§2.5随机变量的函数的分布 。例4：正态分布的随机变量的线性变换问题 ●已知随机变量X~N(w,σ)，试证明X的线性函数Y=aX+b(0)也服从正态 分布。 。证：X的概率密度为 1-2 fx)= 0,-00<x<00 √2πo ·现在y=gc)=x+b,由这一式子解得x=hy)=(y-b)/a,且有h'y)=1/a 。显然gx)是严格单调的，由定理有 。f0)=fxhI川h'la<y<B1 0 其它a 。)，-00<y00 11 e 20 1-(b+a e 2(ao) 一00<yK00 Ia|√2πo |a|o√2π 所以有 Y=aX+b~N(au+b,(ao)2) 。特别的当a=1/o,b=一ulc时，Y=(X一)/o=~N0,1) 。即上一节的引理的结果 11/35§2.5 随机变量的函数的分布  例4：正态分布的随机变量的线性变换问题  已知随机变量X～N(μ，σ 2 )，试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态 分布。  证：X的概率密度为  f(x)＝ ，－∞<x<∞  现在y＝g(x)=ax+b，由这一式子解得x＝h(y)=(y-b)/a，且有h(y)＝1/a  显然g(x)是严格单调的，由定理有  fY (y)＝ ，－∞<y<∞  ＝ ＝ ，－∞<y<∞  所以有  Y= aX+b～N(aμ＋b，(aσ) 2 )  特别的当a＝1/σ，b＝－μ/σ时，Y=(X－μ)/σ=～N(0，1)  即上一节的引理的结果 2 2 2 ( ) 2 1      x e ( ) | | 1 0, [ ( )]| ( )|, a y b f a f h y h y y X X         其它   2 2 2 ( ) 2 1 | | 1       a y b e a 2 2 2( ) [ ( ] | | 2 1     a y b a e a    11/35