第一讲 在还不能认为科学巳经完成了这件事 为什么泛有究的实數覆论的定立是不能研窕庵鴃堯 的?这样一来,连续统是什么样的?存在着什么样的实数? 何时以及为什么我们才可以相信已经实际上掌握了所有实数 的全部? 在初等代数里,我们掌握了全部有理数的集合,即所有 的整数和分数,既有正的,而且也有负的.但很快地我们就 开始注意到这些数对我们来说是不够用的这是什么意思?为 什么不能只局限于有理数呢?我们不能这样做是因为在有理 数中没有例如√2这个数,即找不到平方等于数2的有理数 而为什么必须有这样的数呢?因为就是边长为1的正方形的 对角线恰好有长度√2.因而如果我们否定了这个数的存 在,则我们对几何学中如此简单地产生的线段的长度,就不 能以任何数来表达了显然,在这样的基础上度量几何就不 可能得到发展这就是说,√2应当在实数中找到其位置但 在有理数中是没有它的位置的因此我们称该数为无理数但 是这个√2绝对不会只满足于我们只是承认它的存在:它马 上就会开始要求,首先在有理数中间给它找到完全确定的位 置,即准确地指出什么样的有理数小于它以及什么样的有理 数大于它(例如√2>1-正方形的对角线大于其边).其 次,它要求我们要学会对它进行运算,就像对有理数一样,还 要与有理数的运算相容(例如:正方形的边与对角线的和等 于1+√2,这要求我们对这个数也赋予意义,即把它归并 人实数集合之中)新数的所有这些要求都完全是根本性的并 且是合理的,而且如果我们目前还不回答这些问题,则这只 是因为我们马上还要引入另外的许多新数进入到我们的领 域,它们全部都亳无例外地将对我们提出这样的要求,所以 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cnPDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn