2第六章离散傅里叶级数和离散傅里叶变换令 数 到目前为止,我们讨论了连续时间周期信号的频 谱(CTFS)、连续时间非周期信号的频谱(CTFT) 及非周期序列的频谱DTFT),本章主要讨论周期序列 的傅里叶级数(DFS及其性质、有限长序列的傅里叶 变换(DFT)的性质、有限长序列的傅里叶变换与周期序 列的傅里叶级数的关系 有限长序列的离散傅里叶变换不仅在理论上十分重 要,而且还存在快速算法,因此,离散傅里叶变换在数 字信号处理中起着核心作用
第六章 离散傅里叶级数和离散傅里叶变换 到目前为止，我们讨论了连续时间周期信号的频 谱（CTFS）、连续时间非周期信号的频谱（CTFT ） 及非周期序列的频谱(DTFT) ，本章主要讨论周期序列 的傅里叶级数（DFS)及其性质、有限长序列的傅里叶 变换(DFT)的性质、有限长序列的傅里叶变换与周期序 列的傅里叶级数的关系。 有限长序列的离散傅里叶变换不仅在理论上十分重 要，而且还存在快速算法，因此，离散傅里叶变换在数 字信号处理中起着核心作用
数 理 26.1限长序列与周期序列的关系 着考处 在这里我们先讨论非周期序列与周期序列的关 系,再讨论有限长序列与周期序列的关系。 1、非周期序列与周期序列的关系 由例3.3.13已经知道,将非周期序列x(n)作N点的周期开拓, 可以得到周期为N的周期序列(m),即 (n)=x(n)*S(n)=x(m)*∑6(n-rN)=∑x(n-rN)(6.1.1)
6.1有限长序列与周期序列的关系 在这里我们先讨论非周期序列与周期序列的关 系，再讨论有限长序列与周期序列的关系。 1、非周期序列与周期序列的关系 3.3.13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6.1.1) N r r xn N N xn x n x n n x n n rN x n rN δ δ +∞ +∞ =−∞ =−∞ = ∗ = ∗ −= − ∑ ∑ 由例 已经知道，将非周期序列 作 点的周期开拓， 可以得到周期为 的周期序列 ，即
数 理 着考处 显然,对非周期序列x(m)作N点的周期开拓时,在周期 序列(n)每一周内,是不同整数rN的位移序列x(n-rN)的 叠加而成,因此,可能存在序列的重叠。这些重叠的序列 值按位相加后便构成(n)对应位的序列值 若周期序列(n)的周期N趋于无穷大,则周期序列(m) 就变成了非周期序列x(m),即非周期序列可以表示成 x(n)=lim x(n) (6.1.2) N→
( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) (6.1.2) N xn N x n rN x n rN x n x n N x n x n xn xn →∞ − = 显然，对非周期序列 作 点的周期开拓时，在周期 序列 的每一周内，是不同整数 的位移序列 的 叠加而成，因此，可能存在序列的重叠。这些重叠的序列 值按位相加后便构成 对应位的序列值。 若周期序列 的周期 趋于无穷大，则周期序列 就变成了非周期序列 ，即非周期序列可以表示成
数 理 22、有限长序列与周期序列的关系 着考处 设序列x(n)是从0到N-1的有限长序列,即满足x(n)=x(n)R(m 将有限长序列x(m)作N点的周期开拓,同样可以得到周期为N的周 期序列(n),即 i(n=x(n)*s(n)=x((n)) (6.1.3) 式(6,1.3)中,符号(n)表示n模N,在数学上表示?n对N取余 数或称为n对N取模值”,即周期重复出现的(n)的数值是相等的。 考虑到,则式(6.1.3)可写成 (n)=x(n)*(n)=∑x(mn-N)R、(n-rN) (6.1.4) 显然x(m)=X(m)R(n) (6.1.5) 式(61.5)表明,x(n)正是周期序列(n)的主值序列(即x(m)在 0≤n≤N-1周内的序列)
2、有限长序列与周期序列的关系 () 0 1 () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) (6.1.3) 6.1.3 (( )) , ? ”“ ” (( )) 6.1.3 N N N N N xn N xn xnR n xn N N x n xn xn n x n n nN nN n N n δ − = =∗ = 设序列 是从 到 的有限长序列，即满足 ， 将有限长序列 作 点的周期开拓，同样可以得到周期为 的周 期序列 ，即 式（ ）中，符号 表示 模 在数学上表示 对 取余 数 或称为 对 取模值 ，即周期重复出现的 的数值是相等的。 考虑到，则式（ ）可写成 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6.1.4) () () () (6.1.5) 6.1.5 ( ) ( ) ( ) 0 1 N N r N x n x n n x n rN R n rN xn xnR n x n x n x n n N δ +∞ =−∞ =∗ = − − = ≤≤ − ∑ 显然 式（ ）表明， 正是周期序列 的主值序列（即 在 一周内的序列）
数 理 26.2导出周期序列傅里叶级数的各种途径 着考处 从前面的分析和讨论已经知道,在时域上,以等 间隔T对连续时间非周期信号x(1)抽样,可以得到样值 序列x(n)=x(n7),对样值序列作N点的周期开拓,可 以得到周期为N的周期序列(n)。这里首先导出周期序 列的傅里叶级数,再揭示有限长序列的离散傅里叶变 换与周期序列傅里叶级数的关系 在例5.225中,以DTFT的时域线性卷和定理为依据, 给出了一种从CTFT经DTFT导出DFS的方法,这里再 介绍其它几种导出DFS的方法
6.2导出周期序列傅里叶级数的各种途径 ( ) () ( ) ( ) 5.2.25 a a T x t x n x nT N N xn = DTFT CTFT DTFT DFS 从前面的分析和讨论已经知道，在时域上，以等 间隔 对连续时间非周期信号 抽样，可以得到样值 序列 ，对样值序列作 点的周期开拓，可 以得到周期为 的周期序列 。这里首先导出周期序 列的傅里叶级数，再揭示有限长序列的离散傅里叶变 换与周期序列傅里叶级数的关系。 在例 中，以 的时域线性卷和定理为依据， 给出了一种从 经 导出 的方法，这里再 介绍其它几种导出 的方法。 DFS
数 理 1、从CTFT经CTFS到DFS 着考处 对连续时间信号非周期信号x2(t)作周期T的周期开拓 可以得到周期为T的连续时间周期信号x(1,即 xn(O)=x(0)*D()=x()*∑6(-r1) (62.1) 现对周期信号x(1)施行等间隔7的抽样,则样值信号x、()可写成 ()=xn()()=xn()∑6(t-n7) ∑(n)(-m7) (622) n=-0 式中,(m)=x(n7),称(m)为样值序列
1、从CTFT经CTFS到DFS 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) () () () () ( ) ( ) (6.2.1) ( ) ( ) () () () () ( ) ()( a T T aT a r a r T s s TT T n xt T T x t x t x t t x t t rT x t rT xt T x t x t x t t x t t nT x n δ δ δ δ δ +∞ =−∞ +∞ =−∞ +∞ =−∞ =∗ =∗ − = − == − = ∑ ∑ ∑ 对连续时间信号非周期信号 作周期 的周期开拓， 可以得到周期为 的连续时间周期信号 ，即 现对周期信号 施行等间隔 的抽样，则样值信号 可写成 0 ) (6.2.2) () ( ) () n T t nT x n x nT x n +∞ =−∞ − = ∑ 式中， ，称 为样值序列。
数 理 着考处 若T=N7(N为正整数),考虑到式(62.1),则 式(62.2)中的样值序列(n)可表示成 x (n)=x,(nT)=2x(nT-rNT x(m)*∑6(n-rN)=x(m)*δ(m)(623) 式中,x(m)=x(m7) 式(62.3)表明,当1=N时,对周期信号xn(t) 施行等间隔T的抽样,则样值序列(m)=x(n7)是周期 为N的周期序列,并且(n)是x(m)=xn(m7)作N点周期开 拓的结果
0 0 0 0 0 6.2.1 6.2.2 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6.2.3) () ( ) 6.2.3 ( ) () ( ) T a r N r a T T T NT N x n x n x nT x nT rNT x n n rN x n n x n x nT T NT x t T x n x nT N δ δ +∞ =−∞ +∞ =−∞ = == − = ∗ −= ∗ = = = ∑ ∑ 若 （ 为正整数），考虑到式（ ），则 式（ ）中的样值序列 可表示成 式中， 式（ ）表明，当 时，对周期信号 施行等间隔 的抽样，则样值序列 是周期 为 的周期序 () () ( ) a 列，并且 是 x n x n x nT N = 作 点周期开 拓的结果
数 理 着考处 由式(247)知道,周期信号x2(t)可展成傅里叶 级数(CTFS),即 x(1)=x2(1)*n(t)=∑X(kg20)ey (624) 由式(24.8)知道,周期信号x()傅里叶级数的 系数或周期信号的频谱为 +∞ o+70 X(k0) x,(re J/store ()eodt(625)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4.7 ( ) () () () ( ) (6.2.4) 2.4.8 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) (6.2.5) T jk t T aT k T t T jk jk t a T t x t x t x t t Xk e x t X k x e d x t e dt T T τ δ τ τ +∞ Ω =−∞ +∞ + − Ω − Ω −∞ =∗ = Ω Ω = = ∑ ∫ ∫ CTFS 由式（ ）知道，周期信号 可展成傅里叶 级数（ ），即 由式（ ）知道，周期信号 傅里叶级数的 系数或周期信号的频谱为
数 理 着考处 考虑到式(624),并注意到=N,则式(622)中的样值 序列x(n还可表示成 (n)=x1(n7)=x()mn=∑X(k9203Mm=∑X(me2 j2zmnT/To -00 n=-0 ∑X(mng2k 2mn ∑∑X(k+rN20k 2z(k+rN)n/N m=-0 =-0 ∑{∑NI(k+rN)glet N ∑X(kw-DFS[(k) N 式中 2I/N, W=e yzm
0 0 0 0 0 2 0 0 1 2 2( ) 0 0 0 0 6.2.4 6.2.2 ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) [( ) ] 1 { [( ) ]} jk nT j mnT T T Tt n T k m N j mn N j k rN n N m r k k r T NT x n x n x nT x t X k e X m e Xm e X k rN e NX k rN N π π π +∞ +∞ Ω = =−∞ =−∞ +∞ +∞ − + =−∞ =−∞ = +∞ = =−∞ = == =Ω= Ω = Ω = +Ω = +Ω ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 考虑到式（ ），并注意到 ，则式（ ）中的样值 序 列 还可表示成 0 0 1 0 1 0 2 0 1 ( ) = [ ( )] (6.2.6) 2 N jkn N nk N k j N j N e X kW X k N NW e e ω π ω ω π − − − = − − = = == ∑ ∑ IDFS 式中，
数 理 着考处 考虑到式(62.5)及式(246),并再次注意到T=MT,则式(626中 的X(k)可表示成 R(6)=∑Nk+AN2=N∫2x1(=团 N N--)T =2x1()a(-m)=∫2∑x,(m)e ∑(m)~∫x28(-m)M=∑0)W)=D627 式(626)称为周期序列(n)的傅里叶级数(DFS)式,也称为频谱X(k)的 逆变换公式,式(62.7)称为周期序列(n)的傅里叶级数式的系数计算公式,也 称为周期序列(n)的频谱X(k)的计算公式
0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 2 0 0 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 0 2 2 6.2.5 2.4.6 6.2.6 ( ) 1 ( ) [( ) ] [ ( ) ] 1 () ] () [ T T j k rN t T T r r T j k rN t T N T jk t jr T NT T T T T r T NT X k X k NX k rN N x t e dt T N x t e dt x t e e T T π π π +∞ +∞ − −+Ω − =−∞ =−∞ +∞ − − − + − − − − =−∞ = = + Ω= = = ∑ ∑ ∫ ∑ ∫ ∫ 考虑到式（ ）及式（ ），并再次注意到 ，则式（ ）中 的 可表示成 0 0 0 1 1 2 2 () () 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 2 0 ] ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( )] (6.2.7) 6.2. t T r NT NT jk t jk nT NT NT T T T T n n N jkn N T N nk T N T n n dt x t e t nT dt x nT e t nT dt x nT e t nT dt x n W x n π π π δ δ δ +∞ =−∞ +∞ +∞ − − − − − − =−∞ =−∞ +∞ − − − − =−∞ = = − = − = − = = ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑ ∫ DFS 式（ 6 () () 6.2.7 ( ) () () x n X k x n xn X k DFS ）称为周期序列 的傅里叶级数（ ）式，也称为频谱 的 逆变换公式，式（ ）称为周期序列 的傅里叶级数式的系数计算公式，也 称为周期序列 的频谱 的计算公式