第五章时域离散系统的网络结构 5.1引言 般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行 描述 差分方程: y(n)=∑bx(n-k)-∑ay(m-k (5.1) ●系统函数: ∑b ∑a ●单位脉冲响应: y(n)=h(n)*x(n)=h(k)x(n-k) (53) ●为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理,必须把它们变换成 种算法,然后按照这种算法对输入信号进行运算。 ●另一方面,同一个离散系统,可以有不同的算法,并且,这不同的算法 的运算误差、运算速度以及系统的复杂程度都不同。 因此,研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题 52用信号流图表示网络结构 l、信号流图 观察离散系统的差分方程可见,数字信号处理中有三种基本算法,即:乘法 加法和单位延迟。三种基本运算的流程图表示见教材129页图521 2、几个基本概念
第五章 时域离散系统的网络结构 5.1 引言 一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行 描述。 ⚫ 差分方程： ( ) ( ) ( ) 0 1 N M k k k k y n b x n k a y n k = = = − − − (5.1) ⚫ 系统函数： ( ) ( ) 0 1 1 N k k k M k k k b z Y z X z a z − = − = = + (5.2) ⚫ 单位脉冲响应： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 * k y n h n x n h k x n k = = = − (5.3) ⚫ 为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理，必须把它们变换成一 种算法，然后按照这种算法对输入信号进行运算。 ⚫ 另一方面，同一个离散系统，可以有不同的算法，并且，这不同的算法 的运算误差、运算速度以及系统的复杂程度都不同。 因此，研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。 5.2 用信号流图表示网络结构 1、信号流图 观察离散系统的差分方程可见，数字信号处理中有三种基本算法，即：乘法、 加法和单位延迟。三种基本运算的流程图表示见教材 129 页图 5.2.1。 2、几个基本概念
节点 输入节点 输出节点 节点变量 3、基本信号流图 信号流图实际上是由连接节点的一些有方向性的支路构成的。和每个节点连 接的有输入支路和输出支路,节点变量等于所有输入支路的输出之和。如果信号 流图满足以下条件,则称为基本信号流图: ●信号流图中所有支路都是基本的,即支路增益是常数或者是z1; 流图环路中必须存在延迟支路 ●节点和支路的数目是有限的。 y(n) 图1二阶网络基本结构信号流图 4、信号流图和系统函数 根据信号流图可以求出系统函数,方法是求解各个节点变量方程,推导出输 出与输入的关系。更好的办法是用梅逊公式直接写H(=) 5、网络分类 般将网络结构分为两类,一类称为有限长脉冲响应网(FR, Finite Impulse Response),一类称为无限长脉冲响应网络(IR, Inf inite Impulse Response)。FIR 网络一般不存在输出对输入的反馈支路,IR网络存在输出对输入的反馈支路。 ●FIR
节点 输入节点 输出节点 节点变量 3、基本信号流图 信号流图实际上是由连接节点的一些有方向性的支路构成的。和每个节点连 接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。如果信号 流图满足以下条件，则称为基本信号流图： ⚫ 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是 1 z − ； ⚫ 流图环路中必须存在延迟支路； ⚫ 节点和支路的数目是有限的。 x(n) w ' 2 w2 w1 y(n) z -1 z -1 b0 b2 b1 -a1 -a2 图 1 二阶网络基本结构信号流图 4、信号流图和系统函数 根据信号流图可以求出系统函数，方法是求解各个节点变量方程，推导出输 出与输入的关系。更好的办法是用梅逊公式直接写 H z( ) 。 5、网络分类 一般将网络结构分为两类，一类称为有限长脉冲响应网络（FIR，Finite Impulse Response），一类称为无限长脉冲响应网络（IIR，Infinite Impulse Response）。FIR 网络一般不存在输出对输入的反馈支路，IIR 网络存在输出对输入的反馈支路。 ⚫ FIR:
y(n)=∑bx(n-1) IR(一阶IR为例): y(n)=ay(n-1)+x(n) 53无限脉冲相应基本网络结构 IR网络的特点是 信号流图中含有反馈支路,即含有环略,其单位脉冲响应是无限长的。 ●基本网络结构有三种,即 直接型、级联型和并联型 1、直接型 按照差分方程直接画出的网络结构称为IR直接型网络结构。见教材131页 图5.3.1。 四阶IR滤波器的直接结构
( ) ( ) 0 M i i y n b x n i = = − (5.4) ⚫ IIR（一阶 IIR 为例）： y n ay n x n ( ) = − + ( 1) ( ) (5.5) 5.3 无限脉冲相应基本网络结构 ⚫ IIR 网络的特点是： 信号流图中含有反馈支路，即含有环路，其单位脉冲响应是无限长的。 ⚫ 基本网络结构有三种，即： 直接型、级联型和并联型。 1、直接型 按照差分方程直接画出的网络结构称为 IIR 直接型网络结构。见教材 131 页 图 5.3.1。 z -1 z -1 z -1 z -1 b0 b1 b2 b3 b4 z -1 z -1 z -1 z -1 -a4 -a3 -a2 -a1 x(n) y(n) 四阶 IIR 滤波器的直接结构
y(n) (n) bt 图2二阶传递函数的直接型结构 MATLAB表示和实现 Sb=t 系统函数:H(=)= A=[a,a,…a]B=[,b,…b yn=filter(B, A xn) 2、级联型 通过把系统函数H()的分子、分母多项式分别进行因式分解,把系统函数 分解成一些一阶或二阶多项式的乘积,从而把H(=)分解成一些一阶或二阶数字 网络的级联形式。即 H(-)=H()H2(-)…H(=) 式中H1()表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数,每个H1(-)的网络结构 均采用直接型网络结构。 (n) y(n) 图3数字滤波器串行实现的一般结构 级联型相对直接型结构,调整方便,运算误差的积累较小
z-1 z-1 ∑ ∑ x(n) w1 (n) y(n) b0 b1 -a1 -a2 w2 b2 (n) 图 2 二阶传递函数的直接型结构 MATLAB 表示和实现： 系统函数： ( ) 0 0 M i i i N i i i b z H z a z − = − = = A a a a B b b b = = 0 1 0 1 , , , , , , , N M yn=filter(B,A.xn) 2、级联型 通过把系统函数 H z( ) 的分子、分母多项式分别进行因式分解，把系统函数 分解成一些一阶或二阶多项式的乘积，从而把 H z( ) 分解成一些一阶或二阶数字 网络的级联形式。即 H z H z H z H z ( ) = 1 2 ( ) ( ) k ( ) 式中 H z i ( ) 表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个 H z i ( ) 的网络结构 均采用直接型网络结构。 H1 (z) H2 (z) Hk (z) x(n) y(n) 图 3 数字滤波器串行实现的一般结构 级联型相对直接型结构，调整方便，运算误差的积累较小
3、并联型 将系统函数H(-)展开为分项分式,即 H(-)=H1(=)+H2(=)+…+H4() 式中H1()表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数 Y(=)=H1(-)X(-)+H2()X(-)+…+Hk(=)X() y(n) H2(z) 图4数字滤波器并行实现的一般结构 并联型结构调整极点位置方便,运算速度快、运算误差小,但调整零点位置 不如级联型方便 54有限长脉冲响应基本网络结构 FIR网络结构特点是没有反支路,即没有环路,单位脉冲购应是有限长 设单位脉冲响应h(n)的长度为N,其系统函数H(二)和差分方程分别为 H()=∑h(n) y(m)=∑hm)x(n-m) 1、直接型 按照H(-)或差分方程直接画出结构图,这种结构称为直接型网络结构或卷 积型结构。(见教材154页图541)
3、并联型 将系统函数 H z( ) 展开为分项分式，即 H z H z H z H z ( ) = + + + 1 2 ( ) ( ) k ( ) 式中 H z i ( ) 表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数。 Y z H z X z H z X z H z X z ( ) = + + + 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k ( ) ( ) H1 (z) H2 (z) Hk (z) y(n) ∑ x(n) B0 图 4 数字滤波器并行实现的一般结构 并联型结构调整极点位置方便，运算速度快、运算误差小，但调整零点位置 不如级联型方便。 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 FIR 网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长 的。 设单位脉冲响应 h n( ) 的长度为 N，其系统函数 H z( ) 和差分方程分别为： 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N n n N m H z h n z y n h m x n m − − = − = = = − 1、 直接型 按照 H z( ) 或差分方程直接画出结构图，这种结构称为直接型网络结构或卷 积型结构。（见教材 154 页图 5.4.1）
h()y()Y(2)Yh0N-2)yh(N-1) 级联型 将H(-)进行因式分解,并将共轭成对的零点放在一起,形成一个系统为实 数的二阶形式,这样级联型网络结构就是有一阶或二阶因子构成的级联结构,其 中每个因式都用直接型实现。 3、频率采样结构 (1)频率采样的FIR网络结构 设FR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为M,系统函数H()=ZT[h(n)],则 H(k)=H(=) 心,k=0,1,2,…,N-1 又已知序列的Z变换H(=)与频域采样序列H(k)之间满足 H k=61-W (56) 当频率域采样点数N≥M,(56)式提供了一种称为颜率采样的FR网结构。 又(56)式可以写为 ()=NH(2)∑H( =1 H I-WE 即,H(-)可以看作是由梳状滤波器H(=)和N个一阶网络H(=)级联而成。如 下图所示
2、 级联型 将 H z( ) 进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系统为实 数的二阶形式，这样级联型网络结构就是有一阶或二阶因子构成的级联结构，其 中每个因式都用直接型实现。 3、 频率采样结构 （1）频率采样的 FIR 网络结构 设 FIR 滤波器单位脉冲响应 h n( ) 长度为 M，系统函数 H z ZT h n ( ) = ( ) ，则 ( ) ( ) 2 , 0,1,2, , 1 j k N z e H k H z k N = = = − 又已知序列的 Z 变换 H z( ) 与频域采样序列 H k( ) 之间满足 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 N N k k N H k H z z N W z − − − − = = − − (5.6) 当频率域采样点数 N M ，(5.6)式提供了一种称为频率采样的 FIR 网络结构。 又(5.6)式可以写为 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 N c k k H z H z H z N − = = (5.7) ( ) 1 N H z z c − = − ( ) ( ) 1 1 k k N H k H z W z − − = − 即， H z( ) 可以看作是由梳状滤波器 H z c ( ) 和 N 个一阶网络 H z k ( ) 级联而成。如 下图所示： x(n) y(n) z － 1 z － 1 z － 1 h(0) h(1) h(2) h(N－ 2) h(N－ 1)
图54.3FIR滤波器频率采样结构 由上式和上图可见: 该网络结构有反馈支路,极点为==eN,k=0,1,…,N-1,即单位圆上 有等间隔分布的N个极点 H(-)的零点为 =W-kk=0.1.2…N 同样等间隔地分布在单位圆上。因此,理论上极点和零点相互抵消。 (2)频率域采样结构的优点 ●频域特性调整方便 便于标准化、模块化 (3)频率域采样结构的缺点 ●有限长效应可能导致零极点不能完全对消,从而系统的稳定性; 需要做复数乘法运算,硬件实现不很方便 (4)对频率域采样结构的修正 将单位圆上的零极点向单位圆内稍作收缩; HI H,(k) 其中,r<1且r≈1
x(n) y(n) z－1 z－1 － z－N H(0) H(1) H(N－1) 0 WN −1 WN −N+1 WN z－1 N 1 图 5.4.3 FIR 滤波器频率采样结构 由上式和上图可见： ⚫ 该网络结构有反馈支路，极点为 2 , 0,1, , 1 j k N k z e k N = = − ，即单位圆上 有等间隔分布的 N 个极点； ⚫ H z c ( ) 的零点为 2 , 0,1,2, , 1 j k N k k N z e W k N − = = = − 同样等间隔地分布在单位圆上。因此，理论上极点和零点相互抵消。 （2）频率域采样结构的优点 ⚫ 频域特性调整方便； ⚫ 便于标准化、模块化。 （3）频率域采样结构的缺点 ⚫ 有限长效应可能导致零极点不能完全对消，从而系统的稳定性； ⚫ 需要做复数乘法运算，硬件实现不很方便。 （4）对频率域采样结构的修正 ⚫ 将单位圆上的零极点向单位圆内稍作收缩； ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 N N N r k z k N H k H z r z N rW z − − − − = = − − 其中， r 1 且 r 1
●充分利用实数序列DFT的特性。 5.5状态变量分析法 时域离散系统可以通过差分方程、系统函数以及单位脉冲响应进行有效地描 述,但也有不少情况需要研究系统内部结构以及内部一些变量随输入信号变化的 特性,如网络结构分析,只能用状态变量分析法进行分析。 、状态方程和输出方程 状态变量分析法有两个基本方程,即状态方程和输出方程。状态方程把系统 内部一些成为状态变量的节点变量和输入联系起来;而输出方程则把输出信号和 那些状态变量联系起来。 1、状态变量节点的建立 系统内部可能有很多节点,但不能都定为状态变量节点。要确定一组最少的 节点变量,只要已知输入信号以及n时刻这些节点变量值,就可以计算出n≥n 时刻的输出信号以及系统内部任意节点变量值,这样一组最少的节点变量定为状 态变量。 一般状态变量选在基本信号流图中单位延时支路输出节点处。 例如: 图5.5.1二阶网络基本信号流图 取a1(m)和a2(n)为节点变量,则 (m)=a1(n+1) O1(n+1)=a11(m)+a12O2(m)+bx(m) O2(m)=O2(n+1) O2(n+1)=a2O(m)+a202(n)+b2x(m) y(n)=c@(n)+c,@,(n)+dx(n) 也可表示为矩阵形式
⚫ 充分利用实数序列 DFT 的特性。 5.5 状态变量分析法 时域离散系统可以通过差分方程、系统函数以及单位脉冲响应进行有效地描 述，但也有不少情况需要研究系统内部结构以及内部一些变量随输入信号变化的 特性，如网络结构分析，只能用状态变量分析法进行分析。 一、状态方程和输出方程 状态变量分析法有两个基本方程，即状态方程和输出方程。状态方程把系统 内部一些成为状态变量的节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号和 那些状态变量联系起来。 1、状态变量节点的建立 系统内部可能有很多节点，但不能都定为状态变量节点。要确定一组最少的 节点变量，只要已知输入信号以及 0 n 时刻这些节点变量值，就可以计算出 0 n n 时刻的输出信号以及系统内部任意节点变量值，这样一组最少的节点变量定为状 态变量。 一般状态变量选在基本信号流图中单位延时支路输出节点处。 例如： x(n) z－ y(n) 1 z－1 b0 b1 b2 w1 w2 w2 ′ －a1 －a2 图 5.5.1 二阶网络基本信号流图 取 1 (n) 和 2 (n) 为节点变量，则 1 1 1 11 1 12 2 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n a n a n b x n n n n a n a n b x n y n c n c n dx n = + + = + + = + + = + + = + + 也可表示为矩阵形式
01 (n+)-a2a1x(n)状态方程 y(n)=[b-a, b,b-a b o, (n) +bx(m)输出方程 状态方程左端是n+1时刻的状态变量值,它由输入信号、系统参数以及n时刻的 状态变量确定,因此,状态方程可以用递推法求解 同理可得图5.5.2的状态方程和输出方程。 (n) 图5.5.2一般二阶网络基本信号图 2、状态方程和输出方程的建立方法 状态方程和输出方程利用四个参数矩阵描述了系统的内部结构。如果系统内 部结构确定,根据信号流图可以求出状态方程和输出方程。 (1)按顺序在支路输出端建立状态变量v(m),-支路的输入端为 v(m+1); (2)列出所有节点变量方程,找出状态变量(n+1)与(n)和输入x(m)之 间的关系,并用矩阵方程表示 (3)找出输出信号和状态变量v(n)以及输入信号的关系,并写成矩阵 3、例题(见教材140页) 例5.5.1建立图5.5.4流图的状态方程和输出方程。 图5.5.4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 0 1 0 1 1 n n x n n a a n + = + + − 状态方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 0 1 1 0 0 2 , n y n b a b b a b b x n n = − − + 输出方程 状态方程左端是 n+1 时刻的状态变量值，它由输入信号、系统参数以及 n 时刻的 状态变量确定，因此，状态方程可以用递推法求解。 同理可得图 5.5.2 的状态方程和输出方程。 x(n) y(n) z－1 z－1 b1 b2 c 1 c 2 d a22 a12 a21 w1 (n) w2 (n) w1 ′ w2 ′ 图 5.5.2 一般二阶网络基本信号图 2、状态方程和输出方程的建立方法 状态方程和输出方程利用四个参数矩阵描述了系统的内部结构。如果系统内 部结构确定，根据信号流图可以求出状态方程和输出方程。 （1）按顺序在 1 z − 支路输出端建立状态变量 w n i ( ) ， 1 z − 支路的输入端为 w n i ( +1) ； （2）列出所有节点变量方程，找出状态变量 w n i ( +1) 与 w n i ( ) 和输入 x n( ) 之 间的关系，并用矩阵方程表示； （3）找出输出信号和状态变量 w n i ( ) 以及输入信号的关系，并写成矩阵。 3、例题（见教材 140 页） 例 5.5.1 建立图 5.5.4 流图的状态方程和输出方程。 x(n) y(n) z－1 a1 b0 z－1 b1 b2 a2 w1 (n＋1) w1 (n) w2 (n) 图 5.5.4
例5.5.3已知系统函数 2(1-=-)(1-1414x-1+07 H(=) (1+05:)(1-09-+0812) (1)画出H(=)的级联形网络结构 (2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。 414 图5.5.5 例55.4已知FIR滤波网络系统函数H(-)为 H(=)=∑a 画出其直接型结构及写出状态方程和输出方程。 图5.5.6 由状态变量分析法转换到输入输出分析法 输入输出分析法用差分方程、系统函数或单位脉冲响应描述系统,状态变量 分析法则用状态方程和输出方程描述系统。同一个差分方程描述的系统可以有几 种不同的网络结构,因此,对应的状态方程和输出方程也不同。 1、由状态变量分析法转换为输入输出分析法 由状态变量分析法转换为输入输出分析法,也就是用状态变量分析法的参数 矩阵球系统的系统函数以及单位脉冲响应。 已知单输入单输出的状态方程和输出方程 W(n+l)=Aw (n)+Bx(n) (58) y(n)=cw(n)+dx(n) (59) 将二式进行Z变换
例 5.5.3 已知系统函数 ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1.4.14 0.7 1 0.5 1 0.9 0.81 z z z H z z z z − − − − − − − − + = + − + （1） 画出 H z( ) 的级联形网络结构； （2） 根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。 x(n) z－1 2 y(n) z－1 z－1 －1.414 0.7 w 0.9 1 (n) w2 (n) w3 (n) －0.5 －1 图 5.5.5 例 5.5.4 已知 FIR 滤波网络系统函数 H z( ) 为 ( ) 3 0 i i i H z a z − = = 画出其直接型结构及写出状态方程和输出方程。 y(n) x(n) z－1 z－1 w z－1 1 (n) w2 (n) a1 a2 a3 a0 w3 (n) 图 5.5.6 二、由状态变量分析法转换到输入输出分析法 输入输出分析法用差分方程、系统函数或单位脉冲响应描述系统，状态变量 分析法则用状态方程和输出方程描述系统。同一个差分方程描述的系统可以有几 种不同的网络结构，因此，对应的状态方程和输出方程也不同。 1、由状态变量分析法转换为输入输出分析法 由状态变量分析法转换为输入输出分析法，也就是用状态变量分析法的参数 矩阵球系统的系统函数以及单位脉冲响应。 已知单输入单输出的状态方程和输出方程 W n AW n Bx n ( + = + 1) ( ) ( ) (5.8) y n CW n dx n ( ) = + ( ) ( ) (5.9) 将二式进行 Z 变换