《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 同理，设图形是由极坐标方程=(0、r=5(O)5(0>1(8》确定的二曲线 与射线0=a、0=B(B>a四所围成（图6.8，其面积 o-[5(o)-r(o]a0 (10.5) 例5、求四叶玫瑰线r=4c0s20所围成的平面图形的面积0（图6.9）。 解：由图形的对称性，所求面积等于第一象限中阴影部分面积的8倍。在曲 线的这一段上，对应的0从0变到4，于是由公式(10.4)，有 (d0020d0 4八0 例6、求笛卡尔叶形线r+少-3如y=0所围成的平面图形的面积。（图 6.10)。 解：因为这条曲线无法从所给方程中解出x或y,表成显函数的形式，所以 不能按照公式(10.3)来计算面积。这就从一个侧面说明了掌握在极坐标下计算 平面图形面积的必要性。 将曲线方程化为极坐标方程，令x=rcos0,y=rsin8,代入函数方程，经 整理得 r=3asin0cos cos8+sin3日 0s0=号 于是根据公式(10.4)，有 -tro0-8品0-《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 7 同理，设图形是由极坐标方程 1 r r = ( )  、 2 r r = ( )  2 1 ( ( ) ( )) r r    确定的二曲线 与射线  = 、  = ( )   所围成（图 6.8），其面积 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 r r d       = −      （10.5） 例 5、求四叶玫瑰线 r = 4cos2 所围成的平面图形的面积  （图 6.9）。 解：由图形的对称性，所求面积等于第一象限中阴影部分面积的 8 倍。在曲 线的这一段上，对应的  从 0 变到 4  ，于是由公式（10.4），有 ( ) 4 4 2 2 2 0 0 1 8 4 4 cos 2 2 r d d          = = =       3 3 4 0 1 sin 4 4 (1 cos 4 ) 4 8 4 2 2 4 0 d          + = + =      例 6、求笛卡尔叶形线 3 3 x y axy + − = 3 0 所围成的平面图形的面积  （图 6.10）。 解：因为这条曲线无法从所给方程中解出 x 或 y ，表成显函数的形式，所以 不能按照公式（10.3）来计算面积。这就从一个侧面说明了掌握在极坐标下计算 平面图形面积的必要性。 将曲线方程化为极坐标方程，令 x r = cos ， y r = sin ，代入函数方程，经 整理得 3 3 3 sin cos 0 cos sin 2 a r       =   + 于是根据公式（10.4），有 ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 2 0 0 1 1 9 sin cos 2 2 (cos sin ) a r d d           = = =     +  