138 线性代数重点难点30讲 「a1alaa…a1an「00…0 aia,a a00…0 aa1a,a}…a,an」100…0 所以主对角线上的元素 =0(i=1,2,…,n), 即 或 a=aa=…=an=0(i=1,2 也就是a1=0(i=1,2,…n).于是A=O,与A是非零方阵矛盾,故1A1≠0 小结总结例6至例11的解题经验,可见 AA=AA=AIE 是处理有关逆矩阵及伴随矩阵问题的一个基本公式,并且由此公式得到了如下有用的结果 (1)当1A1≠0时,A可逆,且有A1 LETATA'i (2)当|A1≠0时,A‘可逆,且有(A)1=1 (3)对任何n(n≥2)阶方阵A,恒有1A‘1=1A1(参考第24讲例10); (4)对任何n(n≥2)阶可逆方阵A,(A)=1A12A成立; (5)若A≠O,但|A|=0,则AA=O 利用上述小结,可以轻松地解答如下考研试题 例12(200年全国研究生入学试题)设矩阵A=120,矩阵B满足ABA 001 2BA+E,其中A·为A的伴随矩阵,E是三阶单位矩阵,则|B|= 解由ABA=2BA'+E,得(A-2E)BA=E,而 1010 A-2E|=100=1,故|B||A‘|=1 00-1 因A可逆,所以A·可逆,且由|A|=3,A|=|A|1知A|=3-1=9,从而 四、初等矩阵 初等矩阵具体性质:①初等矩阵均为可逆矩阵;②E(i,j)=E(i,j),E(i(k))= E(i(),E(i,j+i(k)=E(i,+i-k)):③对A作初等行(列)变换,相当于左 (右)乘同类型的初等矩阵 例13设