数 理 第二章连续时间信号与连续时间系统 着考处 22单位阶跃信号和单位冲激信号 1】单位阶跃信号的定义及波形 式(1)给出了单位阶跃信号u()的定义,l(t)的波形图,如图2.2.1所示 0.t<0 图22.1()波形图 显然,(-0)+l()=1 (222)
第二章 连续时间信号与连续时间系统 2.2单位阶跃信号和单位冲激信号 1 ( ut ut ) ( ) 2.2.1 【 】单位阶跃信号的定义及波形 1 式（）给出了单位阶跃信号 的定义， 的波形图，如图 所示。 显然， ( ) ( ) 1 u t ut −+ = (2.2.2)
数 理 着考处 2】利用单位阶跃信号定义其它连续时间信号 设x()是定义在区间(-∞,+∽∞)上的无时限信号, 利用l()可定义下述连续时间信号: ①1)若x(t)=x(1)u(t),则称x()为连续时间因果信号 (2)若x2(t)=x(t)u(-1,则称x2(t)为连续时间反因果信号。 3)若x()=x()u(-t0),则称x()为连续时间有始信号。 (4)若x4(1)=x(1)n(t-1),则称x(t)为连续时间有终信号 5)若x()=x()v(t-1)-u(-t2)则称3()为连续时间时限信号
1 1 2 2 3 03 4 0 ( ) ( , ) ( ) 1 () () () () 2 () () ( ) () 3 () () ( ) () 4 () () ( ) x t u t x t xtut x t x t xtu t x t x t xtut t x t x t xtut t −∞ +∞ = = − = − = − 【 】利用单位阶跃信号定义其它连续时间信号 2 设 是定义在区间 上的无时限信号， 利用 可定义下述连续时间信号： （）若 ，则称 为连续时间因果信号。 （ ）若 ，则称 为连续时间反因果信号。 （）若 ，则称 为连续时间有始信号。 （ ）若 ， 4 5 12 5 ( ) 5 ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) x t x t xt ut t ut t x t = −− − 则称 为连续时间有终信号。 （）若 ，则称 为连续时间时限信号
数 理 2【3】单位冲激信号的定义及波形 着考处 式(22.3)给出了单位冲激信号8()的定义,(t)的波形图,如图2.2.所示。 6(1) ()d=1 6(1)=0t≠0 图2.2.26()的波形图 【4】单位冲激信号与单位阶跃信号的关系 考虑到()是=0点函数,则o(O-J0M=1 那么r t>0 0,t<0 于是(z)dzx=l(1) (2.2.4) δ(t) (22.5) 结论:只要单位冲激信号δ(1)落于积分区间内,不论积分区间的宽 与窄,其积分值为1,否则,其积分值为0
【3】单位冲激信号的定义及波形 式（ ）给出了单位冲激信号 的定义， 的波形图，如图 所示。 2.2.3 δ ( ) ( ) t t δ 2.2.2 0 0 ( ) 0" () () 1 1, 0 ( ) 0, 0 ( ) () 2.2.4 ( ) ( ) 2.2.5 ( ) 1 0 t t t t t dt t dt t d t d ut du t t dt t δ δ δ δτ τ δτ τ δ δ + − +∞ −∞ −∞ −∞ = = = ⎧ > = ⎨⎩ < = = ∫ ∫ ∫ ∫ 【4】单位冲激信号与单位阶跃信号的关系 考虑到 是 点函数",则 那么 于是 （ ） （ ） 结论：只要单位冲激信号 落于积分区间内，不论积分区间的宽 与窄，其积分值为 ，否则，其积分值为
数 理 着考处 【5】单位冲激信号的性质 (1)d(t)=(-t 2.26) 证明:若定义符号函数Sgn(t)=(t)-l(-t) (2.2.7) 则Sgmn(-1)=l(-1)-l-(-0)=-[(t)-l(-0)=-Sgn(t)奇函数 考虑到式(226),则式(2.2.7)可写成 gn(t)=l(t)-u(-t)=l(1)-[1-l(t)=2(1)-1 即(t)=-[1+Sgm()] (2.2.8) 由式(22.5),并考虑到式(22.8),则有 6(t) du(t) 1 d [1+Sgn() I dsgn( 因为符号函数是奇函数,由式(229)可知,δ()必为偶函数
1 ( ) ( ) 2.2.6 ( ) ( ) ( ) 2.2.7 ( ) ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) 2.2.6 2.2.7 ( ) ( ) ( ) ( ) [1 ( )] 2 ( ) 1 1 ( ) [1 ( )] 2 t t Sgn t u t u t Sgn t u t u t u t u t Sgn t Sgn t u t u t u t u t u t u t Sgn t δ δ = − = −− − = − − − − =− − − =− = − −= −− = − = + 【5】单位冲激信号的性质 （） （ ） 证明：若定义符号函数 （ ） 则 （奇函数) 考虑到式（ ），则式（ ）可写成 即 （2.2.8 2.2.5 2.2.8 () 1 1 () ( ) [1 ( )] (2.2.9) 2 2 2.2.9 ( ) du t d dSgn t t Sgn t dt dt dt t δ δ == + = ） 由式（ ），并考虑到式（ ），则有 因为符号函数是奇函数，由式（ ）可知， 必为偶函数
数 理 着考处 (2)6(at+b)=0(+ (2.2.10) 证明:①当a>0时,考虑到式(2.2.10),则有 at+b d(ar +b)dr d(x)dx=-ulat+6==u(t+ (2.2.11) ②当a<0时,考虑到δ()是偶信号及式(2,2.10),则有 6(a+b)dz=1〔a(-xh d(x)dx l(-at-b)=--l( (2.2.12) 综合式(22.11)及式(22.12)可得 d(ar+bdr (t+ (2.2.13) 对式(22.13)两边分别求导,可得式(22.10)
1 ( ) ( ) 2.2.10 0 2.2.10 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 2.2.11 0 ( ) 2.2.10 1 1 ( ) ( ) () 1 t at b t at b at b b at b t a a a b a b d x dx u at b u t a a aa a t a b d x dx x dx a a δ δ δτ τ δ δ δτ τ δ δ + −∞ −∞ −− −− −∞ −∞ −∞ += + > + = = += + < + =− − =− = − ∫ ∫ ∫ ∫∫ （2） （） 证明：①当 时，考虑到式（ ），则有 （ ） ②当 时，考虑到 是偶信号及式（ ），则有 1 ( ) ( ) (2.2.12) 2.2.11 2.2.12 1 ( ) ( ) 2.2.13 2.2.13 2.2.10 t b u at b u t a aa b a bd ut a a δτ τ −∞ − − =− + +=+ ∫ 综合式（ ）及式（ ）可得 （ ） 对式（ ）两边分别求导，可得式（ ）
数 理 着考处 (3)x(1)6(-t0)=x(0(t-0) 2.2.14 (4。x(0(60=x() (2.2.15) 证明:对式(22.14)两边分别积分, 并考虑到6(t)定义式(2.23),则有 + + x()6(t-t0 6(t-t0)dt=x() 式(22.15)从分配的角度定义了单位冲激函数, 并称x(t)为测量函数
00 0 0 0 0 00 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2.2.14 ( ) ( ) ( ) 2.2.15 2.2.14 ( ) 2.2.3 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.2.15 xt t t xt t t x t t t dt x t t x t t t dt x t t t dt x t t t dt x t δ δ δ δ δδδ +∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −= − − = −= −= −= ∫ ∫∫ ∫ （3） （ ） (4) （ ） 证明：对式（ ）两边分别积分， 并考虑到 的定义式（ ），则有 式（ ）从分配的角度定义了单位冲激函数 x t( ) ， 并称 为测量函数
数 理 242.3连续时间信号的分解和连续时间信号的运算 着考处 1】连续时间实信号的幂级数展式 若连续时间信号x(1)在t=0点的某一邻域(-R,R内, 具有任意阶导数,则连续时间信号在该邻域(-R,R内, 可展成幂级数,即 ∑ t∈(-R,R 2.2.16 其中,a (0 收敛半径R=imn/an
2.3连续时间信号的分解和连续时间信号的运算 0 ( ) 1 () 0 ( , ) ( ,) ( ) , ( , ) 2.2.16 (0) lim ! n n n n n n n n xt t R R R R xt at t RR x a R a a n +∞ = − →∞ = − − = ∈− = = ∑ 1 若连续时间信号 在 点的某一邻域 内， 具有任意阶导数，则连续时间信号在该邻域 内， 可展成幂级数，即 （ ） 其中， ，收敛半 【 】连续时间实信号的幂级数展式 径
数 理 着考处 2】欧拉公式 e=cost+ JoInt,t∈(-∞,+∞) (22.17) 证明:(1)利用式(22.16)的幂级数展式,可以得到 sint= t 3+571+91+"+(2n t∈(-∞,+∞)(2.2.18) 显然有lmSa()= lim sin t1 2.2.19) t→0 t→>0 (2)对式(22.18)两边分别求导可得 -1 cost=1--+ +—+… t∈(-∞,+∞)(2.220 2 3)利用式(2216)的幂级数展式,可以得到 1+t t∈(-∞,+ (2.2.21)
cos sin , ( , ) 2.2.17 jt e tj t t = + ∈ −∞ +∞ （ 【2 】 欧拉 公 式 ） 3579 1 2 1 0 0 2468 1 2 1 2.2.16 ( 1) sin , ( , ) 2.2.18 3! 5! 7! 9! (2 1)! sin lim ( ) lim 1 2.2.19 2 2.2.18 ( 1) cos 1 2! 4! 6! 8! (2 2)! n n t t n n tttt t t t t n t Sa t t tttt t t n − − → → − − = − + − + + + + ∈ −∞ +∞ − = = − =− + − + + + − " " " 证 明：（）利用式（ ）的幂级数展式，可以得到 （ ） 显然有 （ ） （ ）对式（ ）两边分别求导可得 2 23456 , ( , ) 2.2.20 (3) 2.2.16 1 , ( , ) 2.2.2 1 2! 3! 4! 5! 6! ! n t t ttttt t e t t n − + ∈ −∞ +∞ = + + + + + + + + + ∈ −∞ +∞ " " " （ ） 利用式（ ）的幂级数展式，可以得到 （ ）
数 理 着考处 (4)考虑到式(2.2.19)及式(2220),由式(2.2,21)可得 ,=1+jt+ +(1)2+()+( 5 7! (1 +…)+j(t 2!4!6! 3!5!7 coSt+ sint 特别地 J,e==j e(2m+1x=-1,e2mz=1(m为整数)
234567 246 357 3 2 2 4 2.2.19 2.2.20 2.2.21 () () () () () () 1 2! 3! 4! 5! 6! 7! (1 ) ( ) 2! 4! 6! 3! 5! 7! cos sin , ( , ) jt j j jt jt jt jt jt jt e jt ttt ttt j t tj t t e je π π =+ + + + + + + + =− + − + + − + − + = + ∈ −∞ +∞ = =− "" " " （ ）考虑到式（ ）及式（ ），由式（ ）可得 特别地： ， (2 1) 2 1 1 j m j m j e em + ± π π =− = ， （ 为整数）
数 理 着考处 【3】连续时间实信号的奇偶分解 连续时间实信号x()分解成奇信号x(t)与偶信号x()之和,即 x()=x2()+x2() (2.2.22) 式中,x2()=[x(t)-x(-1),x2(t)=[x(t)+x(-1) 讨论: 若连续时间实信号是因果信号,即可以表示成, x(1)Sgm()=[x(1)-x(-D)]Sgn() [x(t)(t)-x(-Dl(-)l(t)-l(-t) [x(t)a(t)+x(-D)l(-) (1)x(t)=x(1)+x2(t) 同理:x2(t)Sgn()=x(t)
( ) () () () () () 2.2.22 1 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] 2 2 o e o e o e x t x t x t xt x t x t x t xt x t x t xt x t = + = −− = +− 连续时间实信号 分解成 【3】连续时 奇信号 与偶信号 之和，即 （ 间 ） 实 式中， ， 信号的奇偶分解 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) 2 1 [ ( ) ( ) ( ) ( )][ ( ) ( )] 2 1 [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 () () () () () () () o e oe e o x t Sgn t x t x t Sgn t xtut x tu t ut u t xtut x tu t x t xt x t x t x t Sgn t x t = −− = −− − −− = +− − = =+ = 若连续时间实信号是因果信号，即可以表示成， 同理： 讨论：