第1期 郑晓，等：基于OR分解与特征值优化观测矩阵的算法研究 ·151. 解优化主要原理为：首先对观测矩阵Φ∈R进行 后通过优化后的Gram矩阵反向求出此时的观测矩 QR分解，得到正交矩阵Q∈RKN和上三角矩阵A∈ 阵，并且对此时的观测矩阵进行QR分解优化，增大 R。然后对A分析，看出其主对角线元素远远大 观测矩阵的列独立性。继续用求得的观测矩阵求 于非对角线元素，利用该发现，把A的非对角线元 解Gram矩阵，在不断地进行观测矩阵和Gram矩阵 素全置零得A1,再根据A,得优化后的观测矩阵 的相互求解过程中，当达到设置的终止条件时，输 ④，∈R。通过QR分解优化，重的最小奇异值小 出此时的观测矩阵。通过上述优化后，观测矩阵不 于的最小奇异值[2。 但列独立性得到了增强，而且它与稀疏基的非相干 2.2基于特征值的优化 性也相应增大了。另外，由于每次迭代中QR分解 文献[1-10]提出观测矩阵与稀疏基之间的互相 优化时A只保留相对较大的主对角线元素，观测矩 干性越小，重构所需的观测值越少，重构精度也越 阵保存了主要信息，又因为G不断趋向于最优化矩 大。观测矩阵与稀疏基之间的互相干性（Φ，业） 阵，加上观测矩阵与Gam矩阵的不断相互求解，因 如式(4)所示： 此，每次得到的观测矩阵很相近，相应地，仿真结果 u(Φ，Ψ)=N×max|(p,4〉|H(4) 稳定性也较好。 基于特征的优化算法是针对Gram矩阵的特征 23算法流程及具体实现 值进行的，算法的本质在于通过减小Gram矩阵的 通过算法分析，设计出QT算法流程如图1。 非对角线元素减小互相干性。 首先，构造D∈R,令D=亚，其中观测矩阵 开始 中∈RMx,并且秩为M,稀疏基平∈RN。对D进行 归一化得到D,然后构造Gram矩阵G∈RxN,令 输入初试数据 G=DD。G的非对角线元素的大小和观测矩阵与 稀疏基之间的非相干性的大小有着密切关系：非对 构建D=p,对D进行单位化处理得D 角线元素越小，互相干性越小。文中通过使G的非 对角线元素的平方和最小化实现互相干性最小化。 构建G=D,D,对G进行SVD分解，得G=USW 对上面的G进行分析，假设G有M个大于0 的特征值l:(k<M),根据矩阵的迹理论以及特征值 将S的对角线上的非零元素设为NN,得到 的相关理论，加上G是归一化矩阵，求解观测矩阵 S,令S-LL.令D,=Lr,然后得到中-Dw 和稀疏基之间最小相关性问题可以等价为求解式 (5)的最优解。 对中进行近似QR分解得中 (5) D,=中g,对D,进行归一化得到D,令D,DD N 满足循环截止条件 式中：g表示G中的元素，d、d均为G的列向量。 通过式(5)可以看出，当l都为N/M时可得到理论 Y 的最优解。此时，式(5)等价为式(6) 输出华2 min牙(g,)2=M× (ga)2(6) 结束 文中优化算法的主体思路是选择高斯随机矩 阵为原始观测矩阵，利用它构造Gram矩阵，之后对 图1QT算法流程图 Gram矩阵优化，让它的特征值逐渐逼近N/M。然 Fig.1 The flow of QT algorithm解优化主要原理为院首先对观测矩阵 椎沂砸酝伊晕进行 匝砸 分解袁得到正交矩阵 匝沂砸酝伊晕和上三角矩阵 粤沂 砸晕伊晕遥 然后对 粤 分析袁看出其主对角线元素远远大 于非对角线元素袁利用该发现袁把 粤 的非对角线元 素全置零得 粤员 袁再根据 粤员 得优化后的观测矩阵 椎员沂砸酝伊晕遥 通过 匝砸 分解优化袁椎 的最小奇异值小 于 椎员 的最小奇异值咱员圆暂 遥 圆援圆摇 基于特征值的优化 文献咱员鄄员园暂提出观测矩阵与稀疏基之间的互相 干性越小袁重构所需的观测值越少袁重构精度也越 大遥 观测矩阵与稀疏基之间的互相干性 滋渊 椎袁追冤 如式渊源冤所示院 滋渊椎袁追冤 越 晕 伊 皂葬曾 掖渍噪袁鬃躁 业 员臆噪臆酝 员臆躁臆晕 渊源冤 摇 摇 基于特征的优化算法是针对 郧则葬皂 矩阵的特征 值进行的袁算法的本质在于通过减小 郧则葬皂 矩阵的 非对角线元素减小互相干性遥 首先袁构造 阅沂砸晕伊晕袁令 阅 越 椎追袁其中观测矩阵 椎沂砸酝伊晕袁并且秩为 酝袁稀疏基 追沂砸晕伊晕遥 对 阅 进行 归一化得到 阅员 袁然后构造 郧则葬皂 矩阵 郧沂砸晕伊晕袁令 郧 越阅栽 员阅遥 郧 的非对角线元素的大小和观测矩阵与 稀疏基之间的非相干性的大小有着密切关系院非对 角线元素越小袁互相干性越小遥 文中通过使 郧 的非 对角线元素的平方和最小化实现互相干性最小化遥 对上面的 郧 进行分析袁假设 郧 有 酝 个大于 园 的特征值 造噪渊噪约酝冤 袁根据矩阵的迹理论以及特征值 的相关理论袁加上 郧 是归一化矩阵袁求解观测矩阵 和稀疏基之间最小相关性问题可以等价为求解式 渊缘冤的最优解遥 皂蚤灶移蚤屹躁 早蚤躁 ( ) 圆 越 移 酝 噪 越 员 姿噪 ( ) 圆 原 移 晕 蚤 越 员 早蚤蚤 ( ) 圆 移 酝 噪 越 员 姿噪 越 晕 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 渊缘冤 式中院早蚤躁表示 郧 中的元素袁凿蚤尧凿躁 均为 郧 的列向量遥 通过式渊缘冤可以看出袁当 造噪 都为 晕辕酝 时可得到理论 的最优解遥 此时袁式渊缘冤等价为式渊远冤 皂蚤灶移蚤屹躁 早蚤躁 ( ) 圆 越 酝 伊 晕 酝 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 圆 原 移 晕 蚤 越 员 渊早蚤蚤冤圆 渊远冤 摇 摇 文中优化算法的主体思路是选择高斯随机矩 阵为原始观测矩阵袁利用它构造 郧则葬皂 矩阵袁之后对 郧则葬皂 矩阵优化袁让它的特征值逐渐逼近 晕辕酝遥 然 后通过优化后的 郧则葬皂 矩阵反向求出此时的观测矩 阵袁并且对此时的观测矩阵进行 匝砸 分解优化袁增大 观测矩阵的列独立性遥 继续用求得的观测矩阵求 解 郧则葬皂 矩阵袁在不断地进行观测矩阵和 郧则葬皂 矩阵 的相互求解过程中袁当达到设置的终止条件时袁输 出此时的观测矩阵遥 通过上述优化后袁观测矩阵不 但列独立性得到了增强袁而且它与稀疏基的非相干 性也相应增大了遥 另外袁由于每次迭代中 匝砸 分解 优化时 粤 只保留相对较大的主对角线元素袁观测矩 阵保存了主要信息袁又因为 郧 不断趋向于最优化矩 阵袁加上观测矩阵与 郧则葬皂 矩阵的不断相互求解袁因 此袁每次得到的观测矩阵很相近袁相应地袁仿真结果 稳定性也较好遥 圆援猿摇 算法流程及具体实现 通过算法分析袁设计出 匝栽 算法流程如图 员遥 图 员摇 匝栽 算法流程图 云蚤早援员摇 栽澡藻 枣造燥憎 燥枣 匝栽 葬造早燥则蚤贼澡皂 第 员 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 郑晓袁等院基于 匝砸 分解与特征值优化观测矩阵的算法研究 窑员缘员窑