D0I:10.13374/i.i8sm1001t53.2010.06.009 第32卷第6期 北京科技大学学报 Vol 32 No 6 2010年6月 Journal of Un iversity of Science and Techno logy Beijng Jun 2010 元胞自动机模拟晶粒长大的步长设定对模拟结果的影 响 武磊刘雅政程晓杰周乐育孙有博 北京科技大学材料科学与工程学院，北京100083 摘要采用一种预先设定步长的元胞自动机模型模拟晶粒长大，研究了步长对模拟结果的影响·在等效时间相同的情况 下，采用较大的步长导致模拟完成时晶粒尺寸较小，但其晶粒尺寸分布更符合Webu函数，晶粒面积比(AA)与晶粒边数 之间也更符合线性关系·无论采用哪种步长，模拟过程中平均晶粒边数均接近6，模拟后的组织中晶粒边数分布符合正态分 布，且随步长的减小符合程度提高·综合考虑，对于实际材料晶粒长大过程的模拟仿真，采用100步长可以获得较好的结果. 关键词元胞自动机：步长：晶粒长大；晶粒尺寸分布 分类号TG1421 Influence of cellu lar autom ata step length on si ulation results of grain grow th WU Lei LIU Ya-heng CHENG Xiao-jie ZHOU Leyu SUN You bo School ofMaterials Science and Engineering University of Science and Technology Beijing Beijing 100083 China ABSTRACT A cellular automata method w ith detem ined step length was used to smulate nomal gran grow th and the influence of step length on the smulation results was investigated W ithin he same equivalent tie the use of a larger step length leads to a smal ler grain size the grain size distribution accords well w ith the W ebull fiunction and the correlation between grain area ratio (A.A and grain sides is closer to a linear relation Whichever step length is used the average gran sies in the smulation process are close to 6 the distribution of grain sides after smnulation acconds with the nomal distribution and the agreement is inproved w ith the de- crease in step length In a camprehensive consideration a step length of 100 s is in favor of smulating the gran grow th of actualmate- rials KEY W ORDS cellular automata step length:grain grow th grain size distribution 正常晶粒长大是发生在完全再结晶的多晶材料 是其最终目的，为了与实际工艺条件相联系，需要 退火过程中的普遍现象，对材料的物理性能、力学性 建立计算机模拟步(sep)与实际时间(time)的对应 能和一系列的工程特性都有重要的作用，计算机模 关系，即模拟步长(step length),但是，模拟步长的 拟已经成为研究晶粒长大过程的重要手段.截至目 选取目前还没有确定的、统一的方法，现有的方法 前，已经有包括Monte Carl方法1、相场理论[-阿] 均是将模拟步转化成实际时间，但其模拟过程与实 和元胞自动机(celular automnata)方法[s-]等模型成 际时间仍是分离的，本文采用元胞自动机方法模拟 功应用于模拟正常晶粒长大，其中，Monte Carlo方 正常晶粒面积比长大，预先设定不同的步长，并将其作 法的应用最早，相关的研究也最成熟.相比于Moe 为模型的一个参量，考察了步长对模拟结果的影响· Cao方法，元胞自动机模型不只在模拟各种物理现 象上更加灵活，而且在计算上更高效[ 1晶粒长大的元胞自动机模型 计算机模拟物理过程的目的除进行理论研究 1.1晶粒长大模型 外，对于一定工艺下的物理过程进行仿真和预报才 晶粒长大驱动力P来源于整个系统总的界面 收稿日期：2009-09-22 作者简介：武磊(198-)，男，博士研究生；刘雅政(1952)女，教授，博士生导师，Email ly@mater ust ed加cm
第 32卷 第 6期 2010年 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．32Ｎｏ．6 Ｊｕｎ．2010 元胞自动机模拟晶粒长大的步长设定对模拟结果的影 响 武 磊 刘雅政 程晓杰 周乐育 孙有博 北京科技大学材料科学与工程学院北京 100083 摘 要 采用一种预先设定步长的元胞自动机模型模拟晶粒长大研究了步长对模拟结果的影响．在等效时间相同的情况 下采用较大的步长导致模拟完成时晶粒尺寸较小但其晶粒尺寸分布更符合 Ｗｅｉｂｕｌｌ函数晶粒面积比 （Ａｎ／Ａａ）与晶粒边数 之间也更符合线性关系．无论采用哪种步长模拟过程中平均晶粒边数均接近 6模拟后的组织中晶粒边数分布符合正态分 布且随步长的减小符合程度提高．综合考虑对于实际材料晶粒长大过程的模拟仿真采用 100ｓ步长可以获得较好的结果． 关键词 元胞自动机；步长；晶粒长大；晶粒尺寸分布 分类号 ＴＧ142．1 Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｃｅｌｌｕｌａｒａｕｔｏｍａｔａｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｏｎｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈ ＷＵＬｅｉＬＩＵＹａ-ｚｈｅｎｇＣＨＥＮＧＸｉａｏ-ｊｉｅＺＨＯＵＬｅ-ｙｕＳＵＮＹｏｕ-ｂｏ ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｅｒｉａｌｓＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇＢｅｉｊｉｎｇ100083Ｃｈｉｎａ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ａｃｅｌｌｕｌａｒａｕｔｏｍａｔａｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｗａｓｕｓｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｎｏｒｍａｌｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈａｎｄｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆ ｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｏｎｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｗａｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｗｉｔｈｉｎｔｈｅｓａｍｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｉｍｅｔｈｅｕｓｅｏｆａｌａｒｇｅｒｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｌｅａｄｓｔｏａｓｍａｌ- ｌｅｒｇｒａｉｎｓｉｚｅｔｈｅｇｒａｉｎｓｉｚｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｃｃｏｒｄｓｗｅｌｌｗｉｔｈｔｈｅＷｅｉｂｕｌｌｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｇｒａｉｎａｒｅａｒａｔｉｏ（Ａｎ／Ａａ） ａｎｄｇｒａｉｎｓｉｄｅｓｉｓｃｌｏｓｅｒｔｏａｌｉｎｅａｒｒｅｌａｔｉｏｎ．Ｗｈｉｃｈｅｖｅｒｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｉｓｕｓｅｄｔｈｅａｖｅｒａｇｅｇｒａｉｎｓｉｄｅｓｉｎｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓａｒｅｃｌｏｓｅ ｔｏ6ｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｇｒａｉｎｓｉｄｅｓａｆｔｅｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎａｃｃｏｒｄｓｗｉｔｈｔｈｅｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｎｄｔｈｅａｇｒｅｅｍｅｎｔｉｓｉｍｐｒｏｖｅｄｗｉｔｈｔｈｅｄｅ- ｃｒｅａｓｅｉｎｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈ．Ｉｎａｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎａｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｏｆ100ｓｉｓｉｎｆａｖｏｒｏｆｓｉｍｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈｏｆａｃｔｕａｌｍａｔｅ- ｒｉａｌｓ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｃｅｌｌｕｌａｒａｕｔｏｍａｔａ；ｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈ；ｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈ；ｇｒａｉｎｓｉｚｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 收稿日期：2009--09--22 作者简介：武磊 （1981— ）男博士研究生；刘雅政 （1952— ）女教授博士生导师Ｅ-ｍａｉｌ：ｌｙｚｈ＠ｍａｔｅｒ．ｕｓｔｂ．ｅｄｕ．ｃｎ 正常晶粒长大是发生在完全再结晶的多晶材料 退火过程中的普遍现象对材料的物理性能、力学性 能和一系列的工程特性都有重要的作用．计算机模 拟已经成为研究晶粒长大过程的重要手段．截至目 前已经有包括 ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方法 ［1--3］、相场理论 ［4--5］ 和元胞自动机 （ｃｅｌｌｕｌａｒａｕｔｏｍａｔａ）方法 ［6--8］等模型成 功应用于模拟正常晶粒长大．其中ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方 法的应用最早相关的研究也最成熟．相比于 Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ方法元胞自动机模型不只在模拟各种物理现 象上更加灵活而且在计算上更高效 ［6］． 计算机模拟物理过程的目的除进行理论研究 外对于一定工艺下的物理过程进行仿真和预报才 是其最终目的．为了与实际工艺条件相联系需要 建立计算机模拟步 （ｓｔｅｐ）与实际时间 （ｔｉｍｅ）的对应 关系即模拟步长 （ｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈ）．但是模拟步长的 选取目前还没有确定的、统一的方法．现有的方法 均是将模拟步转化成实际时间但其模拟过程与实 际时间仍是分离的．本文采用元胞自动机方法模拟 正常晶粒面积比长大预先设定不同的步长并将其作 为模型的一个参量考察了步长对模拟结果的影响． 1 晶粒长大的元胞自动机模型 1．1 晶粒长大模型 晶粒长大驱动力 ｐｇｇ来源于整个系统总的界面 DOI :10．13374／j．issn1001—053x．2010．06．009
,740 北京科技大学学报 第32卷 能的减小，与大角晶界能Y孰mg和晶界曲率1/P有 1.2元胞自动机模型 关，根据拉普拉斯压强方程： 首先建立初始晶粒组织矩阵，采用四边形点阵， 尺寸为600×600点，每个点代表一个元胞.两点间 2R R3 (1) 距离设定为1m,则初始组织等效面积为600m, P与晶界两侧晶粒的尺寸R1、R2以及晶界能 晶粒数为2880个，晶粒的平均面积约为125m. Y纯gk有关，Ya触e取1卜m29们 初始晶粒组织如图1(a)所示.模拟采用周期性边 晶粒长大晶界迁移率指单位晶粒长大驱动力作 界条件和交替摩尔邻居.每一个元胞自动机模拟步 用下的晶界迁移速率，晶粒长大晶界迁移率m与 (cas)中，先对初始组织矩阵进行扫描，当搜索到位 晶界扩散系数D、晶界扩散激活能Q和温度T有 于晶界处的元胞，如果该元胞符合设定的局部规则， 关，如下式所示： 根据式(3计算晶界迁移速度'以及晶界扫过该元 Da b fQ中 胞所需时间1m/、,元胞作可能被吞并标记；当搜 ms=kTe平RT (2) 索到可能被吞并的元胞，如果元胞从可能被吞并起 在模拟过程中，Dh、Q分别用aFe的自扩散 所经过的等效时间大于元胞被吞并所需时间1m/ 系数D,=5.8×10m2.g19和自扩散激活能Q= e该元胞被邻接晶粒吞并，当设定的cas数完成 231kmo9代替；b为泊氏矢量，取2.49×10-0 时，输出模拟结果，经过反复对比实验，在充分反应 m;T为热力学温度，此处取973K 实验结论的基础上，本文所选步长为50100和200 晶界迁移速度'与晶界迁移率m和驱动力 s等效时间都是100000s所以模拟步数分别为 P成正比： 2000 cas 1000 cas 500 cas Vegmgs Ps (3) 100 2 2D 40 600 400 500 600 300400500 N 300400500600 图1初始晶粒组织和采用不同步长模拟后的组织.(a)初始晶粒组织：(b)50÷(c)100÷(d)200s Fig 1 Initialm icmostmucture an m icmostmuchims w ith different step kngths (a)nitialm icrostructunes (b)50s (c)100s (d)200 s
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 能的减小与大角晶界能 γｈｉｇｈ＿ａｎｇｌｅ和晶界曲率 1／ρ有 关根据拉普拉斯压强方程： ｐｇｇ＝ γｈｉｇｈ＿ａｎｇｌｅ ρ ＝ γｈｉｇｈ＿ａｎｇｌｅ 2 1 Ｒ1 — 1 Ｒ2 （1） ｐｇｇ与 晶 界 两 侧 晶 粒 的 尺 寸 Ｒ1、Ｒ2 以 及 晶 界 能 γｈｉｇｈ＿ａｎｇｌｅ有关γｈｉｇｈ＿ａｎｇｌｅ取 1Ｊ·ｍ —2［9］． 晶粒长大晶界迁移率指单位晶粒长大驱动力作 用下的晶界迁移速率．晶粒长大晶界迁移率 ｍｇｇ与 晶界扩散系数 Ｄｇｂ、晶界扩散激活能 Ｑｇｂ和温度 Ｔ有 关如下式所示： ｍｇｇ＝ Ｄｇｂｂ 2 ｋＴ ｅｘｐ — Ｑｇｂ ＲＴ （2） 在模拟过程中Ｄｇｂ、Ｑｇｂ分别用 α-Ｆｅ的自扩散 系数 Ｄ0＝5∙8×10 —4ｍ 2·ｓ —1［9］和自扩散激活能Ｑ0＝ 231ｋＪ·ｍｏｌ —1［9］代替；ｂ为泊氏矢量取 2∙49×10 —10 ｍ ［10］；Ｔ为热力学温度此处取 973Ｋ． 晶界迁移速度 ｖｇｇ与晶界迁移率 ｍｇｇ和驱动力 ｐｇｇ成正比： ｖｇｇ＝ｍｇｇｐｇｇ （3） 1．2 元胞自动机模型 首先建立初始晶粒组织矩阵采用四边形点阵 尺寸为 600×600点每个点代表一个元胞．两点间 距离设定为 1μｍ则初始组织等效面积为 600μｍ 2 晶粒数为 2880个晶粒的平均面积约为 125μｍ 2． 初始晶粒组织如图 1（ａ）所示．模拟采用周期性边 界条件和交替摩尔邻居．每一个元胞自动机模拟步 （ｃａｓ）中先对初始组织矩阵进行扫描当搜索到位 于晶界处的元胞如果该元胞符合设定的局部规则 根据式 （3）计算晶界迁移速度 ｖｇｇ以及晶界扫过该元 胞所需时间 1μｍ／ｖｇｇ元胞作可能被吞并标记；当搜 索到可能被吞并的元胞如果元胞从可能被吞并起 所经过的等效时间大于元胞被吞并所需时间 1μｍ／ ｖｇｇ该元胞被邻接晶粒吞并．当设定的 ｃａｓ数完成 时输出模拟结果．经过反复对比实验在充分反应 实验结论的基础上本文所选步长为 50、100和 200 ｓ等效时间都是 100000ｓ所以模拟步数分别为 2000ｃａｓ、1000ｃａｓ和 500ｃａｓ． 图 1 初始晶粒组织和采用不同步长模拟后的组织．（ａ）初始晶粒组织；（ｂ）50ｓ；（ｃ）100ｓ；（ｄ）200ｓ Ｆｉｇ．1 Ｉｎｉｔｉａｌｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｓ：（ａ）ｉｎｉｔｉａｌｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；（ｂ）50ｓ；（ｃ）100ｓ；（ｄ）200ｓ ·740·
第6期 武磊等：元胞自动机模拟晶粒长大的步长设定对模拟结果的影响 ,741. 2模拟结果与讨论 在相同等效时间的情况下，步长的设定对晶粒长大 有一定的影响.随步长的增加，晶粒长大速度减小， 21晶粒面积变化 最终组织的平均晶粒面积减小，说明较大的步长会 采用不同步长模拟的晶粒组织如图1(b)~ 导致晶粒长大的速度减慢 (d)所示，平均晶粒面积与模拟时间的关系如图2 2.2晶粒尺寸分布规律 所示.由图2可见，采用当前模型进行的正常晶粒 晶粒尺寸分布统计用来研究晶粒组织的均匀 长大模拟，无论采用哪种步长，组织中的平均晶粒面 性，常用的描述晶粒尺寸分布规律的函数分别是 积增长与等效时间基本呈线性关系，正常晶粒长大 Luat函数、Log nomal函数)和Webull函 过程中，大晶粒逐渐长大，小晶粒逐渐萎缩，即正常 数，分别如下式所示： 晶粒长大是大晶粒吞噬小晶粒的过程，同时可见， f(x)=2 axexp(一ax) (4) 2000 1 -50. x)= (hx-) exp 22 (5) J2元x 1600 100. 200. -e-{门 (6) 拟合效果一般用决定系数R来衡量，决定系 800 数R是在Y的总平方和中，由X引起的平方和所 400 占的比例，决定系数的大小决定了相关的密切程度， 当R越接近1时，表示相关的方程式参考价值越 02 0.4 0.6 0.8 1.0 高；相反，越接近0时，表示参考价值越低 等效时向/10、 对采用不同步长模拟得到的最终组织做晶粒尺 图2模拟过程中平均晶粒面积与时间的关系 寸分布统计，并用三个拟合函数分别做拟合，将晶粒 Fig 2 Relationship between the mean gran area and tie in the 尺寸分布统计和拟合曲线列于图3中，图中，R为 组织中任一晶粒半径，R为组织中平均晶粒半径. 1.2 1.2 (a) ·模拟结果 ·模拟结果 1.0 -Weibull 1.0 Louat Weibull Louat 0.R ------Lng-normal 0.8 -----Log-normal 20.6 0.6 0.4 0.2 02 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.5 1.0 1.5 2.0 25 R'IR' R'IR' 12 (e) 模拟结果 1.0 ” Weibull 0.8F ------Ing-normal 0.6 0.4 02 0.5 1.0 1.5 2.0 RIR' 图3晶粒尺寸分布规律.(a)50÷(b)100÷(c)200s Fig 3 Gmain size distrbution (a)50s (b)100s (c)200s
第 6期 武 磊等： 元胞自动机模拟晶粒长大的步长设定对模拟结果的影响 2 模拟结果与讨论 2．1 晶粒面积变化 采用不同步长模拟的晶粒组织如图 1（ｂ） ～ （ｄ）所示平均晶粒面积与模拟时间的关系如图 2 所示．由图 2可见采用当前模型进行的正常晶粒 长大模拟无论采用哪种步长组织中的平均晶粒面 积增长与等效时间基本呈线性关系．正常晶粒长大 过程中大晶粒逐渐长大小晶粒逐渐萎缩即正常 晶粒长大是大晶粒吞噬小晶粒的过程．同时可见 图 2 模拟过程中平均晶粒面积与时间的关系 Ｆｉｇ．2 Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｍｅａｎｇｒａｉｎａｒｅａａｎｄｔｉｍｅｉｎｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ 图 3 晶粒尺寸分布规律．（ａ）50ｓ；（ｂ）100ｓ；（ｃ）200ｓ Ｆｉｇ．3 Ｇｒａｉｎｓｉｚｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ：（ａ）50ｓ；（ｂ）100ｓ；（ｃ）200ｓ 在相同等效时间的情况下步长的设定对晶粒长大 有一定的影响．随步长的增加晶粒长大速度减小 最终组织的平均晶粒面积减小说明较大的步长会 导致晶粒长大的速度减慢． 2．2 晶粒尺寸分布规律 晶粒尺寸分布统计用来研究晶粒组织的均匀 性．常用的描述晶粒尺寸分布规律的函数分别是 Ｌｏｕａｔ函 数 ［11］、Ｌｏｇ-ｎｏｒｍａｌ函 数 ［12］ 和 Ｗｅｉｂｕｌｌ函 数 ［13］分别如下式所示： ｆ（ｘ）＝2ａｘｅｘｐ（—ａｘ 2 ） （4） ｆ（ｘ）＝ 1 2πσｘ ｅｘｐ — （ｌｎｘ—μ） 2 2σ 2 （5） ｆ（ｘ）＝ β α βｘ β—1ｅｘｐ — ｘ α β （6） 拟合效果一般用决定系数 Ｒ 2 来衡量．决定系 数 Ｒ 2是在 Ｙ的总平方和中由 Ｘ引起的平方和所 占的比例决定系数的大小决定了相关的密切程度． 当 Ｒ 2越接近 1时表示相关的方程式参考价值越 高；相反越接近 0时表示参考价值越低． 对采用不同步长模拟得到的最终组织做晶粒尺 寸分布统计并用三个拟合函数分别做拟合将晶粒 尺寸分布统计和拟合曲线列于图 3中．图中Ｒ′为 组织中任一晶粒半径Ｒ′ａ为组织中平均晶粒半径． ·741·
,742 北京科技大学学报 第32卷 将各拟合公式的拟合参数以及拟合的决定系数R 在采用50s步长时只有0.7982也随步长的增大而 列于表1中，可见，在等效时间相同的情况下，采用 提高，但最高只有0.8973综上可见，相比于L0g 不同步长模拟的最终组织中晶粒尺寸分布更符合 nomalg函数和Louati函数，采用本文的元胞自动机 W eibulle函数的规律，用Webu函数拟合的R均在 模型模拟正常晶粒长大，晶粒尺寸分布较符合 0.9以上，且随所用步长的增大而提高；Lognomal W eibulle函数的规律，与文献[6]中的结论符合， 函数拟合的R在0.85~0.90 Louate函数拟合的R 表1拟合公式参数和决定系数R表 Table I Parmeters for the grain size distribution fiunctions and coefficient of detem nation R Louat函数 Log nomal函数 Weul函数 步长/s a R2 0 R2 3 R2 50 0.6898 0.7982 0.4071 0.0791 0.8940 11744 2.9086 0.9387 100 0.7375 0.8434 0.4040 0.0686 0.8533 1.1647 29257 0.9561 200 0.7721 0.8973 0.4198 0.0326 0.8851 1.1475 28100 0.9776 23晶粒边数分布规律 6.25 平均品粒边数标准差 根据Euar公式，构成一个无空隙多晶体组织 6.20 0-50% 6.0654 0.0288 -。-100=6.0377 0.0263 的晶粒数V界面数F棱边数E及角数C之间满 4-200片 6.0402 0.0187 足： 6.15 C-E+F-V=1 (7) 在二维情况中，晶粒组织中每个角与三条晶界 -605 相连，即“三晶点”，因为每个三叉点与三条边相连 6.0 而每条边两端各有一个三叉点，故3C=2E又由于 二维晶粒中每条边为两颗晶粒共有，所以二维晶粒 595 50 100 150 200 组织中每颗晶粒的平均边数为： 等效时间/500： n=2EF=6-6F (8) 图4平均晶粒边数变化 当晶粒数足够多时，晶粒平均边数趋于6，晶界之间 Fg 4 Evolution ofmean gran sies 的夹角趋于120°所以，六边形晶粒的晶界应是平 直的，小于6条边的晶粒晶界是外凸的，而大于6条 的晶粒边数分布符合正态分布，采用50s步长的模 边的晶粒晶界是内凹的，在晶粒长大过程中六边形 拟结果对正态分布的拟合R最高，达到0.9994 晶粒是不变的，因为其晶界平直而没有迁移所需的 0.4 模拟结果 拟合结果 驱动力：而小于6条边的晶粒面积不断缩小以致 -51 450. 4=6.0029 消失，大于6条边的晶粒通过吞噬小晶粒而不断 D100s 0=2.3075 0200. R2-=0.9994 长大，图4为步长对模拟过程中平均晶粒边数的 …100s 影响，可见，整个模拟过程中的平均晶粒边数均接 =5.9338 0.2 0-2.6772 近6，当步长为100s时最小.同时，随步长增大， =09833 -200% 平均晶粒边数的标准差逐渐减小，表明采用大的 0. =5.9021 0=3.0718 步长有利于组织中平均晶粒边数在晶粒长大过程 R-0.9779 中的稳定， 12 步长对模拟后组织中晶粒边数分布的影响如图 品粒边数 5所示，采用三种步长模拟后的晶粒边数分布均符 图5晶粒边数分布规律 合正态分布，且随步长减小，符合程度越高，同时， Fig 5 G rain sides distribution 随步长减小，正态分布的均数“向6靠近，分布宽度 σ减小，说明边数接近6的晶粒所占的比例逐渐升 24AnAa与边数n之间的关系 高，当步长为50s时，组织中五、六和七边形所占比 A为组织中所有晶粒的平均面积，A,为n边形 例达到8%，综上所述，三种步长均可以使长大后 晶粒平均面积.He等[的实验证明A.A与边数n
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 将各拟合公式的拟合参数以及拟合的决定系数 Ｒ 2 列于表 1中．可见在等效时间相同的情况下采用 不同步长模拟的最终组织中晶粒尺寸分布更符合 Ｗｅｉｂｕｌｌ函数的规律用 Ｗｅｉｂｕｌｌ函数拟合的 Ｒ 2均在 0∙9以上且随所用步长的增大而提高；Ｌｏｇ-ｎｏｒｍａｌ 函数拟合的 Ｒ 2在 0∙85～0∙90；Ｌｏｕａｔ函数拟合的 Ｒ 2 在采用 50ｓ步长时只有 0∙7982也随步长的增大而 提高但最高只有 0∙8973．综上可见相比于 Ｌｏｇ- ｎｏｒｍａｌ函数和 Ｌｏｕａｔ函数采用本文的元胞自动机 模型模拟正常晶粒长大晶粒尺寸分布较符合 Ｗｅｉｂｕｌｌ函数的规律与文献 ［6］中的结论符合． 表 1 拟合公式参数和决定系数 Ｒ2表 Ｔａｂｌｅ1 ＰａｒａｍｅｔｅｒｓｆｏｒｔｈｅｇｒａｉｎｓｉｚｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎＲ2 步长／ｓ Ｌｏｕａｔ函数 Ｌｏｇ-ｎｏｒｍａｌ函数 Ｗｅｉｂｕｌｌ函数 ａ Ｒ2 σ μ Ｒ2 α β Ｒ2 50 0∙6898 0∙7982 0∙4071 0∙0791 0∙8940 1．1744 2．9086 0∙9387 100 0∙7375 0∙8434 0∙4040 0∙0686 0∙8533 1．1647 2．9257 0∙9561 200 0∙7721 0∙8973 0∙4198 0∙0326 0∙8851 1．1475 2．8100 0∙9776 2．3 晶粒边数分布规律 根据 Ｅｕｌａｒ公式构成一个无空隙多晶体组织 的晶粒数 Ｖ、界面数 Ｆ、棱边数 Ｅ及角数 Ｃ之间满 足： Ｃ—Ｅ＋Ｆ—Ｖ＝1 （7） 在二维情况中晶粒组织中每个角与三条晶界 相连即 “三晶点 ”．因为每个三叉点与三条边相连 而每条边两端各有一个三叉点故 3Ｃ＝2Ｅ．又由于 二维晶粒中每条边为两颗晶粒共有所以二维晶粒 组织中每颗晶粒的平均边数为： ｎ＝2Ｅ／Ｆ＝6—6／Ｆ （8） 当晶粒数足够多时晶粒平均边数趋于 6晶界之间 的夹角趋于 120°．所以六边形晶粒的晶界应是平 直的小于 6条边的晶粒晶界是外凸的而大于 6条 边的晶粒晶界是内凹的．在晶粒长大过程中六边形 晶粒是不变的因为其晶界平直而没有迁移所需的 驱动力；而小于 6条边的晶粒面积不断缩小以致 消失大于 6条边的晶粒通过吞噬小晶粒而不断 长大．图 4为步长对模拟过程中平均晶粒边数的 影响．可见整个模拟过程中的平均晶粒边数均接 近 6当步长为 100ｓ时最小．同时随步长增大 平均晶粒边数的标准差逐渐减小表明采用大的 步长有利于组织中平均晶粒边数在晶粒长大过程 中的稳定． 步长对模拟后组织中晶粒边数分布的影响如图 5所示．采用三种步长模拟后的晶粒边数分布均符 合正态分布且随步长减小符合程度越高．同时 随步长减小正态分布的均数 μ向 6靠近分布宽度 σ减小说明边数接近 6的晶粒所占的比例逐渐升 高当步长为 50ｓ时组织中五、六和七边形所占比 例达到 85％．综上所述三种步长均可以使长大后 图 4 平均晶粒边数变化 Ｆｉｇ．4 Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｍｅａｎｇｒａｉｎｓｉｄｅｓ 的晶粒边数分布符合正态分布采用 50ｓ步长的模 拟结果对正态分布的拟合 Ｒ 2最高达到 0∙9994． 图 5 晶粒边数分布规律 Ｆｉｇ．5 Ｇｒａｉｎｓｉｄｅｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 2．4 Ａｎ／Ａａ与边数 ｎ之间的关系 Ａａ为组织中所有晶粒的平均面积Ａｎ为 ｎ边形 晶粒平均面积．Ｈｅ等 ［6］的实验证明 Ａｎ／Ａａ与边数 ｎ ·742·
第6期 武磊等：元胞自动机模拟晶粒长大的步长设定对模拟结果的影响 ,743. 之间的关系接近线性，即随晶粒面积增大，晶粒边数 边数均接近6且相差很小；模拟后的晶粒边数分布 n也增大.用式n=o十ax拟合实验数据，参数为 符合正态分布，并随步长的减小符合程度提高， m和aKim也得到了类似的结果，其中a= (4)A.A与边数n之间基本符合线性关系， 1.245. 当步长为100s时，拟合的R最大，符合程度最高. 采用不同步长模拟的晶粒组织中AA与边数 本文采用的元胞自动机模型，步长的设定对模 n之间的关系如图6所示，拟合参数与R见表2 拟结果的影响规律是复杂的，综合考虑，对于实际 由图可见：当AA (2)相比于Logmomalg函数和Louat函数，采用 [13]Fayad M.Thanpson C V.FmostH J Steady state gmain size dis 不同步长模拟的最终组织晶粒尺寸分布较符合 trbutions mesulting from grain gwow th in wo dinensions Scripta Mater1999,40(10):1199 W eibulle函数的规律，用Webu函数拟合的R均在 [14]Kin B N.Two dinensional sinulation of gman grow th based on 0.9以上，且随步长的增大而提高， an atm ic jimp model for grain boundary migration Mater Sci (3)无论采用何种步长，模拟过程中平均晶粒 EngA2000283(12):164
第 6期 武 磊等： 元胞自动机模拟晶粒长大的步长设定对模拟结果的影响 之间的关系接近线性即随晶粒面积增大晶粒边数 ｎ也增大．用式 ｎ＝ｎ0 ＋αｘ拟合实验数据参数为 ｎ0和 α．Ｋｉｍ ［14］ 也得到了类似的结果其中 α＝ 1∙245． 采用不同步长模拟的晶粒组织中 Ａｎ／Ａａ与边数 ｎ之间的关系如图 6所示拟合参数与 Ｒ 2 见表 2． 由图可见：当 Ａｎ／Ａａ＜2．0时模拟结果基本符合了 线性关系；随着 Ａｎ／Ａａ继续增大采用三种步长的模 拟结果均出现了波动．从表 2可见当步长为 100ｓ 时模拟结果对线性关系的符合程度最高． 图 6 Ａｎ／Ａａ与边数 ｎ之间的关系 Ｆｉｇ．6 ＲｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎＡｎ／Ａａａｎｄｎ 表 2 拟合参数与决定系数 Ｒ2 Ｔａｂｌｅ2 ＦｉｔｔｉｎｇｐａｒａｍｅｔｅｒｓａｎｄｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔＲ2 步长／ｓ ｎ0 α Ｒ2 50 4．53 1．36 0∙9409 100 4．37 1．64 0∙9664 200 4．55 1．41 0∙9345 3 结论 区别于以往的基于最低能量原则的元胞自动机 模型本文采用了一种将模拟步与实际时间相联系 的模型将模拟矩阵所代表的物理尺度与具体工艺 的时间尺度带入到模型中．其优点是将计算机模拟 过程与实际材料和具体工艺紧密结合尤其对涉及 实际工艺的组织模拟 （如材料的退火过程 ）有较强 的实用性．本文通过对比三种步长对模拟结果的影 响考察了模型的实际效果得到如下结论： （1） 较大的步长会引起晶粒长大的速度减慢． （2）相比于 Ｌｏｇ-ｎｏｒｍａｌ函数和 Ｌｏｕａｔ函数采用 不同步长模拟的最终组织晶粒尺寸分布较符合 Ｗｅｉｂｕｌｌ函数的规律用 Ｗｅｉｂｕｌｌ函数拟合的 Ｒ 2均在 0∙9以上且随步长的增大而提高． （3） 无论采用何种步长模拟过程中平均晶粒 边数均接近 6且相差很小；模拟后的晶粒边数分布 符合正态分布并随步长的减小符合程度提高． （4） Ａｎ／Ａａ与边数 ｎ之间基本符合线性关系 当步长为 100ｓ时拟合的 Ｒ 2最大符合程度最高． 本文采用的元胞自动机模型步长的设定对模 拟结果的影响规律是复杂的．综合考虑对于实际 材料晶粒长大过程的模拟仿真采用 100ｓ步长可以 获得较好的结果． 参 考 文 献 ［1］ ＣｈｏｕｄｈｕｒｙＳＪａｙａｇａｎｔｈａｎＲ．ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｇｒａｉｎ ｇｒｏｗｔｈｉｎ2Ｄａｎｄ3Ｄｂｉｃｒｙｓｔａｌｓｗｉｔｈｍｏｂｉｌｅａｎｄｉｍｍｏｂｉｌｅｉｍｐｕｒｉ- ｔｉｅｓ．ＭａｔｅｒＣｈｅｍＰｈｙｓ2008109（2／3）：325 ［2］ ＯｋｕｄａＫＲｏｌｌｅｔｔＡＤ．ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｅｌｏｎｇａｔｅｄｒｅ- ｃｒｙｓｔａｌｌｉｚｅｄｇｒａｉｎｓｉｎｓｔｅｅｌｓ．ＣｏｍｐｕｔＭａｔｅｒＳｃｉ200534 （3）： 264 ［3］ ＹｕＱＥｓｃｈｅＳＫ．ＡＭｏｎｔｅＣａｒｌｏａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｓｉｎｇｌｅｐｈａｓｅｎｏｒ- ｍａｌｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈｗｉｔｈｉｍｐｒｏｖｅｄａｃｃｕｒａｃｙａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ．Ｃｏｍｐｕｔ ＭａｔｅｒＳｃｉ200327（3）：259 ［4］ ＳｕｗａＹＳａｉｔｏＹＯｎｏｄｅｒａＨ．Ｔｈｒｅｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｈａｓｅｆｉｅｌｄｓｉｍ- ｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆａｎｉｓｏｔｒｏｐｙｉｎｇｒａｉｎｂｏｕｎｄａｒｙｍｏｂｉｌｉｔｙｏｎ ｇｒｏｗｔｈｋｉｎｅｔｉｃｓａｎｄｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙｏｆｇｒａｉｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．ＣｏｍｐｕｔＭａｔｅｒ Ｓｃｉ200740（1）：40 ［5］ ＭｏｅｌａｎｓＮＢｌａｎｐａｉｎＢＷｏｌｌａｎｔｓＰ．Ｐｈａｓｅｆｉｅｌｄｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｏｆ ｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈｉｎｔｗｏｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｙｓｔｅｍｓｃｏｎｔａｉｎｉｎｇｆｉｎｅｌｙｄｉｓｐｅｒｓｅｄ ｓｅｃｏｎｄ-ｐｈａｓｅｐａｒｔｉｃｌｅｓ．ＡｃｔａＭａｔｅｒ200654（4）：1175 ［6］ ＨｅＹＺＤｉｎｇＨＬＬｉｕＬＦｅｔａｌ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆ2Ｄ ｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈｕｓｉｎｇａｃｅｌｌｕｌａｒａｕｔｏｍａｔａｍｏｄｅｌｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｌｏｗｅｓｔ ｅｎｅｒｇｙｐｒｉｎｃｉｐｌｅ．ＭａｔｅｒＳｃｉＥｎｇＡ2006429（1／2）：236 ［7］ ＤｉｎｇＨＬＨｅＹＺＬｉｕＬＦｅｔａｌ．Ｃｅｌｌｕｌａｒａｕｔｏｍａｔａｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈｉｎｔｈｒｅｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｌｏｗｅｓｔｅｎｅｒｇｙ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ．ＪＣｒｙｓｔＧｒｏｗｔｈ2006293（2）：489 ［8］ ＺｈａｎＸＨＷｅｉＹＨＤｏｎｇＺＢ．Ｃｅｌｌｕｌａｒａｕｔｏｍａｔｏｎｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆ ｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎａｎｇｌｅｓｄｕｒｉｎｇｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ．ＪＭａｔｅｒＰｒｏｃｅｓｓＴｅｃｈｎｏｌ2008208（1／3）：1 ［9］ ＳｕｎＪＨＬｉｕＹＺＺｈｏｕＬＹ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｎｔｅｘｔｕｒｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆ 0∙02Ｃ％ ｓｔｅｅｌｄｅｅｐｄｒａｗｉｎｇｓｈｅｅｔＳｔ15ｄｕｒｉｎｇｒｅｃｒｙｓｔａｌｌｉｚａｔｉｏｎ． ＳｐｅｃＳｔｅｅｌ200925（5）：12 （孙景宏刘雅政周乐育．0∙02％ Ｃ钢深冲板 Ｓｔ15再结晶 退火织构演变的模拟．特殊钢200925（5）：12） ［10］ ＲａａｂｅＤＨａｎｔｃｈｅｒｌｉＬ．2Ｄｃｅｌｌｕｌａｒａｕｔｏｍａｔｏｎｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅ ｒｅｃｒｙｓｔａｌｌｉｚａｔｉｏｎｔｅｘｔｕｒｅｏｆａｎＩＦｓｈｅｅｔｓｔｅｅｌｕｎｄｅｒｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｏｆ Ｚｅｎｅｒｐｉｎｎｉｎｇ．ＣｏｍｐｕｔＭａｔｅｒＳｃｉ200534（4）：299 ［11］ ＬｏｕａｔＮＰ．Ｏｎｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｎｏｒｍａｌｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈ．ＡｃｔａＭｅｔａｌｌ 197422（6）：721 ［12］ ＦｅｌｔｈａｍＰ．Ｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈｉｎｍｅｔａｌｓ．ＡｃｔａＭｅｔａｌｌ19575（2）： 97 ［13］ ＦａｙａｄＭＴｈｏｍｐｓｏｎＣＶＦｒｏｓｔＨＪ．Ｓｔｅａｄｙ-ｓｔａｔｅｇｒａｉｎｓｉｚｅｄｉｓ- ｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｒｅｓｕｌｔｉｎｇｆｒｏｍｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈｉｎｔｗｏｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．Ｓｃｒｉｐｔａ Ｍａｔｅｒ199940（10）：1199 ［14］ ＫｉｍＢＮ．Ｔｗｏｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｇｒａｉｎｇｒｏｗｔｈｂａｓｅｄｏｎ ａｎａｔｏｍｉｃｊｕｍｐｍｏｄｅｌｆｏｒｇｒａｉｎｂｏｕｎｄａｒｙｍｉｇｒａｔｉｏｎ．ＭａｔｅｒＳｃｉ ＥｎｇＡ2000283（1／2）：164 ·743·
