数 理 第八章数字滤波器的结构 着考处 由542节知道,从完成的功能来看,数 字滤波器可以分为数字低通滤波器、数字高 通滤波器、数字带通滤波器及数字带阻通滤 波器;从数字滤波器的单位冲激响应来看, 还可以分为无限冲激响应(IR)数字滤波器 和有限冲激响应(FIR)数字滤波器。本章 将讨论IR数字滤波器实现的常用结构和FIR 数字滤波器实现的常用结构
由5.4.2节知道，从完成的功能来看，数 字滤波器可以分为数字低通滤波器、数字高 通滤波器、数字带通滤波器及数字带阻通滤 波器；从数字滤波器的单位冲激响应来看， 还可以分为无限冲激响应（IIR）数字滤波器 和有限冲激响应（FIR）数字滤波器。本章 将讨论IIR数字滤波器实现的常用结构和FIR 数字滤波器实现的常用结构。 第八章 数字滤波器的结构
F压数 理 8.1数字滤波器结构的表示方法 着考处 表示IR数字滤波器和FIR数字滤波器的方法有 线性常系数非齐次差分方程,模拟方框图及信号流 图,本节将讨论IR数字滤波器的卡尔曼信流图表示 方法和FIR数字滤波器直接实现的信流图表示方法。 1、IR数字滤波器的卡尔曼信号流图表示方法 设描述IR数字滤波器输出y(m)与输入x(n)关系的差分方程为 ∑ayn-)=∑bnx(mn-m) (8.1.1) 式中,a(=0.,2,3,…,N)及bn(m=0,1,2,3,…,M)为常数
8.1数字滤波器结构的表示方法 表示IIR数字滤波器和FIR数字滤波器的方法有 线性常系数非齐次差分方程，模拟方框图及信号流 图，本节将讨论IIR数字滤波器的卡尔曼信流图表示 方法和FIR数字滤波器直接实现的信流图表示方法。 1、IIR数字滤波器的卡尔曼信号流图表示方法 0 0 () () ( ) ( ) (8.1.1) ( 0,1,2,3, , ) ( 0,1,2,3, , ) N M i m i m i m yn xn ayn i b xn m ai N b m M = = −= − = = ∑ ∑ IIR " " 设描述 数字滤波器输出 与输入 关系的差分方程为 式中， 及 为常数
数 理 着考处 若令a()=-a1/an,(i=1,2,3,…N),b(m)=bn/an,(m=0,1,2,…,M 那么,差分方程式(8.1.1)可写成 y(m)=∑a()(m-)+∑b(m)x(n-m) (8.1.2) 由式(8.1.2)可知,IR数字滤波器在n=m时刻的响应值y(m 不仅与n≤n时的输入序列值x(n0-m),(m=0,1,2,…,M)有关,而且 还与n≤n时滤波后的输出序列值y(n0-1),(i=1,2…,N)有关。 对式(8.1.2)两边分别取双边Z变换,可得IR数字滤波器的转移函数 ()=()∑bm)=m (8.1.3) X()1-a() ∑c(m)=-m+∑ 1-y.z 式中,c(m),(m=0,1,2,…,M-N)及d(i),(i=1,2,3…,N)为常数
0 0 1 0 0 0 0 ( ) ,( 1, 2,3, , ) ( ) ,( 0,1, 2, , ) 8.1.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8.1.2) 8.1.2 ( ) ( i m N M i m ai a a i N bm b a m M yn aiyn i bmxn m n n y n n n x n = = =− = = = = −+ − = ≤ ∑ ∑ IIR 若令 " " ， ， 那 么，差 分 方程式（ ）可写成 由式（ ）可知， 数字滤波器在 时刻的响应值 ， 不仅与 时的输入序列值 0 0 0 0 1 0 1 1 ) ,( 0,1, 2, , ) ( ), ( 1, 2, , ) 8.1.2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8.1.3) ( ) 1 1 () ( ), ( 0,1, 2, M m MN N zs m m N i m i i i mm M n n yn i i N Z bmz Y z d i H z cmz X z v z aiz cm m − − = − − − = = = − = ≤ − = == = + − − = ∑ ∑ ∑ ∑ IIR " " 有关，而且 还与 时滤波后的输出序列值 有关。 对式（ ）两边分别取双边 变换，可得 数字滤波器的转移函数 式中， " " , ) ( ), ( 1, 2,3, , ) M N di i N − = 及 为常数
数 理 着考处 考虑到式(81.3),则IR数字滤波器的单位冲激响应为 h(n)=∑c(m)6(n-m)+∑()v(n)(814) 由式(8.1.4)可知,IR数字滤波器的单位冲激响应为无限长 的因果序列。 由46.5节知道当M≤N 时,依据式(81.3)可画出 b(M) X(z)C IR滤波器的卡尔曼形式的 信流图如图8.1.1所示,并且 该信号流图中存在递归结构。 图8.1.1IR滤波器卡尔曼形式的信流图
0 1 8.1.3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8.1.4) 8.1.4 M N N n i m i hn cm n m divun δ − = = = −+ ∑ ∑ IIR IIR 考虑到式（ ），则 数字滤波器的单位冲激响应为 由式（ ）可知， 数字滤波器的单位冲激响应为无限长 的因果序列。 4.6.5 , 8.1.3 , 8.1.1 M N≤ IIR 由 节知道 当 时，依据式（ ）可画出 滤波器的卡尔曼形式的 信流图 如图 所示，并且 该信号流图中存在递归结构
22、FR数字滤波器直接实现的信号流图表示方法 数 设描述FIR数字滤波器输出y(n)与输入x(n)关系的差分方程为 y(m)=∑b(m)x(n-m) (8.1.5) 式中,b(m,(m=0,1,2,…,M)为常数 由式(8.1.5)可知,FIR滤波器在n=n时刻的响应值yv(n) 仅与n≤n时的输入序列值x(0-m)(m=0,12,…,M)有关 考虑到式(81.5),则FIR数字滤波器的单位冲激响应为 h(n)=∑b(m)5(n-m) (8.1.6) 由式(8.1.6)知道,FIR数字滤波器的单位冲激响应为有限长序列
2、FIR数字滤波器直接实现的信号流图表示方法 0 0 0 0 0 () () ( ) ( ) ( ) (8.1.5) ( ) ( 0,1,2, , ) 8.1.5 ( ) ( ) M m yn xn yn bmxn m bm m M n n y n n n xn m = = − = = ≤ − ∑ FIR FIR " 设描述 数字滤波器输出 与输入 关系的差分方程为 式中， ， 为常数。 由式（ ）可知， 滤波器在 时刻的响应值 ， 仅与 时的输入序列值 0 ( 0,1, 2, , ) 8.1.5 ( ) ( ) ( ) (8.1.6) 8.1.6 M m m M hn bm n m δ = = = − ∑ FIR FIR " 有关。 考虑到式（ ），则 数字滤波器的单位冲激响应为 由式（ ）知道， 数字滤波器的单位冲激响应为有限长序列
数 理 着考处 对式(8.1.5)两边分别取双边Z变换,可得FIR数字滤波器 的转移函数 H(=) X(=) ∑b(m)mn (8.1.7) 显然,在式(8.1.3)中, b(0) 令a(i)=0( 可得式(8.1.7),因此,FIR b(m) X(z) 滤波器直接实现的信流图 Y(z) 如图8.1.2所示,并且该信 图8.1.2FIR滤波器直接实现的信流图表示 号流图中不存在递归结构
0 8.1.5 ( ) ( ) ( ) (8.1.7) ( ) M zs m m Z Y z H z bmz X z − = = = ∑ 对式（ ）两边分别取双边 变换，可得 数字滤波器 FIR 的转移函数 8.1.3 ( ) 0 ( 1,2,3, , ) 8.1.7 , 8.1.2 ai i N = = FIR " 显然,在式（ ）中， 令 ， 可得式（ ）因此， 滤波器直接实现的信流图， 如图 所示，并且该信 号流图中不存在递归结构
数 理 着考处 综上所述,由IR数字滤波器的信流图8.1.1可 知,IIR数字滤波器存在递归结构,若IR数字滤波 器转移函数的所有极点位于Z平面的单位圆内,那 么IR数字滤波器是一个稳定系统否则,为非稳定系 统;由FIR数字滤波器的信流图81.2可知,FIR数字 滤波器不存在递归结构。由式(8.1.7)可知,除原 点外,FR滤波器只有零点,又称全零点滤波器, 因此,FI滤波器总是稳定的系统
综上所述，由IIR数字滤波器的信流图8.1.1可 知，IIR数字滤波器存在递归结构，若IIR数字滤波 器转移函数的所有极点位于Z平面的单位圆内，那 么IIR数字滤波器是一个稳定系统,否则,为非稳定系 统；由FIR数字滤波器的信流图8.1.2可知，FIR数字 滤波器不存在递归结构。由式（8.1.7）可知，除原 点外，FIR滤波器只有零点，又称全零点滤波器， 因此，FIR滤波器总是稳定的系统
数 理 28.2线性线位FR数字滤波器的零点分布特征 着考处 1、线性相位条件 1】偶对称情况 若h(n)是n定义在0≤n≤N-1的N点长序列,并且满足 h(n)=h(N-1-n) (8.2.1 由于h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2),…,因此, 称h(m)为偶对序列,并将n=(N-1)/2称为偶对称轴 若h(n)是实序列,对式(8.2.1)两边分别取DTFT,可得 H(e)=H(e)e-1o=H'(e0)eN)0(8.22)
8.2 线性线位FIR数字滤波器的零点分布特征 1、线性相位条件 【1】偶对称情况 () 0 1 ( ) ( 1 ) (8.2.1) (0) ( 1) (1) ( 2) ( ) 1 2 ( ) 8.2.1 () ( j j hn n n N N hn hN n h hN h hN hn n N h n He He ω ω − ≤≤ − = −− =− =− = − = DTFT " 若 是 定义在 的 点长序列，并且满足 由于 ， ， ，因此， 称 为偶对序列，并将 （ ） 称为偶对称轴。 若 是实序列，对式（ ）两边分别取 ，可得 ( 1) ( 1) ) ( ) (8.2.2) j N j jN e He e −− ∗ −− ω ωω =
数 理 着考处 记H(e)=H2(O)emo) (8.2.3) 式中,称H(O)为幅度函数,称o(O)为相位函数 注意,这里的H(O)是o的实函数,可为正值,也可为负值, 即H2(O)2=士H(e) 考虑到式(82.3),则式(822)可写成 H(oeo(o)=h(o)e 19(o)-/(N-l)o 即g(o)=-q(o)-(N-1 于是得到线性相位函数 N Plo) (824)
( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) (8.2.3) ( ) ( ) ( ) () ( ) 8.2.3 8.2.2 () () ( j j g g g j g j j j N g g He H e H H H He He He ω ϕ ω ω ϕ ω ϕω ω ω ω ϕω ω ω ω ω ω ϕ ω − −− = = ± = 记 式中，称 为幅度函数，称 为相位函数。 注意，这里的 是 的实函数，可为正值，也可为负值， 即 。 考虑到式（ ），则式（ ）可写成 即 ) ( ) ( 1) 1 ( ) (8.2.4) 2 N N ϕω ω ϕω ω =− − − − = − 于是得到线性相位函数
数 理 着考处 【2】奇对称情况 若h(m)是n定义在0≤n≤N-1的N点长序列,并且满足 h(n)=-h(N-1-n) (8.25) 由于h(0)=-h(N-1),h(1)=-h(N-2),…,因此 称h(m)为奇对序列,并将n=(N-1)/2称为奇对称轴。 若h(n)是实序列,对式(8.2.5)两边分别取DTFT,可得 H(elo)=H(e Jo )e /(N-d= H(elo )elI7T-(N-1)o (8.2.6) 记H(e)=H,(O)e(),由式(8.2.6)可得到准线性相位函数 I N 8.27)
【2】奇对称情况 () 0 1 ( ) ( 1 ) (8.2.5) (0) ( 1) (1) ( 2) ( ) 1 2 ( ) 8.2.5 () ( j hn n n N N hn hN n h hN h hN h n n N h n He H ω ≤≤ − =− − − =− − =− − = − = − DTFT " 若 是 定义在 的 点长序列，并且满足 由于 ， ， ，因此， 称 为奇对序列，并将 （ ） 称为奇对称轴。 若 是实序列，对式（ ）两边分别取 ，可得 ( 1) [ ( 1) ] ( ) ) ( ) (8.2.6) ( ) ( ) 8.2.6 1 ( ) (8.2.7) 2 2 j jN j j N j j g e e He e He H e N ω ω ωπ ω ω ϕω ω π ϕω ω − − − ∗ −− = = − = − 记 ，由式（ ）可得到准线性相位函数