银川能源学院《高签激学》救集 第一童函数、极限与连缕 根据实际背景中变量的实际意义确定」 求定义域举例： 求函数y=1-√x2-4的定义域 1” 要使函数有意义，必须≠0，且x2-4≥0 解不等式得引x≥2 所以函数的定义域为D={xI川x2},或D=(-o,2小U[2,+]) 单值函数与多值函数： 在函数的定义中，对每个xD,对应的函数值y总是唯一的，这样定义的 函数称为单值函数.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个x∈D,总有 确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多 值函数.例如，设变量x和y之间的对应法则由方程x2+y2=2给出.显然，对每 个x[-,小，由方程x2+y2=2,可确定出对应的y值，当=r或=-r时，对应=0 一个值；当x取(-r,)内任一个值时，对应的y有两个值.所以这方程确定了一 个多值函数 对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样 得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，在由方程x+y2=2给出的对 应法则中，附加“20”的条件，即以“x2+y2=2且20”作为对应法则，就可 得到一个单值分支y=y(x)=V2-x2;附加“0”的条件，即以“x2+y2=2且ys0” 作为对应法则，就可得到另一个单值分支y=2x)=-P-x 表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法），这在中 学里大家已经熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标 平面上的点集 {P(x,yb=fx),x∈D} 称为函数=x),x∈D的图形.图中的R表示函数=x)的值域. 例1.函数4。= 0,1<a(a∈R,其定义域为(-o,aU(a,+n),值域为 1,t>a O,}此函数在电子技术中经常遇到，称为单位阶跃函数，这种用两个以上 解析式表示的函数成为分段函数。该函数的图形如图所示。 例2.函数){0 x x20 称为绝对值函数.其定义域为D=(-o,+o),值域为Rr=[0,+o), 「1x>0 例3.函数y=sgnx={ 0x=0 -1x<0 称为符号函数.其定义域为D=(-o,+o),值域为Rf={-1,0,1}. 第3页银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 3 页 根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例: 求函数 4 1 2   x  x y 的定义域. 要使函数有意义, 必须 x0, 且 x 2  40. 解不等式得| x |2. 所以函数的定义域为 D{x | | x |2}, 或 D(, 2][2, ]). 单值函数与多值函数: 在函数的定义中，对每个 xD, 对应的函数值 y 总是唯一的, 这样定义的 函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个 xD, 总有 确定的 y 值与之对应, 但这个 y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多 值函数. 例如, 设变量 x和 y 之间的对应法则由方程 x 2 y 2 r 2 给出. 显然, 对每 个 x[r, r]，由方程 x 2 y 2 r 2 ,可确定出对应的 y 值, 当 xr 或 xr 时, 对应 y0 一个值; 当 x 取(r, r)内任一个值时, 对应的 y 有两个值. 所以这方程确定了一 个多值函数. 对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样 得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程 x 2 y 2 r 2 给出的对 应法则中, 附加“y0”的条件, 即以“x 2 y 2 r 2 且 y0”作为对应法则, 就可 得到一个单值分支 2 2 1 y y (x) r x ; 附加“y0”的条件, 即以“x 2 y 2 r 2 且 y0” 作为对应法则, 就可得到另一个单值分支 2 2 2 y y (x) r x . 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中 学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标 平面上的点集 {P(x, y)|yf(x), xD} 称为函数 yf(x), xD 的图形. 图中的 R f 表示函数 yf(x)的值域. 例1. 函数  其定义域为（ ， ）（ ， ）       ( ), - a a 1 , 0 , a R t a t a ua ，值域为 0，1.此函数在电子技术中经常遇到，称为单位阶跃函数，这种用两个以上 解析式表示的函数成为分段函数。该函数的图形如图所示。 例 2. 函数         0 0 | | x x x x y x . 称为绝对值函数. 其定义域为 D(, ), 值域为 R f [0, ). 例 3. 函数            1 0 0 0 1 0 sgn x x x y x . 称为符号函数. 其定义域为 D(, ), 值域为 R f {1, 0, 1}