数 理 第十章有限冲激响应数字滤波器的设计 着考处 由81.2节知道,有限长单位冲激响应(FIR)数字 滤波器,仅有非零的零点,不存在非零的极点,因此,FIR 数字滤波器总是一个稳定的系统。与IR数字滤波器相 比,由于FIR数字滤波器无非零的极点,因此,FIR数字 滤波器不像IR数字滤波器那样容易取得较好的通带和 阻带衰减特性,要取得好的衰减特性,一般要求FIR数字 滤波器的转移函数H(=)的阶次要高,即FIR数字滤波器 单位冲激响应h(n)的长度N要大。然而FIR数字滤波器具 有一些独特的优点:
第十章 有限冲激响应数字滤波器的设计 8.1.2 ( ) ( ) H z hn N FIR FIR IIR FIR FIR IIR FIR FIR 由 节知道，有限长单位冲激响应（ ）数字 滤波器,仅有非零的零点,不存在非零的极点,因此, 数字滤波器总是一个稳定的系统。与 数字滤波器相 比,由于 数字滤波器无非零的极点,因此， 数字 滤波器不像 数字滤波器那样容易取得较好的通带和 阻带衰减特性,要取得好的衰减特性,一般要求 数字 滤波器的转移函数 的阶次要高，即 数字滤波器 单位冲激响应 的长度 要大。然而 数字滤波器具 FIR 有一些独特的优点：
数 理 着考处 其一是容易实现线性相位;其二是允许设计成多 通带(或多阻带)滤波器:其三是由于FIR数字滤波 器的h(m)是有限长的,可以用FFT算法来实现信号的 滤波,可大大提高运算效率;其四是只要经过一定的 延时,任何非因果有限长序列都能变成因果的有限长 序列用因果系统来实现,这些特点对IR数字滤波器 来说是不容易实现的。例如要使IR数字滤波器获得 线性相位,需要利用全通网路进行相位校正
( ) , , h n FIR FFT IIR IIR 其一是容易实现线性相位；其二是允许设计成多 通带（或多阻带）滤波器；其三是由于 数字滤波 器的 是有限长的，可以用 算法来实现信号的 滤波，可大大提高运算效率；其四是只要经过一定的 延时，任何非因果有限长序列都能变成因果的有限长 序列 用因果系统来实现，这些特点对 数字滤波器 来说是不容易实现的。例如 要使 数字滤波器获得 线性相位，需要利用全通网路进行相位校正
数 理 着考处 IR数字滤波器的设计是以模拟滤波器为基础, 在时域上采用模仿的方法或在复频域上采用面向系 统极点的设计方法,由于FIR数字滤波器无非零极 点,因此,面向系统极点的设计方法已不适合FRR 数字滤波器的设计。目前,FIR数字滤波器的设计 主要是基于对理想滤波器的频率特性作某种逼近而 形成的。逼近的方法有窗函数法、频率抽样法和最 佳一致逼近法
IIR FIR FIR FIR 数字滤波器的设计是以模拟滤波器为基础， 在时域上采用模仿的方法或在复频域上采用面向系 统极点的设计方法，由于 数字滤波器无非零极 点，因此，面向系统极点的设计方法已不适合 数字滤波器的设计。目前， 数字滤波器的设计 主要是基于对理想滤波器的频率特性作某种逼近而 形成的。逼近的方法有窗函数法、频率抽样法和最 佳一致逼近法
210.1线性相位数字滤波器幅度函数的特点多 F压数 这里讨论线性相位FIR数字滤波器单位冲激响应h(m) 应满足的条件及其幅度函数具有的特点。 1、线性相位的概念 为了理解系统的线性相位,我们先看一个例子。 设线性位不变系统的单位冲激响应为 h(n)=an,、0<a<1 (10.1.1) 则系统的频率特性为 H(e0)= ae (10.1.2) 1+a-2a cos o
10.1线性相位数字滤波器幅度函数的特点 1、线性相位的概念 这里讨论线性相位 数字滤波器单位冲激响应 FIR h n( ) 应满足的条件及其幅度函数具有的特点。 0 0 0 1 2 2 ( ) , (0 1) (10.1.1) 1 1 ( )( ) 1 1 1 (10.1.2) 1 2 cos n n j jn j j jn hn a a H e e ae a e a e a a ω ω ω ω ω ω − − − −− − = << = − − − − = + − 为了理解系统的线性相位，我们先看一个例子。 设线性位不变系统的单位冲激响应为 则系统的频率特性为
数 理 着考处 由式(10.1.2)可得 H() (10.1.3) 1+a-2a cos o P(o) (10.1.4) 称H(o)为幅度函数,称0()为相位函数。 注意,H(o)幅度函数是o的实函数,可为正值,也可为负值, 即H(O)=±|H(e)。 由式(10.1.3)及式(10.1.4)可知,线性位不变系统的幅度函 数H2(o)不仅是c实偶函数,而且是周期为2z的周期函数,其相 位函数o(O)是o的实奇函数,并且o(o)表明线性位不变系统具有 线性相位特性
2 2 0 10.1.2 1 ( ) (10.1.3) 1 2 cos ( ) (10.1.4) ( ) ( ) g g a H a a n H ω ω ϕω ω ω ϕ ω − = + − = − 由式（ ）可得 称 为幅度函数，称 为相位函数。 ( ) () ( ) 10.1.3 10.1.4 () 2 () () g j g g H H He H ω ω ω ω ωω π ϕω ω ϕ ω = ± 注意， 幅度函数是 的实函数，可为正值，也可为负值， 即 。 由式（ ）及式（ ）可知，线性位不变系统的幅度函 数 不仅是 的实偶函数，而且是周期为 的周期函数，其相 位函数 是 的实奇函数，并且 表明线性位不变系统具有 线性相位特性
数 理 着考处 由式(10.1.1)可知,虽然h(n)是一个非因果序列,但是 满足绝对可和条件,因此系统是一个非因果稳定系统。考虑 该系统的近似实现时,可取系统的单位冲激响应为 M()=amR(n)(其中,n22 N-1 (10.1.5 考虑到式(10.1.5),则有 N N-1-n h(N-1-n)=a 2R、(N-1-n) R(n)=h(n) (10.1.6) 由式(10.1.6)可知,h(m是以n_N-1 为轴,并且是偶对称的
0 0 1 1 2 1 2 10.1.1 ( ) , , 1 ( ) ( ) (10.1.5) 2 10.1.5 ( 1) ( 1) () () n n N N N n N N n N h n N hn a R n n hN n a R N n a R n hn − − −− − − − − = = −− = − − = = 由式（ ）可知，虽然 是一个非因果序列，但是 满足绝对可和条件 因此 系统是一个非因果稳定系统。考虑 该系统的近似实现时，可取系统的单位冲激响应为 （其中， ） 考虑到式（ ），则有 (10.1.6) 1 10.1.6 ( ) 2 N hn n − 由式（ ）可知， 是以 为轴，并且是偶对称的。 =
2、偶对称的线性相位数字滤波器幅度函数多 具有的特点 考虑到偶对称条件 h(n)=h(N-1-n),0≤n≤N-1 (10.1.7) 则线性相位数字滤波器的频率特性满足 H(eo)=H(e y )e )(N- ) on (10.1.8) 当=丌,并且N为偶数时,则有 H(e)=0 (10.1.9) 式(10.1.9)表明,若h(n)偶对称,并且N为偶数,只 能用于设计线性相位FIR数字低通和带通滤波器不能用于 设计线性相位FIR数字高通滤波器和带阻滤波器
2、偶对称的线性相位数字滤波器幅度函数 具有的特点 ( 1) ( ) ( 1 ) , 0 1 (10.1.7) ( ) ( ) (10.1.8) ( ) 0 (10.1.9) 10. j jj N j hn hN n n N He He e N H e ω ωω π ω π − −− = −− ≤ ≤ − = = = 考虑到偶对称条件 则线性相位数字滤波器的频率特性满足 当 ，并且 为偶数时，则有 式（ 1.9 ( ) , h n N FIR FIR ）表明，若 偶对称，并且 为偶数，只 能用于设计线性相位 数字低通和带通滤波器 不能用于 设计线性相位 数字高通滤波器和带阻滤波器
数 理 着考处 下面详细讨论h(n)满足偶对称条件时,线性相位FIR 数字滤波器幅度函数具有的特点。 iH(elo)=DTFTh(n]=H(o)e1p( (10.1.10) 由于h(n)是实序列,因此H(e)=H(e),考虑到 式(8.24),则有 H(eo)=H(O)eo()=h(o)e 2 (10.1.11) 考虑到式(10.1.10),则有 H(e)=h(oe (10.1.12) 考虑到式(10.1.11)及式(10.1.12),则有 Relh(e i TH(eo)+h(el)]=hg( N )(10.1.13)
( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] ( ) (10.1.10) ( ) ( ) ( ) 8.2.4 ( ) ( ) ( ) j j g j j Nj j j g g h n He hn H e hn He H e He H e H e ω ϕ ω ω ω ω ω ϕ ω ω ω ω − ∗ − − = = = = = FIR DTFT 下面详细讨论 满足偶对称条件时，线性相位 数字滤波器幅度函数具有的特点。 设 由于 是实序列，因此 ，考虑到 式（ ），则有 1 2 (10.1.11) 10.1.10 ( ) ( ) (10.1.12) 10.1.11 10.1.12 1 Re[ ( )] [ ( ) ( )] 2 Nj j g j jj He H e He He H e ω ω ω ωω ω − ∗ ∗ = = += 考虑到式（ ），则有 考虑到式（ ）及式（ ），则有 1 ( )cos( ) (10.1.13) 2 g N H ω ω −
数 理 着考处 讨论:【1】若N=2m+1(m为整数),由式(10.1.13)可得 H(O) Re[h(eo) (10.1.14 cos mo 由式(10.1.14)可得 HGo Relh(e) relh(e H(O coS(-ma cos mo 由式(10.1.14)可得 H2(+2x) Re[h(el(otim))] re[h(elo) H2(o)(10.1.16) cos m(@+2T) cos mo 考虑到式(10.1.15)及式(10.1.16),则有 H(x-0)=H2[(-m)=H(-x) H[(-x)+2x]=H2(x+o)(10.1.17)
1 2 1 10.1.13 Re[ ( )] ( ) (10.1.14) cos 10.1.14 Re[ ( )] Re[ ( )] ( ) ( ) (10.1.15) cos( ) cos 10.1.14 ( 2) j g j j g g g Nmm H e H m He He H H m m H ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω π − = + = −= = = − + = 讨论：【】若 （ 为整数），由式（ ）可得 由式（ ）可得 由式（ ）可得 ( 2) Re[ ( )] Re[ ( )] ( ) (10.1.16) cos ( 2 ) cos 10.1.15 10.1.16 ( ) [ ( )] [( )] [( ) 2 ] ( ) (10.1.17) j j g gg g g g H e H e H m m HH H H H ω π ω ω ωπ ω πω ωπ ωπ ωπ π πω + = = + − = −− = − = −+ = + 考虑到式（ ）及式（ ），则有
数 理 着考处 考虑到式(10.1.15)及式(10.1.16),则有 H(2+O)=H8(0)=Hg(-O) =H(O+2丌)=H2(2x-) (10.1.18) 结论1 (1)由式(10.1.16)可知,幅度函数H(O)仍然是周期为2n的周 期函数; 2)由式(10.1.15)、式(10.1.17)及式(10.1.18)可知,幅度 函数H2()对m=0,O=,=2偶对称。 可见,若h(n)=h(N-1-n),0≤n≤N-1,并且N为奇数, 可以用于实现各种类型的线性相位FIR数字滤波器,即线性相 位FIR数字低通滤波器、数字高通滤波器、数字带通滤波器、 数字带阻通滤波器、数字点阻滤波器(数字陷波器)
10.1.15 10.1.16 (2 ) ( ) ( ) ( 2 ) (2 ) (10.1.18) 1 10.1.16 ( ) 2 2 10.1.15 10.1.17 10.1.18 g gg g g g H HH H H H πω ω ω ω π πω ω π += = − = −+ = − 1 考虑到式（ ）及式（ ），则有 结论 ： （）由式（ ）可知，幅度函数 仍然是周期为 的周 期函数； （ ）由式（ ）、式（ ）及式（ ）可知 () 0 2 () ( 1 ),0 1 Hg hn hN n n N N ω ω ωπω π == = = −− ≤ ≤ − FIR FIR ，幅度 函数 对 ， ， 偶对称。 可见，若 ，并且 为奇数， 可以用于实现各种类型的线性相位 数字滤波器，即线性相 位 数字低通滤波器、数字高通滤波器、数字带通滤波器、 数字带阻通滤波器、数字点阻滤波器（数字陷波器）