由于2+y2=x+2x2y2+y2=(x2+y2)2,所以 =4(x2+y2)(2+)=4Vn2+v 8.设/(x1)=c山,求020y5。 Croy x ay 解 可=ex2 = xe -x2y2 0f=-2ye),03f-0-2x2y2ex.a3f=1x。 ax ayax 所以 x32-22+y32f 9.如果函数f(x,y)满足:对于任意的实数t及x,y,成立 f(x, ty)=t"f(x, y) 那么∫称为n次齐次函数。 (1)证明n次齐次函数f满足方程 +, nf (2)利用上述性质,对于:=√2+y2求出x2+y 证在等式f(x,p)=1f(x,y)两边对t求导, af(tx, ty) f(x, ty)+f(tx, ty)=nt"-f(x, y) 将=1代入即得到 o+, (2)由于(0x,y)=t(x,y),所以n=1,由(1) 02 02 10.设=fxx|+gx,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶由于u v 2 + =2 x 4 + 2x 2 y 2 4 + y = (x 2 + y 2 ) 2，所以 2 2 2 2 y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 4( )( ) z z x y u v ∂ ∂ = + + ∂ ∂ 4 ( ) 2 2 2 2 2 2 v z u z u v ∂ ∂ + ∂ ∂ = + 。 8．设 = ∫ − ，求 xy t f x y e dt 0 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 y f x y x y f x f y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ 。 解 2 2 x y f ye x ∂ − = ∂ ， 2 2 x y f xe y ∂ − = ∂ ， 2 2 2 3 2 2 x y f xy e x ∂ − = − ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y f e x y e y x ∂ − − = − ∂ ∂ ， 2 2 2 3 2 2 x y f x ye y ∂ − = − ∂ 。 所以 2 2 2 2 2 2 y f x y x y f x f y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ 2 2 2 x y e− = − 。 9．如果函数 f (x, y)满足：对于任意的实数t及 x, y，成立 f (tx,ty) t f (x, y) n = ， 那么 f 称为n次齐次函数。 （1）证明n次齐次函数 f 满足方程 nf y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； （2）利用上述性质，对于 2 2 z = x + y 求出 y z y x z x ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 在等式 f (tx,ty) = t n f (x, y) 两边对 t 求导， f ( , tx ty) t ∂ ∂ 1 2 = + xf ( , tx ty) yf (tx t, y) 1 ( , ) n nt f x y − = ， 将 t=1 代入即得到 nf y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 (2) 由于 z t( , x ty) = tz(x, y)，所以 n=1，由（1） 2 2 x y y z y x z x = + ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 10．设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x g y x z f xy, ，其中 f 具有二阶连续偏导数， g 具有二阶 7