定理如果向量组A=a1,a2,…,a,线性无关,而向量组 B:a1,a2,…,a,a线性相关,则呵由A唯一线性表示 证设k1a1+k2a2+…+k,a1+ka=0 A线性无关,而向量组B线性相关, k≠0,(否则与A线性无关矛盾) 即有k1a1+k2a2+…+k,ar=-ka k →c=c1 a.∴a可由A线性表示 k 下证唯一性: 设α=AC1+2Q2+…+,ar;a=A1ar1+H2a2+…+Hr 两式相减有(41-A)a1+(42-12)a2+…+(x1-4)a1=0 A线性无关,∴A1-1=0,12-2=0,…1-=0 4=A,2=均…1=即表达式唯一定理 如果向量组 线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示. 1 2 , , , A =   r 1 2 : , , , , B    r 线性无关，而向量组 证 1 1 2 2 0 r r 设 k k k k     + + + + = ∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关， ∴ｋ≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾） 1 1 2 2 r r k k k k     + + + = − 1 2 1 2 r r k k k k k k  = + + +     − − − ∴α可由Ａ线性表示. 下证唯一性： 1 1 2 2 ;        = + + + r r        = + + + 1 1 2 2 r r 两式相减有 ( 1 1 1 2 2 2 ) ( ) ( ) 0          − + − + + − = r r r ∵Ａ线性无关， 1 1 2 2 0, 0, 0  − = − = − =       r r 1 1 2 2 , ,  = = =       r r 即表达式唯一. 即有 设