·358. 北京科技大学学报 2004年第4期 边界条件为中心线上两侧温度场对称： 的模型，包括定解微分方程、量纲为1的量和量 aTl 0x0 =0(x>0) (3) 纲为1的形式的解，其中含有特征数（如Fo,B), 板外侧处于第三类边界条件： 而不含量纲不为1的参数（如k,h,p,c,等）.称式(1) aT 和(14)为问题的参数模型，包括量纲不为1的定 -k0x-“ =h(T-Ta)(x>0) (4) 解微分方程和量纲不为1的形式的解，其中均含 其中，x,t分别是空间和时间自变量：T=x,)为 量纲不为1的参数. 温度场：L为12板厚：T,T分别是板子初始温度 和环境温度：a=pc,为板材的热扩散系数：k,p,cp 3讨论 分别是板材的导热系数、密度和热容；h为板子表 3.1量纲为1的单元坐标 面与环境介质之间的给热系数， 量纲为1化的结果使各自变量和因变量都转 2.2量纲为1化 化为取值范围为01的“纯数量”值，而对于其他 取L为定性尺寸，定义量纲为1的位置： 取值范围的情况可以通过平移、放大或缩小转化 X=X/L (5) 为01范围.变量量纲为1化的结果使之转变为 量纲为1的温度： 品 没有量单位的“纯数学量”一一只有取值大小且 (6) 量纲为1.由此可知，任何实际现象经量纲为1化 量纲为1的时间： 后都可“映射”到一个量纲为】的单元纯数值坐 Fo (7) 标系中，简称“量纲为1的单元坐标系NDUC)”. 于是上述偏微分方程的定解问题式(1)(4) 自变量和因变量量纲为1化以后，模型中各 转化为以下量纲为1的偏微分方程的定解问题. 项参数也量纲为1化，而形成表述现象特征的特 其基本微分方程为： 征数，如例中的Fo,Bi等特征数， a8_a8 0Fo0X (8) 在这个量纲为1的单元坐标系中不同现象的 规律性之区别仅在于变量之间的关系不同，对于 初始条件： 前述例子是为其微分方程及其解的函数.从更广 ⊙=1(Fo=0,-1≤X≤1) (9) 泛的意义来说，现象的规律性可能无法写成微分 中心边界条件： a⊙ 方程或微分方程没有解析解等情况，但是可以推 =0(Fo>0) 8X (10) 知：只要实际现象存在着惟一的关系（无论是确 板壁边界条件： 定性的，还是随机性的，还是模糊的)，就可以在 0⊙l X =Bi⊙ (11) 量纲为1的单元坐标系中找到它的量纲为1的关 其中Bi=Lh/k为毕渥数. 系一一在此称之为量纲为1的单元问题. 2.3量纲为1的解 3.2现象相似的数理本质 对量纲为1的偏微分方程的定解问题如式 量纲为1的单元问题经“逆映射”可以重新转 (⑧)(11)，采用常规的数学物理方法求解（如分离 化为现实空间的实际问题，一个量纲为1的单元 变量化)可得到量纲为1的形式的解： 问题可以转化成无数个现实的参数问题；反之， 2sind.cos(6Xexp(Fo) 许多现实问题量纲为1化后能够是一个相同的 1 o.+sino,coso (12) 其中，特征值δ满足特征方程 量纲为1的单元模型. cotd,-叠 具有相同量纲为1的单元模型的现象相似， (13) 或反之由同一个量纲为】的单元模型“逆映射” 2,4量纲不为1的解 而成的现象实际之间相似， 将式(12)利用量纲为1化（式(5）(7)逆变换而 在量纲为1的单元坐标系中的模型结构相同 转化为常见的量纲不为1的形式： 且特征数数值相同，逆映射至现实坐标系中的现 T-T2sind.cos(x/)exp(at/L T,-T。41 (14) 6.+sin6.cosd。 象相似；若同样的模型其解的形式相同，但其特 其中特征值6.满足特征方程 征数数值不同，则可认为是同类现象，如上例，凡 coto,=ko/Lh (5-1) 是具有式(1)类型的一维传热问题，在量纲为1的 为讨论方便，称式(5(13)为问题的量纲为1 单元坐标系中模型式（⑧）结构上是一样的，故其北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 边 界 条件 为 中心 线 上两 侧 温 度 场 对 称 刁 八 ， 八 、 万丁 砚多夕 再 卜二 板 外侧 处 于 第 三 类 边 界 条 件 一 嚼 二 。 一 ” ‘升兀，‘ ， 其 中 ， ， 分 别 是 空 间和 时 间 自变 量 爪工力 为 温度 场 为 板 厚 不 ， 分别 是板 子 初 始 温 度 和 环 境温 度 二 你 为板 材 的热 扩 散 系数 ， ， 心 分别 是板 材 的导热 系 数 、 密 度 和 热 容 为板 子 表 面 与 环 境 介 质 之 间 的给 热 系 数 量 纲 为 化 取 为 定 性 尺 寸 ， 定 义 量 纲 为 的位 置 丫 工尾 量 纲 为 的温 度 的模 型 ， 包 括 定解 微 分 方 程 、 量 纲 为 的量 和量 纲 为 的形 式 的解 ， 其 中含 有 特 征 数 如 ， ， 而 不含 量 纲 不 为 的参 数 如 ， ， ， 哪 等 称 式 和 为 问题 的参 数 模 型 ， 包 括 量 纲 不 为 的 定 解 微 分 方 程 和 量 纲 不 为 的形 式 的解 ， 其 中均 含 量 纲 不 为 的参 数 ， 量 纲 为 的 时 间 曰 一 辫 肠 一 等 于 是 上 述 偏 微 分 方 程 的 定 解 问题 式 一 转化 为 以下 量 纲 为 的偏 微 分 方 程 的定解 问题 其 基 本微 分 方 程 为 了、妞了、 曰 、、、了户夕户 了、了 刁曰 口 丽石二 ， 瓦砰 初 始 条 件 口 二 中心 边 界 条 件 凡 ， 一 ‘ 曰 生 曰 。 ， 八 百万 护 户 曰 飞 月 板 壁 边 界 条 件 口 衷犷 、 、 “ 川 妙 其 中 为 毕 涯 数 量纲 为 的解 对 量 纲 为 的偏 微 分 方 程 的 定 解 问题 如 式 卜 ， 采 用 常 规 的数 学 物 理 方 法 求 解 如 分 离 变 量 化 可 得 到 量 纲 为 的形 式 的解 、， 户 口二 艺 ‘、了 且，卫 ， 、了 月 言 笼 ， 氏 氏 其 中 ， 特 征值氏满 足 特 征 方 程 氏 口 ， 二 两丫 刀忍 最纲 不 为 的解 将 式 利用 量 纲 为 化 式 卜 逆 变 换 而 转 化 为 常 见 的量 纲 不 为 的形 式 一 不一 一 呈 “ 红占详 罗 ， 画 月十 氏 其 中特征 值氏满 足特 征 方 程 氏 二 肋洲乙 一 为讨 论 方 便 ， 称 式 卜 为 问题 的量 纲 为 讨 论 量 纲 为 的 单 元 坐标 量 纲 为 化 的结果 使 各 自变 量 和 因变量 都 转 化 为 取 值 范 围为 一 的 “ 纯 数 量 ” 值 ， 而对 于 其他 取 值 范 围的情 况 可 以通 过 平 移 、 放 大 或 缩 小转 化 为 一 范 围 变量 量 纲 为 化 的 结 果使 之 转变 为 没 有 量 单 位 的 “ 纯 数 学 量 ” — 只 有 取 值 大 小 且 量 纲 为 由此 可 知 ， 任 何 实 际现 象 经 量 纲 为 化 后 都 可 “ 映 射 ” 到 一 个 量 纲 为 的单 元 纯 数值 坐 标 系 中 ， 简称 “ 量 纲 为 的单 元 坐 标 系 ” 自变 量 和 因变 量 量 纲 为 化 以后 ， 模型 中各 项 参 数 也 量 纲 为 化 ， 而 形 成 表 述 现 象特 征 的特 征 数 ， 如 例 中 的 ， 等 特征 数 在 这 个 量 纲 为 的单 元 坐 标 系 中不 同现 象 的 规 律 性 之 区别 仅 在 于变 量 之 间 的关 系 不 同 对 于 前 述 例 子 是 为其 微 分 方 程 及 其 解 的 函数 从 更 广 泛 的意 义 来 说 ， 现象 的规 律性 可 能无 法 写 成微 分 方程 或 微 分 方程 没 有解 析解 等 情 况 ， 但 是 可 以推 知 只 要 实 际现 象存 在 着 惟 一 的关 系 无 论 是 确 定 性 的 ， 还 是 随 机 性 的 ， 还 是 模 糊 的 ， 就 可 以在 量 纲 为 的单 元 坐 标 系 中找 到它 的量 纲 为 的关 系— 在 此 称 之 为 量 纲 为 的单 元 问题 现 象 相 似 的数 理 本质 量 纲 为 的单 元 问题 经 “ 逆 映射 ” 可 以重 新转 化 为现 实 空 间 的实 际 问题 一个 量 纲 为 的单 元 问题 可 以转 化 成 无 数 个 现 实 的参 数 问题 反 之 ， 许 多现 实 问题 量 纲 为 化 后 能够 是 一 个 相 同 的 量 纲 为 的 单 元 模 型 具 有 相 同量 纲 为 的单 元 模 型 的现 象 相 似 ， 或 反 之 由同一 个 量 纲 为 的单 元 模 型 “ 逆 映射 ” 而 成 的现 象 实 际 之 间相 似 在 量 纲 为 的单 元 坐 标 系 中的模 型 结构 相 同 且特 征 数 数 值相 同 ， 逆 映射 至 现 实坐 标 系 中 的现 象 相 似 若 同样 的模 型 其解 的形 式 相 同 ， 但 其 特 征 数 数 值 不 同 ， 则 可 认 为 是 同类现 象 如上 例 ， 凡 是 具 有 式 类 型 的一 维传 热 问题 ， 在 量 纲 为 的 单 元 坐 标 系 中模 型 式 结 构 上 是 一 样 的 ， 故 其