y(x)=x,x),)=(x,x)+y(x,x)。 由于y(1)=f(1)=1,以x=1代入上述等式,得到 q(1)=f1(1,1)+Jr(,1)((1,l)+f(.1)=17 4.设:“m少、其中/(具有连续导数,且100,1+1 解 af(x -y) 2xyf' ax f(x2-y2) f(x2-y2)f2(x2-y2)2yf(x2-y2)f( 直接计算可得 x ax y ay y(x2-y2)° 5.设z= arctan,x=n+,y=n-,验证 证=ca+c az az ax az ay av ax av ay av 又由于x2+y2=(u+)2+(u-y)2=2n2+2n2,所以 az az 6.设g和v具有二阶连续导数,验证 (1)u=yo(x2-y2)满足y (2)1=0(x-a)+v(x+a)满足波动方程=a20x。y x( ) = f (x, x)， ( ) ( , ) ( , ) dy x f f x x x dx x y x ∂ ∂ = + ∂ ∂ 。 由于 y f (1) = (1,1) =1，以 x =1代入上述等式，得到 '(1) (1,1) (1,1)( (1,1) (1,1)) 17 x y x y ϕ = + f f f f + = 。 4．设 ( ) 2 2 f x y y z − = ，其中 f (t)具有连续导数，且 f (t) ≠ 0，求 y z x y z x ∂ ∂ + ∂ 1 ∂ 1 。 解. z x ∂ = ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 '( ( ) ( y f x y xyf x y f x y x f x y ∂ − − − = − − ∂ − ) ) ， z y ∂ = ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( y f x y y f x y f x y f x y y f x y f x y ∂ − − − = + − − ∂ − − '( ) ) ， 直接计算可得 ( ) 1 1 1 2 2 y yf x y z x y z x − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 5．设 y x z = arctan ， x = u + v ， y = u − v，验证 2 2 u v u v v z u z + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 z z x z u x u y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y u 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x y x y y x x x y y ⎛ ⎞ y − = + ⎜ ⎟ − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， z z x z v x v y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y v 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x y x y y x x x y y y + = + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， 又由于 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 x + = y u + v + u − v = u + v ，所以 z z u v ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2y x y = + 2 u v u v 2 − = + 。 6．设ϕ 和ψ 具有二阶连续导数，验证 （1）u = yϕ(x 2 − y 2 )满足 u y x y u x x u y = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； （2）u = ϕ(x − at) +ψ (x + at)满足波动方程 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 5