证(1) =yo( a(x2-y2) xyo'(x-y) =o(x2-y2) =(x2-y2)-2y2q(x2-y2) 所以 + x (2)t=o'(x-ar)+y'(x+an), o24,0(x-ar)+y"(x+ar ax -ao'(x-ar)+ay'(x+at), a(x-at+a'y(x+at) 所以 2u202u 7.设:=(xy具有二阶连续偏导数,写出0+2在坐标变换 下的表达式 解2=202+0=2x2+2y2 a-2az au a-- av Ou au ax vou ax auoy ax av ax a-z 4. t Ou ay Vou ay Uav ay av ay y证 （1） 2 2 u x( ) y x x ∂ ∂ϕ − = ∂ ∂ y 2 2 2 2 2 2 ( ) '( ) 2 '( ) x y y x y xy x y x ϕ ϕ ∂ − = − = − ∂ ， 2 2 2 2 ( ) ( ) u x x y y y y ϕ ϕ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ − y 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) '( ) x y x y y x y y ϕ ϕ ∂ − = − + − ∂ 2 2 2 2 2 = − ϕ ϕ ( ) x y y − 2 '( ) x − y ， 所以 u y x y u x x u y = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 （2） '( ) '( ) u x at x at x ϕ ψ ∂ = − + + ∂ ， 2 2 ''( ) ''( ) u x at x at x ϕ ψ ∂ = − + + ∂ ， '( ) '( ) u a x at a x at t ϕ ψ ∂ = − − + + ∂ ， 2 2 2 2 ''( ) ''( ) u a x at a x at t ϕ ψ ∂ = − + + ∂ ， 所以 2 2 2 2 2 u u a t x ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 7．设 z = f (x, y) 具有二阶连续偏导数，写出 2 2 2 2 y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 在坐标变换 ⎩ ⎨ ⎧ = = − v xy u x y 2 , 2 2 下的表达式。 解 z z u z v x u x v ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ ∂ 2 2 z z x y u v ∂ ∂ = + ∂ ∂ ， 2 2 2 ) v 2 2 2 2 ( z z z u z x x u u x v u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ ∂ 2 2 2 2 ( ) z u z v y u v x v x ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 4 8 4 z z z x xy y u u v u ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 z v ， z z u z y u y v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v y = 2 2 z z y x u v ∂ ∂ − + ∂ ∂ ， 2 2 2 ) 2 2 2 2 ( z z z u z y y u u y v u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v y ∂ ∂ 2 2 2 2 ( ) z u z v x u v y v y ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 4 8 4 z z z y xy x u u v u ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 z v 。 6