高。用AD采样值乘以标度系数后，只需 π2 再除以之前放大的倍数，即可得到测量的 e=- 3N% 〉2cos2ti (3-5) 工程值。通过这种最大有效位数原则的应 i-1 用可以有效减少在标度变换过程中产生的 对上式中的求和项进行估算，取一个 误差。 合理值。对于理想情况，即波形是完全标准 3.2截断误差分析与降低方法 的正弦波，采样的时间间隔在整周期内相 截断误差的大小与算法及采样点数N 等，这时和式值应该为0。但对于实际情况 有很大的关系。下面以用梯形求积公式求 而言这两种情况都是不可能的。由于cos2t 电压有效值的过程为例分析截断误差的大 在(0~2π)区间内的取值在(-1，+1)之 小与降低方法。 间，且有正有负，那么正负项将有一部分 会被抵消。可将和式进行合理放大，将 u2(t)dt cos2t在整个周期内都取为某正值或负值， Jo 对误差限的估计不会有影响。若全取-0.5， 则∑1-0.5i=-0.5N,代入(3-5)，得 u2(kh)+ 咯+吃+E 2N es4 3NU层2N×0.5 3NU品 (3-6) (3-3) 式中U为电压有效值，N为被测信号一 由此可以得出电压有效值的总截断误差为 周期均匀采样点数：u(kh)为电压信号采 du dvV eUaπ21 样值：为每次采样前T时刻值：un为每 dye= dVe=2元=3Nz2元 周期最后一次采样值：E为积分离散产生 2U ≈ (3 的截断误差。 对于连续函数f(x),第ⅰ个小区间上 -7) 梯形近似的截断误差 相对误差为 W=-r"e)41<<X E I Ey≈T≈N (3-8) (3-4) 若取全周期cos2t都为0.5，e可得到负误 其中h=TN(T为被测信号周期，N为采样 差，进一步推导可得到与式(3-8)相同 点数)为采样间隔，在讨论截断误差时假 的误差限。 定T与N均不变，且间隔均匀。f`(e)为采 在推导出误差限后，我们可以着手探 样时间间隔内某点的二阶导数。 究减少截断误差的方法。由式(3-8)可知， 对于周期变量u(t)=Umsint,计算电 截断误差的相对值与采样点数N的平方成 压有效值离散积分截断误差为： 反比，N越大则准确度越高。N>26时有近 首先求积分式V=u2()dt(T= 0.5级的准确度：N>40时，有0.2级的准确 度：N>57时，则有0.1级的准确度。N与 2π)的截断误差，用e表示。 相对误差大小的曲线关系如下图： f(t)=u2(t)=U2 sin2(t) f"(t)=2U cos2t f"()=2U cos2E n2 e=-32U品cos2专-1《《 2π区间内累积误差高。用 AD 采样值乘以标度系数后，只需 再除以之前放大的倍数，即可得到测量的 工程值。通过这种最大有效位数原则的应 用可以有效减少在标度变换过程中产生的 误差。 3.2 截断误差分析与降低方法 截断误差的大小与算法及采样点数 N 有很大的关系。下面以用梯形求积公式求 电压有效值的过程为例分析截断误差的大 小与降低方法。 U = �1 T � u2(t) T 0 dt = � 1 N � u2(kh) N−1 k=1 + u0 2 + un 2 2N + E (3 − 3) 式中 U 为电压有效值，N 为被测信号一 周期均匀采样点数；u（kh）为电压信号采 样值；u0 为每次采样前 T 时刻值；un 为每 周期最后一次采样值；E 为积分离散产生 的截断误差。 对于连续函数 f（x），第 i 个小区间上 梯形近似的截断误差 Wi = − h3 12 f′′(εi) xi−1 < εi < xi (3 − 4) 其中 h=T/N（T 为被测信号周期，N 为采样 点数）为采样间隔，在讨论截断误差时假 定 T 与 N 均不变，且间隔均匀。f ‘’(εi)为采 样时间间隔内某点的二阶导数。 对于周期变量 u（t）=Umsint，计算电 压有效值离散积分截断误差为： 首先求积分式 V = 1 T ∫ u2(t) T 0 dt(T = 2π)的截断误差，用 e 表示。 f(t) = u2(t) = Um 2 sin2(t) f′′(t) = 2Um 2 cos2t f′′(εi) = 2Um 2 cos2εi ei = − π2 3N3 2Um 2 cos2εi ti−1 ≪ εi ≪ ti 2π区间内累积误差 e = − π2 3N3 Um 2 �2cos2ti n i=1 (3 − 5) 对上式中的求和项进行估算，取一个 合理值。对于理想情况,即波形是完全标准 的正弦波，采样的时间间隔在整周期内相 等，这时和式值应该为 0。但对于实际情况 而言这两种情况都是不可能的。由于 cos2ti 在（0~2π）区间内的取值在（-1，+1）之 间，且有正有负，那么正负项将有一部分 会被抵消。可将和式进行合理放大，将 cos2ti 在整个周期内都取为某正值或负值， 对误差限的估计不会有影响。若全取-0.5， 则∑ −0.5i n i=1 = −0.5N，代入（3-5），得 e ≤ 4π2 3N3 Um 2 2N × 0.5 = π2 3N2 Um 2 （3 − 6） 由此可以得出电压有效值的总截断误差为 E = dU dV e = d√V dV e = e 2U = Um 2 π2 3N2 1 2U ≈ π N2 U （3 − 7） 相对误差为 Eγ ≈ E U ≈ π N2 （3 − 8） 若取全周期 cos2ti 都为 0.5，e 可得到负误 差，进一步推导可得到与式（3 − 8）相同 的误差限。 在推导出误差限后，我们可以着手探 究减少截断误差的方法。由式（3-8）可知， 截断误差的相对值与采样点数 N 的平方成 反比，N 越大则准确度越高。N>26 时有近 0.5 级的准确度；N>40 时，有 0.2 级的准确 度；N>57 时，则有 0.1 级的准确度。N 与 相对误差大小的曲线关系如下图：