经济数学基础 第2章导数与微分 lim(1+-) lim(1 函数的连续性 0 例1讨论函数 0 在x=0处的连续性,并求函数的连续区间 解:因为 ime=l,ln(1+2x)=1,f(0)=a ,所以x lim f(x)=l 当a≠1时,0)m(,即极限值不等于函数值,所以x=0是函数的一个 间断点,且当a≠1时,函数的连续区间是(-0)(0.+∞) 当a=1时,f(0)=imnf(x) x0,即极限值等于函数值,所以x=0是函数的一个连 续点,且当a=1时,函数的连续区间是(一∞+) 三、函数的可导性 6 x>0 f(x) 例1设函数 x≤0 若函数f(x)在点x=0处连续且可导,应如何选取系数a,b? lm x=0, lim(ax+b)=b,f(0)=0 解:因为x0 所以当b=0时函数f(x)在点x=0处连续 又因为 o=l=hO+=(O)=A=0 →0△A A'(0)=lim Ay 所以当a=0,b=0时函数f(x)在点x=0处可导 75经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——75—— = + −      →   − − lim( ) x x x 1 1 2 2 1 2 lim( ) x→ x 1− 1 2 e 1 2 1 =  − e 1 = 二、函数的连续性 例 1 讨论函数      +  =  = 1 2 0 0 e 0 ( ) x x a x x f x x 在 x=0 处的连续性，并求函数的连续区间. 解：因为 x f a x x x = + = = → − → + lim e 1, lim (1 2 ) 1, (0) 0 0 ，所以 lim ( ) 1 0 = → f x x 当 a 1 时， (0) lim ( ) 0 f f x x→  ，即极限值不等于函数值，所以 x=0 是函数的一个 间断点，且当 a 1 时，函数的连续区间是 (−,0)  (0,+) . 当 a =1 时， (0) lim ( ) 0 f f x x→ = ，即极限值等于函数值，所以 x=0 是函数的一个连 续点，且当 a =1 时，函数的连续区间是 (−,+) . 三、函数的可导性 例 1 设函数 f x ax b x x x ( ) = +      0 0 2 若函数 f (x) 在点 x = 0 处连续且可导，应如何选取系数 a,b? 解：因为 lim 0, lim ( ) , (0) 0 0 2 0 = + = = → − → + x ax b b f x x 所以当 b = 0 时函数 f (x) 在点 x = 0 处连续. 又因为 0 ( ) lim (0 ) (0) (0) lim lim 2 0 0 0 =   =  +  − =    = − − → −  →  →  − x x x f x f x y f x x x +  = = = → + → + f y x a x x a x x (0) lim lim  0  0     所以当 a = 0，b = 0 时函数 f (x) 在点 x = 0 处可导