数 理 第五章序列的傅里叶变换 着考处 通过将输入序列x(mn)分解成基本序列em0(O=9T)的 加权和,利用序列的傅里叶变换,同样可以将时域中复杂 的线性卷和运算转化为频域中简单的乘法运算,由此产生 了线性位不变离散时间系统的频域分析方法,也称为频谱 分析方法。该方法在序列的数字滤波及数字滤波器的设计 等方面得到广泛应用
第五章 序列的傅里叶变换 ( ) jn x n e T ω 通过将输入序列 分解成基本序列 （ ）的 ω = Ω 加权和，利用序列的傅里叶变换，同样可以将时域中复杂 的线性卷和运算转化为频域中简单的乘法运算，由此产生 了线性位不变离散时间系统的频域分析方法，也称为频谱 分析方法。该方法在序列的数字滤波及数字滤波器的设计 等方面得到广泛应用
F压数 理 25.1非周期序列的傅里叶变换 着考处 非周期序列的傅里叶变换是非周期序列频谱分析的 基础,为此,首先导出非周期序列的傅里叶变换,然后 讨论非周期序列傅里叶变换存在的充分条件,最后讨论 非周期序列的傅里叶变换与相应连续时间非周期信号的 傅里叶变换的关系。 1、非周期序列的傅里叶变换 对连续时间非周期信号x()施行等间隔的抽样, 则样值信号x(1)可写成 x(1)=x2()()=x()∑8(t-m7)=∑x(n)6(-m7)(1.1) n=-00 n=-00 式中,x(m)=x(m7),称x(n)为样值序列,简称序列
5.1非周期序列的傅里叶变换 非周期序列的傅里叶变换是非周期序列频谱分析的 基础，为此，首先导出非周期序列的傅里叶变换，然后 讨论非周期序列傅里叶变换存在的充分条件，最后讨论 非周期序列的傅里叶变换与相应连续时间非周期信号的 傅里叶变换的关系。 1、非周期序列的傅里叶变换 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5.1.1) () ( ) () a s s aT a n n a xt T x t x t x t t x t t nT x n t nT x n x nT x n δδ δ +∞ +∞ =−∞ =−∞ = = −= − = ∑ ∑ 对连续时间非周期信号 施行等间隔 的抽样， 则样值信号 可写成 式中， ，称 为样值序列，简称序列
数 理 着考处 考虑到连续时间非周期信号的傅里叶逆变换式,即式(2.4.22) 则非周期序列可写成 t ∫x(x20d O=QT Xueda (2m+1)r1 X,(edo ∑,「ca7x(kb +2m丌 v=0+2m Xu =-00 丌 T T +2m DJe do , ∫X(e")mdo (5.1.2) 2丌 式(5.1.2)称为非周期序列的傅里叶逆变换( IDTFT)式
(2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 2.4.22 1 ( ) ( ) () ( ) 2 1 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 2 j nT a at nT a jn a m jn a m m m jnv a m m x n x nT x t X j e d T Xj ed T T Xj ed T T v X j e dv T T v m ω π ω π π π π ω ω ω π ω ω π π ω π +∞ Ω = −∞ +∞ −∞ +∞ + − =−∞ +∞ + − =−∞ = = = ΩΩ = Ω = = = + ∫ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ 考虑到连续时间非周期信号的傅里叶逆变换式，即式（ ）， 则非周期序列可写成 11 2 (2) ( ) 2 112 [ ( )] 2 1 ( ) (5.1.2) 2 5.1.2 jn m a m jn a m j jn m Xj e d T T m Xj ed T T Xe e d π ω π π π ω π π ω ω π ω π ω π ω π ω π ω π +∞ + − =−∞ +∞ − =−∞ − + + = = ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ 式（ ）称为非周期序列的傅里叶逆变换（ ）式。 IDTFT
数 理 着考处 由式(5.1.2),并考虑到连续时间非周期信号的傅里叶变换 式,即式(2423),并注意到式(246)及式(22.9),则有 +2m丌 +2m丌 X(e) X. n=-00 ∫x0x7∑e71=x0∑2(-=my ∫D∑x(mn)“0(-m)t=∑x(nm)em∫。(-mm)ml ∑x(n)em=∑x (5.1.3) n=-00 n=-0 式(5.1.3)称为非周期序列的傅里叶变换(DTFT)式,也称为非周期序列 频谱的计算公式,并记X(e)= DTFTIX(m)
2 2 5.1.2 2.4.23 2.4.6 2.2.9 12 1 ( ) ( ) () 1 ( ) [ ] ( ) [ ( )] [ m j t j T a a m m m j t j t j t TT T a a m n m Xe X j x t e dt TT T x t e e dt x t e t nT dt T ω π ω ωπ ω ω π δ +∞ +∞ + +∞ − −∞ =−∞ =−∞ +∞ +∞ +∞ − − +∞ − −∞ −∞ =−∞ =−∞ + = = = =− = ∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∑ ∑ 由式（ ），并考虑到连续时间非周期信号的傅里叶变换 式，即式（ ），并注意到式（ ）及式（ ），则有 ( ) ( )] ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) (5.1.3) 5.1.3 j nT T jn a a n n jn jn a n n x nT e t nT dt x nT e t nT dt x nT e x n e X ω ω ω ω δ δ +∞ +∞ +∞ − +∞ − −∞ −∞ =−∞ =−∞ +∞ +∞ − − =−∞ =−∞ − = − = = ∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑ 式（ ）称为非周期序列的傅里叶变换（ ）式，也称为非周期序列 DTFT 频谱的计算公式，并记 ( ) [ ( )] j e xn ω = DTFT
2、非周期序列傅里叶变换存在的充分条件争 数 若非周期序列满足绝对可和条件,即 ∑kxOn) 5.1.4) 则X(e")s∑xnlm∑|(n) 亦即非周期序列x(n)的傅里叶变换X(e)存在 因此,非周期序列x(n)满足绝对可和条件是其傅里 叶变换Y(e°)存在的充分条件
2、非周期序列傅里叶变换存在的充分条件 ( ) (5.1.4) ( ) () = () () ( ) ( ) ( ) n j jn n n j j x n X e xne xn xn X e x n X e ω ω ω ω +∞ =−∞ +∞ +∞ − =−∞ =−∞ < ∞ ≤ < ∞ ∑ ∑ ∑ 若非周期序列满足绝对可和条件，即 则 亦即非周期序列 的傅里叶变换 存在。 因此，非周期序列 满足绝对可和条件是其傅里 叶变换 存在的充分条件
数 理 着考处 例:若序列x(m)=6(n-m),试求序列x(n)的频谱(e0) 解:考虑到定义式(5.1.3),则有 X(e°)=∑x( ∑(mn-n0)em ∑6(n-n)-0=e∑O(n-n n=-00 e no 即d(n-n)<>e/ (51.5) 特别地: 5.1.6)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.1.1 ( ) ( ) ( ) ( ) 5.1.3 ( ) () ( ) =( )= ( ) = ( ) (5.1.5) ( ) 1 j j jn jn n n jn jn n n jn jn xn n n xn X e X e xne n n e n ne e n n e nn e n ω ωω ω ω ω ω ω δ δ δ δ δ δ +∞ +∞ − − =−∞ =−∞ +∞ +∞ − − =−∞ =−∞ − − = − = =− − − − ←⎯→ ←⎯→ ∑ ∑ ∑ ∑ 例 ：若序列 ，试求序列 的频谱 。 解：考虑到定义式（ ），则有 即 特别地： (5.1.6)
数 理 着考处 例512:若序列x(n)=alv(n),(0<l<1),试求序列x(m)频谱x(e) 解:考虑到定义式(5.1.3),则有 X(em)=∑xn)m=∑a(n) le no +0 ∑(ae)"l(n) ge Jo )n+I u(n ae ae 即a"u(n)<→ de
1 1 1 5.1.2 ( ) ( ) , (0 1) ( ) ( ) 5.1.3 ( ) () ( ) ( )1 = ( ) ( )= ( ) 1 1 = 1 1 ( ) 1 n j j jn n jn n n jn n j n j n j n a j xn aun a xn X e X e xne aune ae ae u n u n ae ae aun ae ω ωω ω ω ω ω ω ω +∞ +∞ − − =−∞ =−∞ +∞ − + − +∞ − −∞− =−∞ − < − = << = = − − − ←⎯⎯→ − ∑ ∑ ∑ 例 ：若序列 ，试求序列 的频谱 。 解：考虑到定义式（ ），则有 即 (5.1.7)
数 理 着考处 例513:若序列x(n)=a"-n-1),(0<l<1),试求序列x(m的频谱X(em) 解:考虑到定义式(5.1.3),则有 X(e)=∑x(n)em=∑ ∑(aeo)"(-n-1)= (ae (-n-1) ae de de 即a"u(-n-1) e (51.8) I-a ej
( 1) 1 1 5.1.3 ( ) ( 1) , (0 1) ( ) ( ) 5.1.3 ( ) ( ) ( 1) () 1 = ( ) ( 1)= ( 1) ( )1 = 1 (1 n j j jnn jn n n jn n j n j n j j n xn a u n a xn X e X e xne a u n e ae ae u n u n ae ae ae au n ω ωω ω ω ω ω ω ω − +∞ +∞ −− − =−∞ =−∞ +∞ − + − +∞ − −∞− =−∞ − = −− < < = = −− − − − − − − − − − ∑ ∑ ∑ 例 ：若序列 ，试求序列 的频谱 。 解：考虑到定义式（ ），则有 即 1 11 ) (5.1.8) 1 1 j a j j aeae a e ω ω ω < ←⎯⎯→ =− − − − −
3罪期序列傅里叶变换与连续非周期 信号傅里叶变换的关系 从式(5.12)可知,非周期序列x(n)的频谱(DTFT) 与对应的连续时间非周期信号x(t)的频谱(CTFT)具有 下述的线性卷积关系,即 X(e)=∑nX +2m、1 )=x2()*∑(O+2mn) n=-0 n=-0 5.1.9) 式中,2(o)=∑O(+2mz) h=-0 式(519)表明,非周期序列x(n)舶频谱X(e0)是周期 为2π的周期函数
3、非周期序列傅里叶变换与连续非周期 信号傅里叶变换的关系 2 2 5.1.2 ( ) ( ) 1 21 () ( ) ( ) ( 2) 1 ( ) ( ) (5.1.9) () ( a j a a m m a x n x t m Xe X j X j m T T TT X j T T ω π π ωπ ω δ ω π ω δ ω δ ω δω +∞ +∞ =−∞ =−∞ + = =∗ + = ∗ = ∑ ∑ DTFT CTFT 从式（ ）可知，非周期序列 的频谱（ ） 与对应的连续时间非周期信号 的频谱（ ）具有 下述的线性卷积关系，即 式中， 2 ) 5.1.9 ( ) ( ) 2 m j m xn X e ω π π +∞ =−∞ ∑ + 式（ ）表明，非周期序列 的频谱 是周期 为 的周期函数
理 4、非周期序列傅里叶变换与连续时间样考处 值信号傅里叶变换的关系 由式(5.1.5),并考虑到式(272),可知非周期序列 x(n)的频谱(DTFT)与对应的连续时间样值信号x、().频 谱(CTFT)具有下述的代换关系 (e)=∑nX(j O+2m丌 ∑nXaj(9+mg2,) X。(2) (51.10) 式中,g 丌 或者X、(19)=X(e°)loar (5.1.11)
4、非周期序列傅里叶变换与连续时间样 值信号傅里叶变换的关系 5.1.5 2.7.2 ( ) ( ) 12 1 ( ) ( ) { [ ( )]} ( ) (5.1.10) s j a as m m T s T x n x t m Xe X j X j m TT T X j ω ω ω ω π +∞ +∞ Ω= =−∞ =−∞ Ω= + = =Ω + Ω = Ω Ω ∑ ∑ DTFT CTFT 由式（ ），并考虑到式（ ），可知非周期序列 的频谱（ ）与对应的连续时间样值信号 的频 谱（ ）具有下述的代换关系 式中， 2 ( ) ( ) (5.1.11) s j s T T X j Xe ω ω π =Ω = 或者 Ω =
