16 第1章有限单元法基本程式 等于零。 ④)稀疏性 K是稀疏矩阵，且划分的单元越多越稀疏。如果节点编号恰当，那些非零 元素都将集中于刚度矩阵的对角线附近，呈斜带状（图1.7）。显然，带外的零元 素不必存贮，也不参加运算，这是有限元整体刚度矩阵的优良数值特性。 在整体刚度矩阵的各行中，由对角线到带边界所包 含最多的元素数目称为半带宽(Semi-bandwidth),用B 表示。若单元各节点的整体码I,J,M等非常接近，则 该单元的刚度系数便集中在K的对角线附近。不难发 现，半带宽决定于各单元中节点整体码的最大差值D。 如果每个节点的自由度为，则有 0 +.子半带 B=n(D+1) (1.24) 在平面问题中，n=2。 1.5数值求解 1.5.1边界条件的引入 如前所述，整体刚度矩阵K是奇异的，只有引入位移边界条件对刚度矩阵 加以修改，即消除刚体位移后才能求解整体刚度方程。对于平面问题来说，要消 除刚体位移，至少要有三个位移约束条件。 1)零位移的实现 对于具有N个节点的平面结构，其平衡方程为 [KL K1,2K13 K14 K1,2N 11 (XI K21 K2,2 K23 K2,4 K2,2N U Y K3.1 K3.2K3.3 K3.4 … K3,2N 1.25) K41 K42K43 K44 K4.2 V2 Y2 … K2N.I K2N.2 K2N.3 K2N,4 … K2N.2NJ UN) 例如，为实现1=0的条件，在式1,25)中可作如下变化：在整体刚度矩阵K 中，除了保留与1相对应的并在主对角线上的系数K.,外，第一行和第一列的 其余系数均改为零：在荷载列阵中，令u1对应的X1=0,从而有 等于零。 （４）稀疏性 Ｋ 是稀疏矩阵，且划分的单元越多越稀疏。如果节点编号恰当，那些非零 元素都将集中于刚度矩阵的对角线附近，呈斜带状（图１７）。显然，带外的零元 素不必存贮，也不参加运算，这是有限元整体刚度矩阵的优良数值特性。 图１７ 半带宽 在整体刚度矩阵的各行中，由对角线到带边界所包 含最多的元素数目称为半带宽（Ｓｅｍｉ?ｂａｎｄｗｉｄｔｈ），用 Ｂ 表示。若单元各节点的整体码Ｉ，Ｊ，Ｍ 等非常接近，则 该单元的刚度系数便集中在 Ｋ 的对角线附近。不难发 现，半带宽决定于各单元中节点整体码的最大差值 Ｄ。 如果每个节点的自由度为ｎ，则有 Ｂ＝ｎ（Ｄ＋１） （１２４） 在平面问题中，ｎ＝２。 １５ 数 值 求 解 １５１ 边界条件的引入 如前所述，整体刚度矩阵 Ｋ 是奇异的，只有引入位移边界条件对刚度矩阵 加以修改，即消除刚体位移后才能求解整体刚度方程。对于平面问题来说，要消 除刚体位移，至少要有三个位移约束条件。 （１）零位移的实现 对于具有 Ｎ 个节点的平面结构，其平衡方程为 Ｋ１，１ Ｋ１，２ Ｋ１，３ Ｋ１，４ … Ｋ１，２Ｎ Ｋ２，１ Ｋ２，２ Ｋ２，３ Ｋ２，４ … Ｋ２，２Ｎ Ｋ３，１ Ｋ３，２ Ｋ３，３ Ｋ３，４ … Ｋ３，２Ｎ Ｋ４，１ Ｋ４，２ Ｋ４，３ Ｋ４，４ … Ｋ４，２Ｎ … … … … … … Ｋ２Ｎ，１ Ｋ２Ｎ，２ Ｋ２Ｎ，３ Ｋ２Ｎ，４ … Ｋ２Ｎ，２ 熿 燀 燄 Ｎ燅 ｕ１ ｖ１ ｕ２ ｖ２ … ｖ 烅 烄 烆 烍 烌 Ｎ烎 ＝ Ｘ１ Ｙ１ Ｘ２ Ｙ２ … Ｙ 烅 烄 烆 烍 烌 Ｎ烎 （１２５） 例如，为实现ｕ１＝０的条件，在式（１２５）中可作如下变化：在整体刚度矩阵 Ｋ 中，除了保留与ｕ１相对应的并在主对角线上的系数 Ｋ１，１外，第一行和第一列的 其余系数均改为零；在荷载列阵中，令ｕ１对应的Ｘ１＝０，从而有 ６１ 第１章 有限单元法基本程式