数 理 第四章序列的Z变换 着考处 通过将输入信号x(t)分解成基本信号e及e“的加 权和,利用傅里叶变换和拉普拉斯变换,可以导出线 性时不变连续时间系统的频域及复频域分析方法,这 样将时域中复杂的线性卷积运算转化为频域及复频域 中简单的乘法运算。同理,通过将输入序列x(m)分解 成基本序列(x=e=e+2))的加权和,利用序列 的Z变换,同样可以将时域中复杂的线性卷和运算转 化为Z域中简单的乘法运算,由此产生了线性位不变 离散时间系统的Z域分析方法
第四章 序列的Z变换 ( ) ( ) ( ) j t st n sT j T x t e e x n zz e e Z Z σ Ω + Ω = = 通过将输入信号 分解成基本信号 及 的加 权和，利用傅里叶变换和拉普拉斯变换，可以导出线 性时不变连续时间系统的频域及复频域分析方法，这 样将时域中复杂的线性卷积运算转化为频域及复频域 中简单的乘法运算。同理，通过将输入序列 分解 成基本序列 （ ）的加权和，利用序列 的 变换，同样可以将时域中复杂的线性卷和运算转 化为 域中简单的乘法运算，由此产生了线性位不变 离散时间系统的 域分析方法。 Z
数 理 24.1样值信号的拉普拉斯变换 着考处 考虑到式(246),则样值信号可写成 +0 x()=x()6(1)=x1()∑e2 ∑x(口)e2( 2丌 (4.1.1) T 设连续时间信号的双边拉普拉斯变换为 LTE(D=X,(s <0 B 对式(4.1.1两边分别取双边拉普拉斯变换可得 X,(s)=LTIxs(]=2X(s-jke2s) (4.1.2)
2.4.6 1 () () () () 1 2 ( ) ( ) (4.1.1) [ ( )] ( ) , 4.1.1 1 ( ) [ ( )] ( ) (4.1.2) s s jk t s aT a k jk t a s k a a s s as k xt xt t xt e T x te T T xt X s X s x t X s jk T δ π ασ β +∞ Ω =−∞ +∞ Ω =−∞ +∞ =−∞ = = = Ω = = << = = −Ω ∑ ∑ ∑ LT LT 考虑到式（ ），则样值信号可写成 设连续时间信号的双边拉普拉斯变换为 对式（ ）两边分别取双边拉普拉斯变换可得 4.1样值信号的拉普拉斯变换
数 理 着考处 结论1 考虑到a<0<B,则a<Res-jg,]<B,即样值信号x,(t 的双边拉普拉斯变换X(s)与连续时间信号x()双边拉普拉 斯变换X(s)的收敛域相同 结论2 样值信号x(t)的双边拉普拉斯变换X(s)正是连续时间信号 x()的双边拉普拉斯变换X(s),在S平面上沿Ω轴的解析延拓。 结论3: 若a<0<B,则X(92)及X、(j92)存在,由式(4.12)可得 X(92)=X,(S)=n=TF ∑X[j(9-kA92,(4-.3) 式(41.3)正是时域抽样定理揭示的频谱关系
Re[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 4.1.2 ( ) s s s a a s s a a a s s s jk x t X s x t X s x t X s x t X s S Xj Xj X j ασ β α β α β < < < − Ω< Ω << Ω Ω Ω 1 2 3 结论 ： 考虑到 ，则 ，即样值信号 的双边拉普拉斯变换 与连续时间信号 的双边拉普拉 斯变换 的收敛域相同。 结论 ： 样值信号 的双边拉普拉斯变换 正是连续时间信号 的双边拉普拉斯变换 ，在 平面上沿 轴的解析延拓。 结论 ： 若 ，则 及 存在，由式（ ）可得 1 ( ) [ ( )] (4.1.3) 4.1.3 s sj a s k Xs X j k T +∞ = Ω =−∞ = = Ω− Ω ∑ 式（ ）正是时域抽样定理揭示的频谱关系
数 理 24.2序列的Z变换样 着考处 从前面的分析可知,若连续时间信号x2()的双边 拉普拉斯变换X。(s)存在,则样值信号x()=x()6n(t) 的双边拉普拉斯变换X(s)也存在,并且式(4.1.2)揭 示了x,()与X()的关系,若连续时间信号x、(.双边 拉普拉斯变换K(s)的收敛域为α<σ<β,并且满足条 件a<0<B,则连续时间信号xn(t)的频谱X。(9)存在, 同时样值信号x(t)=x。(t)6()的频谱X(2)也存在, 并且式(41.3)揭示了X(19)与X(j9的关系,下面 我们来研究样值序列的Z变换
( ) ( ) () () () ( ) 4.1.2 () () ( ) ( ) 0 ( ) ( ) () () () a a s a T s s a a a a a s aT x t X s xt xt t X s X s X s xt X s xt X j xt xt t δ ασ β α β δ = < < < < Ω = 从前面的分析可知，若连续时间信号 的双边 拉普拉斯变换 存在，则样值信号 的双边拉普拉斯变换 也存在，并且式（ ）揭 示了 与 的关系，若连续时间信号 的双边 拉普拉斯变换 的收敛域为 ，并且满足条 件 ，则连续时间信号 的频谱 存在， 同时样值信号 ( ) 4.1.3 ( ) ( ) s s a X j Xj Xj Z Ω Ω Ω 的频谱 也存在， 并且式（ ）揭示了 与 的关系，下面 我们来研究样值序列的 变换。 4.2 序列的Z变换样
数 理 21、序列的Z变换 着考处 (1】序列的双边Z变换 将式(4.1.1)重新写为 x(1)=x2(1()=x()∑(t-m7) ∑x(n)(-mT) 4.2. n=-00 式中,x(m)=xn(mT,称x(mn)为样值序列,简称序列 由连续时间信号xn(t)的拉普拉斯逆变换式,即式(2.54), 并考虑到式(41.2),则序列x(n)可写成
4.1.1 () () () () ( ) ( ) ( ) (4.2.1) () ( ) () ( ) 2.5.4 4.1.2 ( ) s aT a n n a a x t x t t x t t nT x n t nT x n x nT x n x t x n δ δ δ +∞ =−∞ +∞ =−∞ == − = − = ∑ ∑ 将式（ ）重新写为 式中， ，称 为样值序列，简称序列。 由连续时间信号 的拉普拉斯逆变换式，即式（ ）， 并考虑到式（ ），则序列 可写成 1、序列的Z变换 【1】序列的双边Z变换
数 理 着考处 x(n)=x(Dent X,(se ds 0+Joo X wnt we o+j(k+1)Q2 X,(w)e ndw 2丌 w=S+ikE X,(s+jks )Je(s+ jk2, ntc ITX(sle ds 2 X(Inz)zdz 27j X()”d (4.2.2) 2T j
1 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 1 ( ) () ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 [ ( )] 2 1 [ ( )] 2 s s s s s s s j snT a t nT a j j wnT a j j k wnT a j k k j s jk nT s a s j k j snT s j xn x t X s e ds j X w e dw j X w e dw j w s jk X s jk e ds j TX s e ds j z σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ π π π π π + ∞ = − ∞ + ∞ − ∞ +∞ + +Ω + −Ω =−∞ Ω +∞ + + Ω Ω − =−∞ Ω + Ω − = = = = =+ Ω + Ω = ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ 1 1 1 1( ln ) 2 1 ( ) (4.2.2) 2 T sT n s z e n c e Xz z dz j T X z z dz j σ π π − = − = = ∫ ∫ v v
数 理 着考处 式(42.2)称为象函数X(z)舶逆Z变换式,并记x(m)=LTX(z) 其中c是象函数X()的收敛域eX(),R<<R)
( ) 1 ln 1 ln 4.2.2 ( ) ( ) [ ( )] ( ) 4.2.2 4.2.1 1 ( ) ( ln ) ( ) [ ( ) ] ( ) T sT j T T T s s s z T snT n s z n n T X z Z xn X z c Xz e z e e e z e Xz X z X s T xne xnz α σ β σ + Ω = +∞ +∞ − − = =−∞ =−∞ = <= = < = = = = = ∑ ∑ 式（ ）称为象函数 的逆 变换式，并记 ， IZT 其中 是象函数 的收敛域 内的一 条正向圆周曲线 或任意一条正向闭曲线。 由式（ ），并考虑到式（ ）可得 (4.2.3) 4.2.3 ( ) ( ) () () , ) T T a b xn Z X z e ze xn X z R z R α β < < ←⎯→ << 式（ ）称为序列 的双边 变换式，象函数 的收敛域 为 。一般可简记为
数 理 【2】序列的单边Z变换 着考处 若序列是因果序列x(m)=x(n)(m),则其Z变换可用单边Z变换表示。 正Z变换ZIx(m)=∑x(n)2n=X(=),RX(=),R<2≤∞ 显然,若序列为因果序列,则其单边Z变换与双边Z变换等价
0 1 () ()() [ ( )] ( ) ( ) , (4.2.4) 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) (4.2.5) 2 ( ) () () , n a n n c a a xn xnun Z Z xn xnz X z R z X z X z z dz x n u n j c Xz R z xn X z R π +∞ − = − = = = < ≤∞ = = < ≤∞ ←⎯→ ∑ ∫ Z ZT Z IZT v 若序列是因果序列 ，则其 变换可用单边 变换表示。 正 变换 逆 变换 式中， 是象函数 的收敛域 内的一条任意一条正 向闭曲线。 简记为 z Z Z < ≤∞ 显然，若序列为因果序列，则其单边 变换与双边 变换等价。 【2】序列的单边Z变换
数 理 22、Z变换的收敛域 着考处 给定序列x(n),使定义X(=)的和式,即式(42.3))收敛的Z 的集合,称为序列x(m)的Z变换X(z)舶收敛域。 若x(n)z满足绝对可和条件,即 ∑|x(m)="=∑|(m) 426) n=-00 考虑到式(42.3),则有 X()s∑x(m)==∑xm)”<a (4.2.7) 式(4,2.7)表明,序列x(n)的双边Z变换存在。因此, 将x(n)z"满足绝对可和条件对应的的取值范围,称为序列x(n)的 双边Z变换X(z)的收敛域
2、Z变换的收敛域 ( ) ( ) 4.2.3 () () ( ) ( ) ( ) (4.2.6) 4.2.3 ( ) ( ) ( ) (4.2.7) 4.2.7 n n n n n n n n n xn X z Z xn Z X z xnz xnz xn z X z xnz xn z − +∞ +∞ − − =−∞ =−∞ +∞ +∞ − − =−∞ =−∞ = < ∞ ≤= < ∞ ∑ ∑ ∑ ∑ 给定序列 ，使定义 的和式，即式（ ））收敛的 的集合，称为序列 的 变换 的收敛域。 若 满足绝对可和条件，即 考虑到式（ ），则有 式（ ）表明 ( ) () () ( ) n xn Z xnz xn Z Xz − ，序列 的双边 变换存在。因此， 将 满足绝对可和条件对应的的取值范围，称为序列 的 双边 变换 的收敛域
数 理 着考处 例42.1:若序列x(n)=o6(n-n0),(n0>0),试求x(n)的Z变换, 并标明收敛域 解:考虑到双边Z变换的定义式(42.3),则有 X S(n-n)z 28) n=-00 n=-00 由式(42.8)可知,延时单位冲激序列的Z变换的收敛域 为有限全Z平面。 特别地:若n=0,则有 由式(429)可知,单位冲激序列的Z变换的收敛域为全Z平面。 考虑到式(4.29)及逆Z变换式(422),则有 6(n) dz 2丌
0 0 0 0 0 . . ( ) ( ) , ( 0) ( ) 4.2.3 ( ) ( ) ( ) , 0 (4.2.8) 4.2.8 0 ( ) 1 , 0 n n n n n xn n n n xn Z Z X z xnz n n z z z Z Z n n z δ δ δ +∞ +∞ − − − =−∞ =−∞ =− > = = − = < ≤∞ = ←⎯→ ≤ ≤∞ ∑ ∑ 例421：若序列 ，试求 的 变换， 并标明收敛域。 解：考虑到双边 变换的定义式（ ），则有 由式（ ）可知，延时单位冲激序列的 变换的收敛域 为有限全 平面。 特别地：若 ，则有 1 (4.2.9) 4.2.9 4.2.9 4.2.2 1 ( ) (4.2.10) 2 n c Z Z Z n z dz j δ π − = v∫ 由式（ ）可知，单位冲激序列的 变换的收敛域为全 平面。 考虑到式（ ）及逆 变换式（ ），则有