示形式 (1)R(m)=(m)-l(n-N) 327) (2)R、(n)=∑O(n-m) (3.2.8)
4、矩形序列 1 ( ) 3.2.6 ( ) ( ) 3.2.3 N N N R n Rn Rn 【】矩形窗序列 的定义及序列图 式（ ）给出了矩形窗序列 的定义， 的序列图，如图 所示。 1 0 2 ( ) (1) ( ) ( ) ( ) 3.2.7 (2) ( ) ( ) 3.2.8 N N N N m R n R n un un N Rn nm δ − = = −− = − ∑ 【 】矩形窗序列 的另外两种表示形式 （ ） （ ）