·274· 智能系统学报 第8卷 0,f=0f,=0时，存在未知度，表明元素x和y之间 存在不确定性，不能认为x和y完全相似：但是黄国 2+3,-:+3f-f≤1，当4，=1,4，=0f=0f=1 0 顺等和江伟等提出的相似度量方法都认为x和y完 时，M(x,y)=0,因此，0≤M(x,y)≤1，当且仅当x= 全相似，这显然不符合实际 [1,1],y=[0,0]时，M(x,y)=0. 2.2基于包含度的Vague值相似度量新方法 ②若t≥t,1-f≤1-f,则M(x,y)= 上述文献从不同角度研究相似度量方法时，虽 然提出的相似度量方法都满足相似度量基本准则， 2+3,-1:+3-上，因为1≤2+3，-，+3-f≤4，所以 4 但是在考虑影响相似度量的因素时，都存在不足之 处.本文从包含度角度出发，考虑了未知度因素对相 12+3,-,+3f-f≤1，即2≤M(x,)≤1 4 4 似度量的影响，根据黄国顺等提出的将元素间的包 ③若t,≤t,1-f≥1-f,则M(x,y)= 含关系和补集间的包含关系相互结合的思想，进一 步研究了基于包含度的相似度量方法.由于在Vague 2+3,-,+f,因为1≤2+3，-1，+3f.-f≤4，所以 集中t,+圹+π，=1，未知度因素对相似度量结果有着 重要影响，同时，为了减少在包含关系中丢失的信 1≤2+3，-，+3f-≤1，即≤M(x,)≤1 4 息，除了考虑元素间t:和1-f的包含关系外，还要 ④若t≤t,1-f≤1-f,则M(x,y)= 考虑到t,和1-f的补集的包含关系，并给包含关系 设置系数.在此基础上，本文提出了一个新的基于包 2+3,,+3f,因为0≤2+3，-4，+3，-.≤4，所以 含度的Vague值相似度量方法： 0 M(x,y)=(3min(t,t,)min(1 -f,1 -f)+ 2+3,-,+3f-≤1，当1，=0,4，=1，.=15，=0 4 3min(ff,)+min(1-t.,1-,)/4. 时，M(x,y)=0,因此，0≤M(x,y)≤1，当且仅当x= 定义8设x=[t,l-f],y=[t,1-f,]是Vague [0,0],y=[1,1]时，M(x,y)=0. 集A上的2个Vague值，t,t,分别是x和y的支持 综上所述，M(x,y)满足基本准则1)和基本准 度f、f,分别是x和y的反对度，则Vague值x和y 则4). 的相似度量M(x,y)定义为 2)显然M(x,y)满足基本准则2)和基本准则3)， Mx,y）=(3min(t.,)+min(1-f,1-f)+ 3)若xCyC:,则t≤t,≤tff,≥f, 3min(ff,)+min(1-t.,1-t,)/4. M(x,y)=(3min(t.,t,）+min(1-f,1-f,)+ 定理1设A是论域U上的一个Vague集，xy 3min(ff,)+min(1-t,1-t,))/4, 和z是Vague集A中的3个Vague值，M(x,y)是 M(x,z)=(3min(t.,4:)+min(1-f,1-f)+ Vague值x和y的相似度量，M(x,z)是Vague值x 3min(ff)+min(1-t,1-t))/4, 和z的相似度量，M(y,z)是Vague值y和z的相似 2+3-4,+3f,-f M(x,y）= 度量，Vague值的相似度量应该满足下列基本准则： 4 1)0≤M(x,y)≤1； M0.)=2+3,-4+3-5 2)M(x,y)=M(y,x); 4 3)M(x,y)=M(x,y); 由于 4)M(x,y)=0,当且仅当x=[0,0],y=[1,1]或 x=[1,1],y=[0,0]: (x,)-M(x,）=飞-4+3G-) 4 ≥0 5)若xCy≤z,则M(x,y)≥M(x,z),且 所以 M(y,z)≥M(x,z). M(x,y)≥M(x,2). 证明 同理可证M(y,z)≥M(x,z).因此M(x,y)满足 1)由Vague集的定义0≤t,≤1,0≤f≤1,0≤ 基本准则5). t,≤1,0≤f,≤1，得到0≤1-t.≤1,0≤1-f≤1， 2.3基于包含度的Vague集加权相似度量新方法 0≤1-t,≤1,0≤1-f,≤1，存在以下4种情况： 定义9设A和B是论域U={x1,x2,…,xn}上 ①若4≥41-f≥1-，则M(x,y)=的2个Vague集，其中A=[,(x),1-f(x,)]/%, 2+3,,+3.-,因为0≤2+3，-1+3.-，≤4，所以 4 B=[a(),1-fa()]/,o,(i=1,2,…,n)表示０，ｆ ｘ ＝ ０，ｆ ｙ ＝ ０ 时，存在未知度，表明元素 ｘ 和 ｙ 之间 存在不确定性，不能认为 ｘ 和 ｙ 完全相似；但是黄国 顺等和江伟等提出的相似度量方法都认为 ｘ 和 ｙ 完 全相似，这显然不符合实际． ２．２ 基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 值相似度量新方法 上述文献从不同角度研究相似度量方法时，虽 然提出的相似度量方法都满足相似度量基本准则， 但是在考虑影响相似度量的因素时，都存在不足之 处．本文从包含度角度出发，考虑了未知度因素对相 似度量的影响，根据黄国顺等提出的将元素间的包 含关系和补集间的包含关系相互结合的思想，进一 步研究了基于包含度的相似度量方法．由于在 Ｖａｇｕｅ 集中 ｔ ｉ ＋ｆ ｉ ＋πｉ ＝ １，未知度因素对相似度量结果有着 重要影响，同时，为了减少在包含关系中丢失的信 息，除了考虑元素间 ｔ ｉ 和 １－ｆ ｉ 的包含关系外，还要 考虑到 ｔ ｘ 和 １－ｆ ｘ 的补集的包含关系，并给包含关系 设置系数．在此基础上，本文提出了一个新的基于包 含度的 Ｖａｇｕｅ 值相似度量方法： Ｍ（ｘ，ｙ） ＝ （３ｍｉｎ（ｔ ｘ，ｔ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｆ ｘ，１ － ｆ ｙ） ＋ ３ｍｉｎ（ｆ ｘ，ｆ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｔ ｘ，１ － ｔ ｙ）） ／ ４． 定义 ８ 设 ｘ ＝ ［ｔ ｘ，１－ｆ ｘ］，ｙ ＝ ［ｔ ｙ，１－ｆ ｙ］是 Ｖａｇｕｅ 集 Ａ 上的 ２ 个 Ｖａｇｕｅ 值，ｔ ｘ、ｔ ｙ 分别是 ｘ 和 ｙ 的支持 度，ｆ ｘ、 ｆ ｙ分别是 ｘ 和 ｙ 的反对度，则 Ｖａｇｕｅ 值 ｘ 和 ｙ 的相似度量 Ｍ（ｘ，ｙ）定义为 Ｍ（ｘ，ｙ） ＝ （３ｍｉｎ（ｔ ｘ，ｔ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｆ ｘ，１ － ｆ ｙ） ＋ ３ｍｉｎ（ｆ ｘ，ｆ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｔ ｘ，１ － ｔ ｙ）） ／ ４． 定理 １ 设 Ａ 是论域 Ｕ 上的一个 Ｖａｇｕｅ 集，ｘ、ｙ 和 ｚ 是 Ｖａｇｕｅ 集 Ａ 中的 ３ 个 Ｖａｇｕｅ 值，Ｍ（ ｘ，ｙ） 是 Ｖａｇｕｅ 值 ｘ 和 ｙ 的相似度量，Ｍ（ ｘ，ｚ） 是 Ｖａｇｕｅ 值 ｘ 和 ｚ 的相似度量，Ｍ（ｙ，ｚ）是 Ｖａｇｕｅ 值 ｙ 和 ｚ 的相似 度量，Ｖａｇｕｅ 值的相似度量应该满足下列基本准则： １）０≤Ｍ（ｘ，ｙ）≤１； ２）Ｍ（ｘ，ｙ）＝ Ｍ（ｙ，ｘ）； ３）Ｍ（ｘ，ｙ）＝ Ｍ（ｘ􀭰，ｙ􀭰）； ４）Ｍ（ｘ，ｙ）＝ ０，当且仅当 ｘ ＝ ［０，０］，ｙ ＝ ［１，１］或 ｘ ＝ ［１，１］，ｙ ＝ ［０，０］； ５） 若 ｘ ⊆ ｙ ⊆ ｚ， 则 Ｍ （ ｘ， ｙ ） ≥ Ｍ （ ｘ， ｚ ）， 且 Ｍ（ｙ，ｚ）≥Ｍ（ｘ，ｚ）． 证明 １）由 Ｖａｇｕｅ 集的定义 ０≤ｔ ｘ≤１，０≤ｆ ｘ≤１，０≤ ｔ ｙ≤１，０≤ｆ ｙ ≤１，得到 ０≤１ － ｔ ｘ ≤１，０≤１ － ｆ ｘ ≤１， ０≤１－ｔ ｙ≤１，０≤１－ｆ ｙ≤１，存在以下 ４ 种情况： ① 若 ｔ ｘ ≥ ｔ ｙ， １ － ｆ ｘ ≥ １ － ｆ ｙ， 则 Ｍ （ ｘ， ｙ ） ＝ ２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ ４ ，因为 ０≤２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ≤４，所以 ０≤ ２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ ４ ≤１，当 ｔ ｘ ＝ １，ｔ ｙ ＝ ０，ｆ ｘ ＝ ０，ｆ ｙ ＝ １ 时，Ｍ（ｘ，ｙ）＝ ０，因此，０≤Ｍ（ｘ，ｙ）≤１，当且仅当 ｘ ＝ ［１，１］，ｙ ＝ ［０，０］时，Ｍ（ｘ，ｙ）＝ ０． ② 若 ｔ ｘ ≥ ｔ ｙ， １ － ｆ ｘ ≤ １ － ｆ ｙ， 则 Ｍ （ ｘ， ｙ ） ＝ ２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ ４ ，因为 １≤２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ≤４，所以 １ ４ ≤ ２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ ４ ≤１，即 １ ４ ≤Ｍ（ｘ，ｙ）≤１． ③ 若 ｔ ｘ ≤ ｔ ｙ， １ － ｆ ｘ ≥ １ － ｆ ｙ， 则 Ｍ （ ｘ， ｙ ） ＝ ２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ ４ ，因为 １≤２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ≤４，所以 １ ４ ≤ ２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ ４ ≤１，即 １ ４ ≤Ｍ（ｘ，ｙ）≤１． ④ 若 ｔ ｘ ≤ ｔ ｙ， １ － ｆ ｘ ≤ １ － ｆ ｙ， 则 Ｍ （ ｘ， ｙ ） ＝ ２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ ４ ，因为 ０≤２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ≤４，所以 ０≤ ２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ ４ ≤１，当 ｔ ｘ ＝ ０，ｔ ｙ ＝ １，ｆ ｘ ＝ １，ｆ ｙ ＝ ０ 时，Ｍ（ｘ，ｙ）＝ ０，因此，０≤Ｍ（ｘ，ｙ）≤１，当且仅当 ｘ ＝ ［０，０］，ｙ ＝ ［１，１］时，Ｍ（ｘ，ｙ）＝ ０． 综上所述，Ｍ（ ｘ，ｙ）满足基本准则 １）和基本准 则 ４）． ２）显然 Ｍ（ｘ，ｙ）满足基本准则 ２）和基本准则 ３）． ３）若 ｘ⊆ｙ⊆ｚ，则 ｔ ｘ≤ｔ ｙ≤ｔ ｚ，ｆ ｘ≥ｆ ｙ≥ｆ ｚ， Ｍ（ｘ，ｙ） ＝ （３ｍｉｎ（ｔ ｘ，ｔ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｆ ｘ，１ － ｆ ｙ） ＋ ３ｍｉｎ（ｆ ｘ，ｆ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｔ ｘ，１ － ｔ ｙ）） ／ ４， Ｍ（ｘ，ｚ） ＝ （３ｍｉｎ（ｔ ｘ，ｔ ｚ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｆ ｘ，１ － ｆ ｚ） ＋ ３ｍｉｎ（ｆ ｘ，ｆ ｚ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｔ ｘ，１ － ｔ ｚ）） ／ ４， Ｍ（ｘ，ｙ） ＝ ２ ＋ ３ｔ ｘ － ｔ ｙ ＋ ３ｆ ｙ － ｆ ｘ ４ ， Ｍ（ｘ，ｚ） ＝ ２ ＋ ３ｔ ｘ － ｔ ｚ ＋ ３ｆ ｚ － ｆ ｘ ４ ． 由于 Ｍ（ｘ，ｙ） － Ｍ（ｘ，ｚ） ＝ ｔ ｚ － ｔ ｙ ＋ ３（ｆ ｙ － ｆ ｚ） ４ ≥ ０， 所以 Ｍ（ｘ，ｙ） ≥ Ｍ（ｘ，ｚ）． 同理可证 Ｍ（ｙ，ｚ）≥Ｍ（ｘ，ｚ）．因此 Ｍ（ｘ，ｙ）满足 基本准则 ５）． ２．３ 基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 集加权相似度量新方法 定义 ９ 设 Ａ 和 Ｂ 是论域 Ｕ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ｝上 的 ２ 个 Ｖａｇｕｅ 集，其中 Ａ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ［ｔＡ（ｘｉ），１－ｆＡ（ｘｉ）］ ／ ｘｉ， Ｂ ＝∑ ｎ ｉ ＝ １ ［ｔＢ（ｘｉ），１－ｆＢ（ｘｉ）］ ／ ｘｉ，ωｉ（ｉ ＝ １，２，…，ｎ）表示 ·２７４· 智 能 系 统 学 报 第 ８ 卷