设lf(x)=A,img(x)=B若6>0,x∈U(x0,6) 有f(x)≤g(x),则A≤B 推论: 设lmf(x)=A,lmg(x)=B,且A<B则δ>0,x∈U(x0,6), 有f(x)<g(x) 定理(保号性) 若lmf(x)=A,且A>0或A<0)则38>0,当x∈U°(x0,)时, 推论 f(x)>0(或f(x)<0) 若lmf(x)=A,且δ>0,当x∈U(x0,6)时,f(x)≥0或f(x)≤0) 则A≥0(或A≤0) 4子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义 设在过程x→a(a可以是x0,x,或x)中有数列xn(≠a),使 得n→∞时xn→a则称数列{(xn)即f(x),f(x2) f(xn)…为函数f(x)当x→>时的子列 定理 若lmf(x)=A数列f(xn)是f(x)当x→时的一个子列 则有mf(xn)=A 证∵lmf(x)=A VE>0,36>0.使当0<x-x<谢时,恒旬f(x)-A<E 又∴lin mxn=x0且x≠x0, 对上述δ>0,N>0使当n>M时恒有0<xn-x< 从而有(x)-4<E,故mf(x)=A 例如,lim sin x =1, lim nsin=1, lim nsin-=l n+1 函数极限与数列极限的关系:函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都 存在,且相等 例7证明 lim sin-不存在 x-07 ( ) ( ), . lim ( ) , lim ( ) . 0, ( , ), 0 0 0 0 f x g x A B f x A g x B x U x x x x x   = =     → → 有 则 设 若   推论： ( ) ( ). lim ( ) , lim ( ) , 0, ( , ), 0 0 0 0 f x g x f x A g x B A B x U x x x x x  = =      → → 有 设 且 则   定理(保号性)： ( ) 0( ( ) 0). lim ( ) , 0( 0), 0, ( , ) , 0 0 0   =      → f x f x f x A A A x U x x x 或 若 且 或 则  当  时 推论： 0( 0). lim ( ) , 0, ( , ) , ( ) 0( ( ) 0), 0 0 0   =      → A A f x A x U x f x f x x x 则 或 若 且  当  时 或 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义   ( ), ( ) . . ( ) , ( ), ( ), , ( , , ) ( ), 1 2 0 0 0 为函数 当 时的子列 得 时 则称数列 即 设在过程 可以是 或 中有数列 使 f x f x x a n x a f x f x f x x a a x x x x a n n n n → →  → →  + −   定理 lim ( ) . lim ( ) , ( ) ( ) , f x A f x A f x f x x a n n n x a = = → → → 则有 若 数列 是 当 时的一个子列 证 f x A x x = → lim ( ) 0  0, 0, 0 , ( ) . 0     使当  x − x  时 恒有 f x − A   lim , 0 0 x x x x n n n =  → 又 且 0, 0, , 0 . 对上述  N  使当n  N时 恒有  xn − x0   f (x ) − A  , 从而有 n lim f (x ) A. n x = → 故 例如, 1 sin lim 0 = → x x x ， 1, 1 lim sin = → n n n ， 1, 1 lim sin = → n n n 1 1 sin 1 lim 2 2 = + → + n n n n n 函数极限与数列极限的关系：函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都 存在,且相等. 例 7 . 1 lim sin 0 证明 不存在 x→ x