第23讲矩阵运算方法与技巧(2) 137 得(AB)=AB1(AB)1=|AB|BA=|B|B1A|A1=B‘A 例8设A为n阶可逆矩阵,且A2=1AE,试证A的伴随矩阵A=A 证A=1A|A1=1A|E·A1=A2·A1=A 例9设可逆矩阵A的伴随矩阵A·反对称,证明A的转置矩阵A也反对称 证由(A)=-A·及A1=1A·得 (A)=(42) 1=1-(A)=-A 故A1也反对称 又由AA1=E得 (AAT=(AATE-AATEE=E 因而 =A=(A) 故A也反对称 例10设A为可逆的n阶方阵(n≥2),则() (A)(A)=|A|1A; (B)(A)=|A|"A (C)(A)=|A2A (D)(A)=|A|m2A 解由基本关系式AA=1A1E知,若A可逆,则A·也可道 (A·)·利用A=41A-1A·1(A”)2 再利用A·=1A1A-1 A1A(A|A-1)-1 行列式性质 矩性质(1A|"|A1 逆矩阵性质 1 A=IAIA IAIA I 故选(C) 例11设A为n阶非零方阵,且A=A,试证|A|≠0 证用反证法,若设|A|=0,由基本关系式AA=1A1E及条件A‘=A,得 AATEIAIE=O. 设A=其中行向量a,=(an,a,…,an)(i=1,2…,n),则 AA [a,a2,…,an]=O