连续统 正整数x研究才有意义;函数y=1x只对x>0有意义,等 等.可以容易地想出这种例子,其中函数的自然定义域会是 结构十分复杂的数集 但是,如果我们自问:不仅在数学分析本身中,而且在 其应用中,我们实际上最常见的量x的值的集合是什么样 的?则我们应该说:在绝大多数情况下,函数的这类定义域 是“区间”(闭的或开的),即介于两个已知数之间的所有实 数的集合(包含或者除去这两个数)有时这个区间成为半直 线(例如:x>0),这就表明,量x的值的集合是大于(或 者小于)某个数的所有实数的集合(有时条件>或<要代之 以条件≥或者≤).最后,还有这样的情形,即区间变成为整 个直线,即量x的值可以是所有的实数.这时则说函数的定 义域是整个实轴或者“数直线” 无论如何,我们看到,对于数学分析中的函数而言,函 数在其上发展且展示其个别的特点的那个域、那个场地,函 数在其中才能成为自然科学的和技术的强大数学武器的载 体,都是所有实数的集合.这个集合在数学中被称为连续统 确切些说是线性连续统).完全像培育植物之前,必须仔细 地研究土壤一样,在高等数学中我们期望热心人依靠科学,而 不是只靠碰运气的庄户人,在以函数关系概念为基础建筑这 个科学的整个大厦之前,应当以仔细的方式研究这个概念赖 以生存和发展的载体.这就是为什么在所有的认真地科学地 编成的数学分析教程中,连续统都是第一个研究对象.且只 有当其本质以及性质被充分掌握之后,才可能转而进人对函 数关系概念的根本的研兖.而连续统的结构并不像我们初看 时设想的那么简单.展现在我们眼前的实数世界是一个复杂 的、富含各种各样细节的结构.对它作全面的研究,直到现 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cnPDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn