,742 北京科技大学学报 第32卷 将各拟合公式的拟合参数以及拟合的决定系数R 在采用50s步长时只有0.7982也随步长的增大而 列于表1中，可见，在等效时间相同的情况下，采用 提高，但最高只有0.8973综上可见，相比于L0g 不同步长模拟的最终组织中晶粒尺寸分布更符合 nomalg函数和Louati函数，采用本文的元胞自动机 W eibulle函数的规律，用Webu函数拟合的R均在 模型模拟正常晶粒长大，晶粒尺寸分布较符合 0.9以上，且随所用步长的增大而提高；Lognomal W eibulle函数的规律，与文献[6]中的结论符合， 函数拟合的R在0.85~0.90 Louate函数拟合的R 表1拟合公式参数和决定系数R表 Table I Parmeters for the grain size distribution fiunctions and coefficient of detem nation R Louat函数 Log nomal函数 Weul函数 步长/s a R2 0 R2 3 R2 50 0.6898 0.7982 0.4071 0.0791 0.8940 11744 2.9086 0.9387 100 0.7375 0.8434 0.4040 0.0686 0.8533 1.1647 29257 0.9561 200 0.7721 0.8973 0.4198 0.0326 0.8851 1.1475 28100 0.9776 23晶粒边数分布规律 6.25 平均品粒边数标准差 根据Euar公式，构成一个无空隙多晶体组织 6.20 0-50% 6.0654 0.0288 -。-100=6.0377 0.0263 的晶粒数V界面数F棱边数E及角数C之间满 4-200片 6.0402 0.0187 足： 6.15 C-E+F-V=1 (7) 在二维情况中，晶粒组织中每个角与三条晶界 -605 相连，即“三晶点”，因为每个三叉点与三条边相连 6.0 而每条边两端各有一个三叉点，故3C=2E又由于 二维晶粒中每条边为两颗晶粒共有，所以二维晶粒 595 50 100 150 200 组织中每颗晶粒的平均边数为： 等效时间/500： n=2EF=6-6F (8) 图4平均晶粒边数变化 当晶粒数足够多时，晶粒平均边数趋于6，晶界之间 Fg 4 Evolution ofmean gran sies 的夹角趋于120°所以，六边形晶粒的晶界应是平 直的，小于6条边的晶粒晶界是外凸的，而大于6条 的晶粒边数分布符合正态分布，采用50s步长的模 边的晶粒晶界是内凹的，在晶粒长大过程中六边形 拟结果对正态分布的拟合R最高，达到0.9994 晶粒是不变的，因为其晶界平直而没有迁移所需的 0.4 模拟结果 拟合结果 驱动力：而小于6条边的晶粒面积不断缩小以致 -51 450. 4=6.0029 消失，大于6条边的晶粒通过吞噬小晶粒而不断 D100s 0=2.3075 0200. R2-=0.9994 长大，图4为步长对模拟过程中平均晶粒边数的 …100s 影响，可见，整个模拟过程中的平均晶粒边数均接 =5.9338 0.2 0-2.6772 近6，当步长为100s时最小.同时，随步长增大， =09833 -200% 平均晶粒边数的标准差逐渐减小，表明采用大的 0. =5.9021 0=3.0718 步长有利于组织中平均晶粒边数在晶粒长大过程 R-0.9779 中的稳定， 12 步长对模拟后组织中晶粒边数分布的影响如图 品粒边数 5所示，采用三种步长模拟后的晶粒边数分布均符 图5晶粒边数分布规律 合正态分布，且随步长减小，符合程度越高，同时， Fig 5 G rain sides distribution 随步长减小，正态分布的均数“向6靠近，分布宽度 σ减小，说明边数接近6的晶粒所占的比例逐渐升 24AnAa与边数n之间的关系 高，当步长为50s时，组织中五、六和七边形所占比 A为组织中所有晶粒的平均面积，A,为n边形 例达到8%，综上所述，三种步长均可以使长大后 晶粒平均面积.He等[的实验证明A.A与边数n北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 将各拟合公式的拟合参数以及拟合的决定系数 Ｒ 2 列于表 1中．可见‚在等效时间相同的情况下‚采用 不同步长模拟的最终组织中晶粒尺寸分布更符合 Ｗｅｉｂｕｌｌ函数的规律‚用 Ｗｅｉｂｕｌｌ函数拟合的 Ｒ 2均在 0∙9以上‚且随所用步长的增大而提高；Ｌｏｇ-ｎｏｒｍａｌ 函数拟合的 Ｒ 2在 0∙85～0∙90；Ｌｏｕａｔ函数拟合的 Ｒ 2 在采用 50ｓ步长时只有 0∙7982‚也随步长的增大而 提高‚但最高只有 0∙8973．综上可见‚相比于 Ｌｏｇ- ｎｏｒｍａｌ函数和 Ｌｏｕａｔ函数‚采用本文的元胞自动机 模型模拟正常晶粒长大‚晶粒尺寸分布较符合 Ｗｅｉｂｕｌｌ函数的规律‚与文献 ［6］中的结论符合． 表 1 拟合公式参数和决定系数 Ｒ2表 Ｔａｂｌｅ1 ＰａｒａｍｅｔｅｒｓｆｏｒｔｈｅｇｒａｉｎｓｉｚｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎＲ2 步长／ｓ Ｌｏｕａｔ函数 Ｌｏｇ-ｎｏｒｍａｌ函数 Ｗｅｉｂｕｌｌ函数 ａ Ｒ2 σ μ Ｒ2 α β Ｒ2 50 0∙6898 0∙7982 0∙4071 0∙0791 0∙8940 1．1744 2．9086 0∙9387 100 0∙7375 0∙8434 0∙4040 0∙0686 0∙8533 1．1647 2．9257 0∙9561 200 0∙7721 0∙8973 0∙4198 0∙0326 0∙8851 1．1475 2．8100 0∙9776 2．3 晶粒边数分布规律 根据 Ｅｕｌａｒ公式‚构成一个无空隙多晶体组织 的晶粒数 Ｖ、界面数 Ｆ、棱边数 Ｅ及角数 Ｃ之间满 足： Ｃ—Ｅ＋Ｆ—Ｖ＝1 （7） 在二维情况中‚晶粒组织中每个角与三条晶界 相连‚即 “三晶点 ”．因为每个三叉点与三条边相连 而每条边两端各有一个三叉点‚故 3Ｃ＝2Ｅ．又由于 二维晶粒中每条边为两颗晶粒共有‚所以二维晶粒 组织中每颗晶粒的平均边数为： ｎ＝2Ｅ／Ｆ＝6—6／Ｆ （8） 当晶粒数足够多时‚晶粒平均边数趋于 6‚晶界之间 的夹角趋于 120°．所以‚六边形晶粒的晶界应是平 直的‚小于 6条边的晶粒晶界是外凸的‚而大于 6条 边的晶粒晶界是内凹的．在晶粒长大过程中六边形 晶粒是不变的‚因为其晶界平直而没有迁移所需的 驱动力；而小于 6条边的晶粒面积不断缩小以致 消失‚大于 6条边的晶粒通过吞噬小晶粒而不断 长大．图 4为步长对模拟过程中平均晶粒边数的 影响．可见‚整个模拟过程中的平均晶粒边数均接 近 6‚当步长为 100ｓ时最小．同时‚随步长增大‚ 平均晶粒边数的标准差逐渐减小‚表明采用大的 步长有利于组织中平均晶粒边数在晶粒长大过程 中的稳定． 步长对模拟后组织中晶粒边数分布的影响如图 5所示．采用三种步长模拟后的晶粒边数分布均符 合正态分布‚且随步长减小‚符合程度越高．同时‚ 随步长减小‚正态分布的均数 μ向 6靠近‚分布宽度 σ减小‚说明边数接近 6的晶粒所占的比例逐渐升 高‚当步长为 50ｓ时‚组织中五、六和七边形所占比 例达到 85％．综上所述‚三种步长均可以使长大后 图 4 平均晶粒边数变化 Ｆｉｇ．4 Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｍｅａｎｇｒａｉｎｓｉｄｅｓ 的晶粒边数分布符合正态分布‚采用 50ｓ步长的模 拟结果对正态分布的拟合 Ｒ 2最高‚达到 0∙9994． 图 5 晶粒边数分布规律 Ｆｉｇ．5 Ｇｒａｉｎｓｉｄｅｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 2．4 Ａｎ／Ａａ与边数 ｎ之间的关系 Ａａ为组织中所有晶粒的平均面积‚Ａｎ为 ｎ边形 晶粒平均面积．Ｈｅ等 ［6］的实验证明 Ａｎ／Ａａ与边数 ｎ ·742·