第8卷第3期 智能系统学报 Vol.8 No.3 2013年6月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jum.2013 D0I:10.3969/i.issn.1673-4785.201210006 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20130515.0932.007.html 基于包含度的Vague集相似度量方法 贾伟 (宁夏大学新华学院信息与计算机科学系，宁夏银川750021) 摘要：针对现有相似度量方法在相似性度量中出现的度量结果不合理的问题，利用Vagu集及其补集的包含度关 系，将元素间的包含关系和补集间的包含关系相互结合，提出了一个基于包含度的Vague集相似度量新方法.新方法 考虑了未知度对相似度量的影响，设置了合理的系数，通过与现有相似度量方法的比较，说明新方法克服了现有相 似度量方法的不足，能够合理有效地区分数据，度量结果符合人们的直观感受，具有一定的优越性，为研究基于包含 度的相似度量方法提供了新的思路 关键词：Vague集：相似度量：包含度；未知度 中图分类号：TP301文献标志码：A文章编号：1673-4785(2013)03-0271-06 中文引用格式：贾伟.基于包含度的Vague集相似度量方法[J].智能系统学报，2013,8(3】：271-276. 英文引用格式：JIA Wei.A method of similarity measures between vague sets based on inclusion grade[J】.CAAI Transactions on Intelligent Systems,2013,8(3):271-276. A method of similarity measures between vague sets based on inclusion grade JIA Wei Department of Information and Computer Science,Xinhua College of Ningxia University,Yinchuan 750021,China) Abstract:Through aiming at unreasonable measure results of existing similarity measure methods,the inclusion re- lationship between elements and inclusion relationship between complements were combined with each other by u- sing the inclusion grade relationship between the vague set and its complement set.A new method of similarity measures between vague sets based on inclusion grade is proposed.The new method takes into account the influence of unknown degrees on similarity measure,and sets up reasonable coefficient.By comparison with the existing simi- larity measures,the new method overcomes the defects of the existing similarity measure methods and can distin- guish data reasonably and effectively.The measure result of the new method is consistent with intuitive sense of peo- ple.A new way of thinking was provided by researching the method of similarity measures between vague sets based on inclusion grade. Keywords:vague set;similarity measure;inclusion grade;unknown degree 1965年，美国控制论专家Zadeh提出了模糊集质上与直觉模糊集一致[3).目前，Vague集已经成功 理论[)，为人们表达不确定概念提供了有力的工具.应用于人工智能的各分支领域，Vague集相似度量 1993年，Gau和Buehrer)提出了Vague集的概念，是Vague集在这些领域中应用的理论基础，起着重 作为模糊集的一种推广形式，Vague集在处理不确 要的作用，近年来一直是研究的热点问题，很多学者 定信息时比模糊集具有更强的表示能力，并且在本 从不同的角度研究了相似度量包含度理论是一种 描述不确定性关系的有效度量方法[)，在模糊集中 收稿日期：2012-10-08.网络出版日期：2013-05-15. 有着重要的应用，而且模糊集的贴近度可以由其包 基金项目：宁夏大学科学研究基金资助项目(ZR1147):宁夏大学新 含度公式诱导出).黄国顺等[6将模糊集上的包含 华学院科学研究基金资助项目(11XH10). 通信作者：贾伟.E-mail:jia.401@163.com. 度概念扩展到Vague集上，指出Vague集的相似度
第 ８ 卷第 ３ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．８ №．３ ２０１３ 年 ６ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｊｕｎ． ２０１３ ＤＯＩ：１０．３９６９ ／ ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３⁃４７８５．２０１２１０００６ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ＴＰ．２０１３０５１５．０９３２．００７．ｈｔｍｌ 基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 集相似度量方法 贾伟 （宁夏大学新华学院 信息与计算机科学系，宁夏 银川 ７５００２１） 摘 要：针对现有相似度量方法在相似性度量中出现的度量结果不合理的问题，利用 Ｖａｇｕｅ 集及其补集的包含度关 系，将元素间的包含关系和补集间的包含关系相互结合，提出了一个基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 集相似度量新方法．新方法 考虑了未知度对相似度量的影响，设置了合理的系数，通过与现有相似度量方法的比较，说明新方法克服了现有相 似度量方法的不足，能够合理有效地区分数据，度量结果符合人们的直观感受，具有一定的优越性，为研究基于包含 度的相似度量方法提供了新的思路． 关键词：Ｖａｇｕｅ 集；相似度量；包含度；未知度 中图分类号：ＴＰ３０１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１３）０３⁃０２７１⁃０６ 中文引用格式：贾伟． 基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 集相似度量方法［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１３， ８（３）： ２７１⁃２７６． 英文引用格式：ＪＩＡ Ｗｅｉ． Ａ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｇｒａｄｅ［ Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１３， ８（３）： ２７１⁃２７６． Ａ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｇｒａｄｅ ＪＩＡ Ｗｅｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｘｉｎｈｕａ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｎｉｎｇｘｉａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｙｉｎｃｈｕａｎ ７５００２１， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｒｏｕｇｈ ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｕｎｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ｍｅａｓｕｒｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅ ｍｅｔｈｏｄｓ， ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｒｅ⁃ ｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ａｎｄ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔｓ ｗｅｒｅ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ ｂｙ ｕ⁃ ｓｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｇｒａｄｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｖａｇｕｅ ｓｅｔ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ ｓｅｔ． Ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｇｒａｄｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｔａｋｅｓ ｉｎｔｏ ａｃｃｏｕｎｔ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｕｎｋｎｏｗｎ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｎ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅ， ａｎｄ ｓｅｔｓ ｕｐ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ． Ｂｙ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｓｉｍｉ⁃ ｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ， ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｏｖｅｒｃｏｍｅｓ ｔｈｅ ｄｅｆｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｃａｎ ｄｉｓｔｉｎ⁃ ｇｕｉｓｈ ｄａｔａ ｒｅａｓｏｎａｂｌｙ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｗｉｔｈ ｉｎｔｕｉｔｉｖｅ ｓｅｎｓｅ ｏｆ ｐｅｏ⁃ ｐｌｅ． Ａ ｎｅｗ ｗａｙ ｏｆ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ｗａｓ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｂｙ ｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｇｒａｄｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｖａｇｕｅ ｓｅｔ； ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅ； ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｇｒａｄｅ； ｕｎｋｎｏｗｎ ｄｅｇｒｅｅ 收稿日期：２０１２⁃１０⁃０８． 网络出版日期：２０１３⁃０５⁃１５． 基金项目：宁夏大学科学研究基金资助项目（ ＺＲ１１４７）；宁夏大学新 华学院科学研究基金资助项目（１１ＸＨ１０）． 通信作者：贾伟． Ｅ⁃ｍａｉｌ： ｊｉａ．４０１＠ １６３．ｃｏｍ． １９６５ 年，美国控制论专家 Ｚａｄｅｈ 提出了模糊集 理论［１］ ，为人们表达不确定概念提供了有力的工具． １９９３ 年，Ｇａｕ 和 Ｂｕｅｈｒｅｒ ［２］ 提出了 Ｖａｇｕｅ 集的概念， 作为模糊集的一种推广形式，Ｖａｇｕｅ 集在处理不确 定信息时比模糊集具有更强的表示能力，并且在本 质上与直觉模糊集一致［３］ ．目前，Ｖａｇｕｅ 集已经成功 应用于人工智能的各分支领域，Ｖａｇｕｅ 集相似度量 是 Ｖａｇｕｅ 集在这些领域中应用的理论基础，起着重 要的作用，近年来一直是研究的热点问题，很多学者 从不同的角度研究了相似度量．包含度理论是一种 描述不确定性关系的有效度量方法［４］ ，在模糊集中 有着重要的应用，而且模糊集的贴近度可以由其包 含度公式诱导出［５］ ．黄国顺等［６］ 将模糊集上的包含 度概念扩展到 Ｖａｇｕｅ 集上，指出 Ｖａｇｕｅ 集的相似度
·272· 智能系统学报 第8卷 量也可以由包含度诱导出，并且从包含度的角度对 [V(A,B),V(A,B)],且满足： Vague集相似度量方法进行了研究.江伟等[]在指 1)0≤A(A,B),≤1,0≤V(A,B),≤1，即 出黄国顺等提出的相似度量方法存在不足之后，提 [0,1]≤V(A,B)≤[1,0]： 出了一个新的基于包含度的相似度量方法.这些基 2)ACB→V(A,B).=1,V(A,B)/=0,即 于包含度的相似度量方法由于考虑的包含关系较 V(A,B)=[1,0]; 少，在计算中丢失了一些重要信息，出现了相似度量 3)A≤BCC→V(C,A),≤V(B,A),V(C,A)r≥ 结果不合理、数据无法区分的问题.本文通过研究 V(B,A),即V(C,A)≤V(B,A). Vague集的包含关系，提出一个新的相似度量方法. 则称V(A,B)为S(U)上的包含度，其中V(A,B), 为真隶属度，V(A,B),为假隶属度. 1 Vague集基本知识 若V满足1)、2)、3)和如下的4)：任意A,B, 定义1设U={x1,x2,…,xn}是一个论域，对 C∈VS(U),ACB台V(C,A)≤V(C,B),则称V(A, 于U的任一元素x,U中的一个Vague集A是由真 B)为VS(U)上的强包含度. 隶属函数ta和假隶属函数fA所描述：ta:U→[0， 对于如何判断Vague集相似度量方法是否合 1]f:U一[0,1]，并且0≤t4(x:)+f(x)≤1，其中 理，目前还没有一个明确、全面的理论描述，王伟平 t,(x:)是支持x∈A的证据的隶属度下界，f(x:)是 等]提出的基本准则是目前检验方法中较为合理 反对x∈A的证据的隶属度下界，且t(x,)+f(x:)≤ 的衡量标准，本文以该标准衡量Vague集相似度量 1.元素x:在Vague集A中的隶属度被区间[0,1]的 方法 子区间[(x)(x)]所界定，称该区域为x:在A 2 Vague集相似度量新方法 中的Vague值，记为V,(x),论域U上所有Vague集 的全体记为VS(U).称π(x)=1-ta(x:)-f(x;)为x 2.1现有相似度量方法的不足 对于Vague集A的不确定度（未知度），是x相对于 现有的相似度量方法从不同角度对相似度量进 A的未知信息的一种度量. 行了研究，这些方法都存在不同程度的不足 定义2设论域U={x1,x2,…,xn},A是U上 2.1.1基于支持度和反对度距离的相似度量方法 的一个Vague集，则 Pei等[o]将支持度距离和反对度距离作为度量 相似度的依据，提出的相似度量方法为 A=∑[(x:),1-f(x)], i1 M,(x,)=1--4+长-f A的补集为 4 max(lt -t,l,f.-f a=公().1-)] 2 定义3设论域U={x1,x2,…,x.},A和B是U 该方法只考虑了支持度距离和反对度距离对相 上的2个Vague集，ACB,则对Hx:∈U,ta(x:)≤ 似度量的影响.但由于该方法没有充分考虑核距离 Lg(x:)且f(x:)≥f(x). 未知度因素，在计算过程中会丢失一些信息，因此使 定义4称S(x)=t(x)-f(x)(-1≤S(x)≤ 用该方法计算得到的度量结果缺乏合理性.比如对 1)为x的核，它表示现有证据对元素x支持和反对 于第1组元素x1和y1,当t=0.3,4,=0.2f,=0.1, 2种力量的对比，看作是整体支持（肯定）度 f,=0.2时，得到的度量结果为0.9，对于第2组元素 定义5设A、B是论域U={x1,x2,…,xn}上的 x2和y2,当，=0.5,5，=0.4f,=0.3,2=0.2时，得 Vague集，则A和B的并运算为 到的度量结果也是0.9.显然，这2组元素的相似度 A UB=max[ta(x;)tg(x;)], 是不同的，该方法得到的度量结果是不合理的. max[1-f(x:),1-fa(x)]}. 2.1.2基于未知度距离的相似度量方法 定义6设A、B是论域0={x1,x2,…,x}上的 目前，一些Vague集相似度量方法将未知度的 Vague集，则A和B的交运算为 增加或减少作为影响相似度的主要因素，比较典型 A n B=min[ta(x:),te(x)] 的基于未知度距离的相似度量方法有以下儿种。 min[1-f(x:),1-f(x:)]}. Chen-]、Hong等)、李凡等]和张诚一 定义7劉对于任意A,B,C∈S(U),由 等s)对Vague集的相似度量进行了一些初步研究， V(A,B),、V(A,B)构成Vague值V(A,B)= 提出了一些相似度量方法，此后，许多文献在研究中
量也可以由包含度诱导出，并且从包含度的角度对 Ｖａｇｕｅ 集相似度量方法进行了研究．江伟等［７］ 在指 出黄国顺等提出的相似度量方法存在不足之后，提 出了一个新的基于包含度的相似度量方法．这些基 于包含度的相似度量方法由于考虑的包含关系较 少，在计算中丢失了一些重要信息，出现了相似度量 结果不合理、数据无法区分的问题．本文通过研究 Ｖａｇｕｅ 集的包含关系，提出一个新的相似度量方法． １ Ｖａｇｕｅ 集基本知识 定义 １ 设 Ｕ ＝ ｛ ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ｝ 是一个论域，对 于 Ｕ 的任一元素 ｘ，Ｕ 中的一个 Ｖａｇｕｅ 集 Ａ 是由真 隶属函数 ｔＡ 和假隶属函数 ｆＡ 所描述：ｔＡ ∶ Ｕ→［０， １］，ｆＡ ∶ Ｕ→［０，１］，并且 ０≤ｔＡ（ｘｉ） ＋ｆＡ（ｘｉ）≤１，其中 ｔＡ（ｘｉ）是支持 ｘ∈Ａ 的证据的隶属度下界，ｆＡ（ｘｉ） 是 反对 ｘ∈Ａ 的证据的隶属度下界，且 ｔＡ（ｘｉ）＋ｆＡ（ｘｉ）≤ １．元素 ｘｉ 在 Ｖａｇｕｅ 集 Ａ 中的隶属度被区间［０，１］的 子区间［ｔＡ（ｘｉ），ｆＡ（ｘｉ）］所界定，称该区域为 ｘｉ 在 Ａ 中的 Ｖａｇｕｅ 值，记为 ＶＡ（ｘ），论域 Ｕ 上所有 Ｖａｇｕｅ 集 的全体记为 ＶＳ（Ｕ）．称 πＡ（ｘｉ）＝ １－ｔＡ（ｘｉ）－ｆＡ（ｘｉ）为 ｘ 对于 Ｖａｇｕｅ 集 Ａ 的不确定度（未知度），是 ｘ 相对于 Ａ 的未知信息的一种度量． 定义 ２ 设论域 Ｕ ＝ ｛ ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ｝，Ａ 是 Ｕ 上 的一个 Ｖａｇｕｅ 集，则 Ａ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ［ｔＡ（ｘｉ），１ － ｆＡ（ｘｉ）］ ／ ｘｉ， Ａ 的补集为 Ａ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ［ｆＡ（ｘｉ），１ － ｔＡ（ｘｉ）］ ／ ｘｉ ． 定义 ３ 设论域 Ｕ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ｝，Ａ 和 Ｂ 是 Ｕ 上的 ２ 个 Ｖａｇｕｅ 集，Ａ⊆Ｂ，则对∀ｘｉ ∈Ｕ，ｔＡ（ｘｉ）≤ ｔＢ（ｘｉ）且 ｆＡ（ｘｉ）≥ｆＢ（ｘｉ）． 定义 ４ 称 ＳＡ（ｘ）＝ ｔＡ（ｘ） －ｆＡ（ｘ） （ －１≤ＳＡ（ｘ）≤ １）为 ｘ 的核，它表示现有证据对元素 ｘ 支持和反对 ２ 种力量的对比，看作是整体支持（肯定）度． 定义 ５ 设 Ａ、Ｂ 是论域 Ｕ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ｝上的 Ｖａｇｕｅ 集，则 Ａ 和 Ｂ 的并运算为 Ａ ∪ Ｂ ＝ ｛ｍａｘ［ｔＡ（ｘｉ），ｔＢ（ｘｉ）］， ｍａｘ［１ － ｆＡ（ｘｉ），１ － ｆＢ（ｘｉ）］｝． 定义 ６ 设 Ａ、Ｂ 是论域 Ｕ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ｝上的 Ｖａｇｕｅ 集，则 Ａ 和 Ｂ 的交运算为 Ａ ∩ Ｂ ＝ ｛ｍｉｎ［ｔＡ（ｘｉ），ｔＢ（ｘｉ）］， ｍｉｎ［１ － ｆＡ（ｘｉ），１ － ｆＢ（ｘｉ）］｝． 定义 ７ ［８］ 对 于 任 意 Ａ， Ｂ， Ｃ ∈ ＶＳ （ Ｕ）， 由 Ｖ（Ａ，Ｂ）ｔ、 Ｖ （ Ａ， Ｂ ）ｆ 构 成 Ｖａｇｕｅ 值 Ｖ （ Ａ， Ｂ ） ＝ ［Ｖ（Ａ，Ｂ）ｔ，Ｖ（Ａ，Ｂ）ｆ］，且满足： １） ０ ≤ Ａ （ Ａ， Ｂ）ｔ ≤ １， ０ ≤ Ｖ （ Ａ， Ｂ）ｆ ≤ １， 即 ［０，１］≤Ｖ（Ａ，Ｂ）≤［１，０］； ２） Ａ ⊆ Ｂ ⇒ Ｖ （ Ａ， Ｂ）ｔ ＝ １， Ｖ （ Ａ， Ｂ）ｆ ＝ ０， 即 Ｖ（Ａ，Ｂ）＝ ［１，０］； ３）Ａ⊆Ｂ⊆Ｃ⇒Ｖ（Ｃ，Ａ）ｔ≤Ｖ（Ｂ，Ａ）ｔ，Ｖ（Ｃ，Ａ）ｆ≥ Ｖ（Ｂ，Ａ）ｆ，即 Ｖ（Ｃ，Ａ）≤Ｖ（Ｂ，Ａ）． 则称 Ｖ（Ａ，Ｂ）为 ＶＳ（Ｕ）上的包含度，其中 Ｖ（Ａ，Ｂ）ｔ 为真隶属度，Ｖ（Ａ，Ｂ）ｆ 为假隶属度． 若 Ｖ 满足 １）、２）、３） 和如下的 ４）：任意 Ａ，Ｂ， Ｃ∈ＶＳ（Ｕ），Ａ⊆Ｂ⇒Ｖ（Ｃ，Ａ）≤Ｖ（Ｃ，Ｂ），则称 Ｖ（ Ａ， Ｂ）为ＶＳ（Ｕ）上的强包含度． 对于如何判断 Ｖａｇｕｅ 集相似度量方法是否合 理，目前还没有一个明确、全面的理论描述，王伟平 等［９］提出的基本准则是目前检验方法中较为合理 的衡量标准，本文以该标准衡量 Ｖａｇｕｅ 集相似度量 方法． ２ Ｖａｇｕｅ 集相似度量新方法 ２．１ 现有相似度量方法的不足 现有的相似度量方法从不同角度对相似度量进 行了研究，这些方法都存在不同程度的不足． ２．１．１ 基于支持度和反对度距离的相似度量方法 Ｐｅｉ 等［１０］将支持度距离和反对度距离作为度量 相似度的依据，提出的相似度量方法为 ＭＰ（ｘ，ｙ） ＝ １ － ｔ ｘ － ｔ ｙ ＋ ｆ ｘ － ｆ ｙ ４ － ｍａｘ（ ｔ ｘ － ｔ ｙ ， ｆ ｘ － ｆ ｙ ） ２ ． 该方法只考虑了支持度距离和反对度距离对相 似度量的影响．但由于该方法没有充分考虑核距离、 未知度因素，在计算过程中会丢失一些信息，因此使 用该方法计算得到的度量结果缺乏合理性．比如对 于第 １ 组元素 ｘ１ 和 ｙ１ ，当 ｔ ｘ １ ＝ ０．３，ｔ ｙ １ ＝ ０．２，ｆ ｘ １ ＝ ０．１， ｆ ｙ １ ＝ ０．２ 时，得到的度量结果为 ０．９，对于第 ２ 组元素 ｘ２ 和 ｙ２ ，当ｔ ｘ ２ ＝ ０．５，ｔ ｙ ２ ＝ ０．４，ｆ ｘ ２ ＝ ０．３，ｆ ｙ ２ ＝ ０．２ 时，得 到的度量结果也是 ０．９．显然，这 ２ 组元素的相似度 是不同的，该方法得到的度量结果是不合理的． ２．１．２ 基于未知度距离的相似度量方法 目前，一些 Ｖａｇｕｅ 集相似度量方法将未知度的 增加或减少作为影响相似度的主要因素，比较典型 的基于未知度距离的相似度量方法有以下几种． Ｃｈｅｎ ［１１⁃１２］ 、 Ｈｏｎｇ 等［１３］ 、 李 凡 等［１４］ 和 张 诚 一 等［１５］对 Ｖａｇｕｅ 集的相似度量进行了一些初步研究， 提出了一些相似度量方法，此后，许多文献在研究中 ·２７２· 智 能 系 统 学 报 第 ８ 卷
第3期 贾伟：基于包含度的Vague集相似度量方法 ·273· 分析并指出了这些方法的不足，提出了一些新的相 相似度量的影响，但是没有考虑核距离对相似度量 似度量方法，但是这些新的相似度量方法在实际度 的影响因为核距离表示的是一种元素间的相对优 量中又出现了新的问题， 势，所以不应该被忽略.此外，该方法在系数的设置 徐凤生16提出的相似度量方法为 上存在问题，其根本原因是对未知度因素考虑不充 M(x,y）=1- 分，导致系数设置不合理，在实际度量计算中会出现 1S-S,|+b-t,+f-f+π.-π， 一些不合理的度量结果 4 2.1.3基于未知度倾向的相似度量方法 该方法只考虑了未知度距离对相似度量的影 周孟等[]从未知度倾向角度研究相似度量方 响，如果仅从距离角度来解释Vague集的相似度，当 法，认为未知度中对Vague值x和y可能存在的支 核距离、支持度距离、反对度距离和未知度距离完全 持度分别是a心=1，+π.和a,=t,+1,π，未知度中对 相同时，不同元素间的相似度就无法进行有效区分， Vague值x和y可能存在的反对度分别是B.=f+ 尤其是当元素间存在未知度的情况下，相似度量结 fπ，和B,=f+fπ，提出的相似度量方法是M2(x, 果不能合理解释元素间的相似度，因此，在考虑未知 度距离因素的同时，还应该考虑未知度增加对相似 y)=1- （.+a,)2+(B.+B,) -.该方法只考虑了未知 2 度量的影响. 度对支持度和反对度的倾向因素，没有考虑其他因 王伟平等[9]通过研究未知度增加对相似度量 素对相似度量的影响，在计算中度量效果较差.这是 的影响后，提出的相似度量方法为 因为存在多个影响Vague集相似度的因素，比如核 Mw(x,y）=1- 距离、支持度距离和反对度距离等，在研究相似度量 |t-,+f-f,|+|S-S,|+（π.+π，) 方法时，必须考虑到这些因素，否则就会出现度量结 4 果不准确的问题 该方法只考虑了未知度增加对相似度量的影 2.1.4基于包含度角度的现有相似度量方法 响，否定了未知度距离对相似度的影响.实际上，未 黄国顺等6)从包含度角度研究Vague集相似 知度距离表示了不同元素之间的未知度程度，在其 度，在研究过程中，提出了一个Vague集元素补集间 他条件相同的情况下，未知度距离越小，相似度越 的基于包含度的相似度量方法.他认为补集间的相 大，未知度距离对元素间的相似度有着重要影响，因 似程度不适合用于描述元素间的相似程度，将元素 此，未知度距离不应该被忽视 间的包含关系和补集间的包含关系相互结合，给出 朱振国等川提出的相似度量方法为 了一个基于包含度的相似度量方法.但是在对数据 Mzc(x,y)=1-((2-t.-t,)|t-t,|+ 的相似度量结果进行分析后，发现该方法的度量结 (2-fi-f,)f.-f,|+|S.-S,|+ 果不合理，放弃了将元素间的包含关系和补集间的 πx-π，)/((2-t-1,)+(2-f-f,)+2). 包含关系相互结合这一思想的进一步研究，最后给 该方法考虑了衡量Vague集相似度量的必要参 出了一个只考虑元素间包含关系的相似度量方法： 数，同时还考虑了未知度、确切的支持度和反对度对 MH(x,y）= 支持度距离和反对度距离的影响，具有一定的区分 min(t,t,)min(1 -f,1 -f) 能力，但是对未知度的考虑还是不够充分.该方法实 max(t,t,)max(1 -f,1 -f) 际上还是从距离的角度解释Vague集的相似度，这 江伟等[]将包含度概念和算术平均法相结合， 与徐凤生提出的方法在本质上是一样的，在相似度 提出了一种改进的基于包含度的Vague集相似度量 量过程中，当这些距离因素全部相同时，就无法对不 方法： 同元素间的相似度进行有效区分 min(t,4,）+min(1-f,1-f,) 马冯等u8)提出的Vague集相似度量方法为 M(x,y）= (t+t,+1-f+1-f)/2 My(x,y)= 黄国顺等提出的基于包含度的相似度量方法实 2t.-t, 2f.-f,1 际上都只考虑了元素间的包含关系，忽视了元素补 2(t,+t,)+32(f+f)+3 集之间的包含关系，这样在计算过程中会丢失了一 lπ.-π，+-引+-fI 些重要的数据信息，导致度量结果不合理.此外，这2 T:+T,+10 种相似度量方法没有充分考虑未知度因素的影响， 该方法虽然考虑了未知度距离和未知度增加对 比如对于Vague集的任意元素x和y,当t.=0,t,=
分析并指出了这些方法的不足，提出了一些新的相 似度量方法，但是这些新的相似度量方法在实际度 量中又出现了新的问题． 徐凤生［１６］提出的相似度量方法为 ＭＸ (ｘ，ｙ) ＝ １ － Ｓｘ － Ｓｙ ＋ ｔ ｘ － ｔ ｙ ＋ ｆ ｘ － ｆ ｙ ＋ πｘ － πｙ ４ ． 该方法只考虑了未知度距离对相似度量的影 响，如果仅从距离角度来解释 Ｖａｇｕｅ 集的相似度，当 核距离、支持度距离、反对度距离和未知度距离完全 相同时，不同元素间的相似度就无法进行有效区分， 尤其是当元素间存在未知度的情况下，相似度量结 果不能合理解释元素间的相似度，因此，在考虑未知 度距离因素的同时，还应该考虑未知度增加对相似 度量的影响． 王伟平等［９］ 通过研究未知度增加对相似度量 的影响后，提出的相似度量方法为 ＭＷ（ｘ，ｙ） ＝ １ － ｔ ｘ － ｔ ｙ ＋ ｆ ｘ － ｆ ｙ ＋ Ｓｘ － Ｓｙ ＋ （πｘ ＋ πｙ） ４ ． 该方法只考虑了未知度增加对相似度量的影 响，否定了未知度距离对相似度的影响．实际上，未 知度距离表示了不同元素之间的未知度程度，在其 他条件相同的情况下，未知度距离越小，相似度越 大，未知度距离对元素间的相似度有着重要影响，因 此，未知度距离不应该被忽视． 朱振国等［１７］提出的相似度量方法为 ＭＺＺＧ（ｘ，ｙ） ＝ １ － （（２ － ｔ ｘ － ｔ ｙ） ｔ ｘ － ｔ ｙ ＋ （２ － ｆ ｘ － ｆ ｙ） ｆ ｘ － ｆ ｙ ＋ Ｓｘ － Ｓｙ ＋ πｘ － πｙ ） ／ （（２ － ｔ ｘ － ｔ ｙ） ＋ （２ － ｆ ｘ － ｆ ｙ） ＋ ２）． 该方法考虑了衡量 Ｖａｇｕｅ 集相似度量的必要参 数，同时还考虑了未知度、确切的支持度和反对度对 支持度距离和反对度距离的影响，具有一定的区分 能力，但是对未知度的考虑还是不够充分．该方法实 际上还是从距离的角度解释 Ｖａｇｕｅ 集的相似度，这 与徐凤生提出的方法在本质上是一样的，在相似度 量过程中，当这些距离因素全部相同时，就无法对不 同元素间的相似度进行有效区分． 马冯等［１８］提出的 Ｖａｇｕｅ 集相似度量方法为 ＭＭ（ｘ，ｙ） ＝ １ － ２ ｔ ｘ － ｔ ｙ ２（ｔ ｘ ＋ ｔ ｙ） ＋ ３ － ２ ｆ ｘ － ｆ ｙ ２（ｆ ｘ ＋ ｆ ｙ） ＋ ３ － πｘ － πｙ ＋ ｔ ２ ｘ － ｔ ２ ｙ ＋ ｆ ２ ｘ － ｆ ２ ｙ πｘ ＋ πｙ ＋ １０ ． 该方法虽然考虑了未知度距离和未知度增加对 相似度量的影响，但是没有考虑核距离对相似度量 的影响．因为核距离表示的是一种元素间的相对优 势，所以不应该被忽略．此外，该方法在系数的设置 上存在问题，其根本原因是对未知度因素考虑不充 分，导致系数设置不合理，在实际度量计算中会出现 一些不合理的度量结果． ２．１．３ 基于未知度倾向的相似度量方法 周孟等［１９］从未知度倾向角度研究相似度量方 法，认为未知度中对 Ｖａｇｕｅ 值 ｘ 和 ｙ 可能存在的支 持度分别是 αｘ ＝ ｔ ｘ ＋ｔ ｘπｘ 和 αｙ ＝ ｔ ｙ ＋ｔ ｙπｙ，未知度中对 Ｖａｇｕｅ 值 ｘ 和 ｙ 可能存在的反对度分别是βｘ ＝ ｆ ｘ ＋ ｆ ｘπｘ 和 βｙ ＝ ｆ ｙ ＋ｆ ｙπｙ，提出的相似度量方法是 ＭＺ（ ｘ， ｙ）＝ １－ （αｘ ＋αｙ） ２＋（βｘ ＋βｙ） ２ ２ ．该方法只考虑了未知 度对支持度和反对度的倾向因素，没有考虑其他因 素对相似度量的影响，在计算中度量效果较差．这是 因为存在多个影响 Ｖａｇｕｅ 集相似度的因素，比如核 距离、支持度距离和反对度距离等，在研究相似度量 方法时，必须考虑到这些因素，否则就会出现度量结 果不准确的问题． ２．１．４ 基于包含度角度的现有相似度量方法 黄国顺等［６］ 从包含度角度研究 Ｖａｇｕｅ 集相似 度，在研究过程中，提出了一个 Ｖａｇｕｅ 集元素补集间 的基于包含度的相似度量方法．他认为补集间的相 似程度不适合用于描述元素间的相似程度，将元素 间的包含关系和补集间的包含关系相互结合，给出 了一个基于包含度的相似度量方法．但是在对数据 的相似度量结果进行分析后，发现该方法的度量结 果不合理，放弃了将元素间的包含关系和补集间的 包含关系相互结合这一思想的进一步研究，最后给 出了一个只考虑元素间包含关系的相似度量方法： ＭＨ（ｘ，ｙ） ＝ ｍｉｎ（ｔ ｘ，ｔ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｆ ｘ，１ － ｆ ｙ） ｍａｘ（ｔ ｘ，ｔ ｙ） ＋ ｍａｘ（１ － ｆ ｘ，１ － ｆ ｙ） ． 江伟等［７］将包含度概念和算术平均法相结合， 提出了一种改进的基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 集相似度量 方法： ＭＪ（ｘ，ｙ） ＝ ｍｉｎ（ｔ ｘ，ｔ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｆ ｘ，１ － ｆ ｙ） （ｔ ｘ ＋ ｔ ｙ ＋ １ － ｆ ｘ ＋ １ － ｆ ｙ） ／ ２ ． 黄国顺等提出的基于包含度的相似度量方法实 际上都只考虑了元素间的包含关系，忽视了元素补 集之间的包含关系，这样在计算过程中会丢失了一 些重要的数据信息，导致度量结果不合理．此外，这 ２ 种相似度量方法没有充分考虑未知度因素的影响， 比如对于 Ｖａｇｕｅ 集的任意元素 ｘ 和 ｙ，当 ｔ ｘ ＝ ０，ｔ ｙ ＝ 第 ３ 期 贾伟：基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 集相似度量方法 ·２７３·
·274· 智能系统学报 第8卷 0,f=0f,=0时，存在未知度，表明元素x和y之间 存在不确定性，不能认为x和y完全相似：但是黄国 2+3,-:+3f-f≤1，当4，=1,4，=0f=0f=1 0 顺等和江伟等提出的相似度量方法都认为x和y完 时，M(x,y)=0,因此，0≤M(x,y)≤1，当且仅当x= 全相似，这显然不符合实际 [1,1],y=[0,0]时，M(x,y)=0. 2.2基于包含度的Vague值相似度量新方法 ②若t≥t,1-f≤1-f,则M(x,y)= 上述文献从不同角度研究相似度量方法时，虽 然提出的相似度量方法都满足相似度量基本准则， 2+3,-1:+3-上，因为1≤2+3，-，+3-f≤4，所以 4 但是在考虑影响相似度量的因素时，都存在不足之 处.本文从包含度角度出发，考虑了未知度因素对相 12+3,-,+3f-f≤1，即2≤M(x,)≤1 4 4 似度量的影响，根据黄国顺等提出的将元素间的包 ③若t,≤t,1-f≥1-f,则M(x,y)= 含关系和补集间的包含关系相互结合的思想，进一 步研究了基于包含度的相似度量方法.由于在Vague 2+3,-,+f,因为1≤2+3，-1，+3f.-f≤4，所以 集中t,+圹+π，=1，未知度因素对相似度量结果有着 重要影响，同时，为了减少在包含关系中丢失的信 1≤2+3，-，+3f-≤1，即≤M(x,)≤1 4 息，除了考虑元素间t:和1-f的包含关系外，还要 ④若t≤t,1-f≤1-f,则M(x,y)= 考虑到t,和1-f的补集的包含关系，并给包含关系 设置系数.在此基础上，本文提出了一个新的基于包 2+3,,+3f,因为0≤2+3，-4，+3，-.≤4，所以 含度的Vague值相似度量方法： 0 M(x,y)=(3min(t,t,)min(1 -f,1 -f)+ 2+3,-,+3f-≤1，当1，=0,4，=1，.=15，=0 4 3min(ff,)+min(1-t.,1-,)/4. 时，M(x,y)=0,因此，0≤M(x,y)≤1，当且仅当x= 定义8设x=[t,l-f],y=[t,1-f,]是Vague [0,0],y=[1,1]时，M(x,y)=0. 集A上的2个Vague值，t,t,分别是x和y的支持 综上所述，M(x,y)满足基本准则1)和基本准 度f、f,分别是x和y的反对度，则Vague值x和y 则4). 的相似度量M(x,y)定义为 2)显然M(x,y)满足基本准则2)和基本准则3)， Mx,y）=(3min(t.,)+min(1-f,1-f)+ 3)若xCyC:,则t≤t,≤tff,≥f, 3min(ff,)+min(1-t.,1-t,)/4. M(x,y)=(3min(t.,t,）+min(1-f,1-f,)+ 定理1设A是论域U上的一个Vague集，xy 3min(ff,)+min(1-t,1-t,))/4, 和z是Vague集A中的3个Vague值，M(x,y)是 M(x,z)=(3min(t.,4:)+min(1-f,1-f)+ Vague值x和y的相似度量，M(x,z)是Vague值x 3min(ff)+min(1-t,1-t))/4, 和z的相似度量，M(y,z)是Vague值y和z的相似 2+3-4,+3f,-f M(x,y）= 度量，Vague值的相似度量应该满足下列基本准则： 4 1)0≤M(x,y)≤1； M0.)=2+3,-4+3-5 2)M(x,y)=M(y,x); 4 3)M(x,y)=M(x,y); 由于 4)M(x,y)=0,当且仅当x=[0,0],y=[1,1]或 x=[1,1],y=[0,0]: (x,)-M(x,）=飞-4+3G-) 4 ≥0 5)若xCy≤z,则M(x,y)≥M(x,z),且 所以 M(y,z)≥M(x,z). M(x,y)≥M(x,2). 证明 同理可证M(y,z)≥M(x,z).因此M(x,y)满足 1)由Vague集的定义0≤t,≤1,0≤f≤1,0≤ 基本准则5). t,≤1,0≤f,≤1，得到0≤1-t.≤1,0≤1-f≤1， 2.3基于包含度的Vague集加权相似度量新方法 0≤1-t,≤1,0≤1-f,≤1，存在以下4种情况： 定义9设A和B是论域U={x1,x2,…,xn}上 ①若4≥41-f≥1-，则M(x,y)=的2个Vague集，其中A=[,(x),1-f(x,)]/%, 2+3,,+3.-,因为0≤2+3，-1+3.-，≤4，所以 4 B=[a(),1-fa()]/,o,(i=1,2,…,n)表示
０，ｆ ｘ ＝ ０，ｆ ｙ ＝ ０ 时，存在未知度，表明元素 ｘ 和 ｙ 之间 存在不确定性，不能认为 ｘ 和 ｙ 完全相似；但是黄国 顺等和江伟等提出的相似度量方法都认为 ｘ 和 ｙ 完 全相似，这显然不符合实际． ２．２ 基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 值相似度量新方法 上述文献从不同角度研究相似度量方法时，虽 然提出的相似度量方法都满足相似度量基本准则， 但是在考虑影响相似度量的因素时，都存在不足之 处．本文从包含度角度出发，考虑了未知度因素对相 似度量的影响，根据黄国顺等提出的将元素间的包 含关系和补集间的包含关系相互结合的思想，进一 步研究了基于包含度的相似度量方法．由于在 Ｖａｇｕｅ 集中 ｔ ｉ ＋ｆ ｉ ＋πｉ ＝ １，未知度因素对相似度量结果有着 重要影响，同时，为了减少在包含关系中丢失的信 息，除了考虑元素间 ｔ ｉ 和 １－ｆ ｉ 的包含关系外，还要 考虑到 ｔ ｘ 和 １－ｆ ｘ 的补集的包含关系，并给包含关系 设置系数．在此基础上，本文提出了一个新的基于包 含度的 Ｖａｇｕｅ 值相似度量方法： Ｍ（ｘ，ｙ） ＝ （３ｍｉｎ（ｔ ｘ，ｔ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｆ ｘ，１ － ｆ ｙ） ＋ ３ｍｉｎ（ｆ ｘ，ｆ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｔ ｘ，１ － ｔ ｙ）） ／ ４． 定义 ８ 设 ｘ ＝ ［ｔ ｘ，１－ｆ ｘ］，ｙ ＝ ［ｔ ｙ，１－ｆ ｙ］是 Ｖａｇｕｅ 集 Ａ 上的 ２ 个 Ｖａｇｕｅ 值，ｔ ｘ、ｔ ｙ 分别是 ｘ 和 ｙ 的支持 度，ｆ ｘ、 ｆ ｙ分别是 ｘ 和 ｙ 的反对度，则 Ｖａｇｕｅ 值 ｘ 和 ｙ 的相似度量 Ｍ（ｘ，ｙ）定义为 Ｍ（ｘ，ｙ） ＝ （３ｍｉｎ（ｔ ｘ，ｔ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｆ ｘ，１ － ｆ ｙ） ＋ ３ｍｉｎ（ｆ ｘ，ｆ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｔ ｘ，１ － ｔ ｙ）） ／ ４． 定理 １ 设 Ａ 是论域 Ｕ 上的一个 Ｖａｇｕｅ 集，ｘ、ｙ 和 ｚ 是 Ｖａｇｕｅ 集 Ａ 中的 ３ 个 Ｖａｇｕｅ 值，Ｍ（ ｘ，ｙ） 是 Ｖａｇｕｅ 值 ｘ 和 ｙ 的相似度量，Ｍ（ ｘ，ｚ） 是 Ｖａｇｕｅ 值 ｘ 和 ｚ 的相似度量，Ｍ（ｙ，ｚ）是 Ｖａｇｕｅ 值 ｙ 和 ｚ 的相似 度量，Ｖａｇｕｅ 值的相似度量应该满足下列基本准则： １）０≤Ｍ（ｘ，ｙ）≤１； ２）Ｍ（ｘ，ｙ）＝ Ｍ（ｙ，ｘ）； ３）Ｍ（ｘ，ｙ）＝ Ｍ（ｘ，ｙ）； ４）Ｍ（ｘ，ｙ）＝ ０，当且仅当 ｘ ＝ ［０，０］，ｙ ＝ ［１，１］或 ｘ ＝ ［１，１］，ｙ ＝ ［０，０］； ５） 若 ｘ ⊆ ｙ ⊆ ｚ， 则 Ｍ （ ｘ， ｙ ） ≥ Ｍ （ ｘ， ｚ ）， 且 Ｍ（ｙ，ｚ）≥Ｍ（ｘ，ｚ）． 证明 １）由 Ｖａｇｕｅ 集的定义 ０≤ｔ ｘ≤１，０≤ｆ ｘ≤１，０≤ ｔ ｙ≤１，０≤ｆ ｙ ≤１，得到 ０≤１ － ｔ ｘ ≤１，０≤１ － ｆ ｘ ≤１， ０≤１－ｔ ｙ≤１，０≤１－ｆ ｙ≤１，存在以下 ４ 种情况： ① 若 ｔ ｘ ≥ ｔ ｙ， １ － ｆ ｘ ≥ １ － ｆ ｙ， 则 Ｍ （ ｘ， ｙ ） ＝ ２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ ４ ，因为 ０≤２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ≤４，所以 ０≤ ２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ ４ ≤１，当 ｔ ｘ ＝ １，ｔ ｙ ＝ ０，ｆ ｘ ＝ ０，ｆ ｙ ＝ １ 时，Ｍ（ｘ，ｙ）＝ ０，因此，０≤Ｍ（ｘ，ｙ）≤１，当且仅当 ｘ ＝ ［１，１］，ｙ ＝ ［０，０］时，Ｍ（ｘ，ｙ）＝ ０． ② 若 ｔ ｘ ≥ ｔ ｙ， １ － ｆ ｘ ≤ １ － ｆ ｙ， 则 Ｍ （ ｘ， ｙ ） ＝ ２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ ４ ，因为 １≤２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ≤４，所以 １ ４ ≤ ２＋３ｔ ｙ －ｔ ｘ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ ４ ≤１，即 １ ４ ≤Ｍ（ｘ，ｙ）≤１． ③ 若 ｔ ｘ ≤ ｔ ｙ， １ － ｆ ｘ ≥ １ － ｆ ｙ， 则 Ｍ （ ｘ， ｙ ） ＝ ２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ ４ ，因为 １≤２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ≤４，所以 １ ４ ≤ ２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｘ －ｆ ｙ ４ ≤１，即 １ ４ ≤Ｍ（ｘ，ｙ）≤１． ④ 若 ｔ ｘ ≤ ｔ ｙ， １ － ｆ ｘ ≤ １ － ｆ ｙ， 则 Ｍ （ ｘ， ｙ ） ＝ ２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ ４ ，因为 ０≤２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ≤４，所以 ０≤ ２＋３ｔ ｘ －ｔ ｙ ＋３ｆ ｙ －ｆ ｘ ４ ≤１，当 ｔ ｘ ＝ ０，ｔ ｙ ＝ １，ｆ ｘ ＝ １，ｆ ｙ ＝ ０ 时，Ｍ（ｘ，ｙ）＝ ０，因此，０≤Ｍ（ｘ，ｙ）≤１，当且仅当 ｘ ＝ ［０，０］，ｙ ＝ ［１，１］时，Ｍ（ｘ，ｙ）＝ ０． 综上所述，Ｍ（ ｘ，ｙ）满足基本准则 １）和基本准 则 ４）． ２）显然 Ｍ（ｘ，ｙ）满足基本准则 ２）和基本准则 ３）． ３）若 ｘ⊆ｙ⊆ｚ，则 ｔ ｘ≤ｔ ｙ≤ｔ ｚ，ｆ ｘ≥ｆ ｙ≥ｆ ｚ， Ｍ（ｘ，ｙ） ＝ （３ｍｉｎ（ｔ ｘ，ｔ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｆ ｘ，１ － ｆ ｙ） ＋ ３ｍｉｎ（ｆ ｘ，ｆ ｙ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｔ ｘ，１ － ｔ ｙ）） ／ ４， Ｍ（ｘ，ｚ） ＝ （３ｍｉｎ（ｔ ｘ，ｔ ｚ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｆ ｘ，１ － ｆ ｚ） ＋ ３ｍｉｎ（ｆ ｘ，ｆ ｚ） ＋ ｍｉｎ（１ － ｔ ｘ，１ － ｔ ｚ）） ／ ４， Ｍ（ｘ，ｙ） ＝ ２ ＋ ３ｔ ｘ － ｔ ｙ ＋ ３ｆ ｙ － ｆ ｘ ４ ， Ｍ（ｘ，ｚ） ＝ ２ ＋ ３ｔ ｘ － ｔ ｚ ＋ ３ｆ ｚ － ｆ ｘ ４ ． 由于 Ｍ（ｘ，ｙ） － Ｍ（ｘ，ｚ） ＝ ｔ ｚ － ｔ ｙ ＋ ３（ｆ ｙ － ｆ ｚ） ４ ≥ ０， 所以 Ｍ（ｘ，ｙ） ≥ Ｍ（ｘ，ｚ）． 同理可证 Ｍ（ｙ，ｚ）≥Ｍ（ｘ，ｚ）．因此 Ｍ（ｘ，ｙ）满足 基本准则 ５）． ２．３ 基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 集加权相似度量新方法 定义 ９ 设 Ａ 和 Ｂ 是论域 Ｕ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ｝上 的 ２ 个 Ｖａｇｕｅ 集，其中 Ａ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ［ｔＡ（ｘｉ），１－ｆＡ（ｘｉ）］ ／ ｘｉ， Ｂ ＝∑ ｎ ｉ ＝ １ ［ｔＢ（ｘｉ），１－ｆＢ（ｘｉ）］ ／ ｘｉ，ωｉ（ｉ ＝ １，２，…，ｎ）表示 ·２７４· 智 能 系 统 学 报 第 ８ 卷
第3期 贾伟：基于包含度的Vague集相似度量方法 ·275· 元素x在U中的权重，其中0，e[0,小，三0，=1，则 4)M(A,B)=0,当且仅当A={[0,0]1x∈U}, B={[1,1]Ix∈U}或A={[1,1]Ix∈U},B= Vague集A和B的加权相似度量定义为M(A,B)= {[0,0]lx∈U}: 三，M(A(,),B(x).如果选取@，=元，表明各元 5)若A二B二C,则M(A,B)≥M(A,C),且 素的权重相同，则可得到各元素的平均值 M(B,C)≥M(A,C). 定理2设A、B和C是论域U={x1,x2,…,xn} 容易证明M(A,B)满足基本准则1)~5) 上的3个Vague集，Vague集的相似度量应该满足 3 实例分析 下列基本准则： 下面通过表1中的数据比较，说明本文提出的 1)0≤M(A,B)≤1： 2)M(A,B)=M(B,A): 相似度量方法M(x,y)克服了现有相似度量方法的 3)M(A,B)=M(A,B); 不足 表1与现有相似度量方法的比较 Table 1 Comparison of the new method with the existing methods of similarity measurement 相似度 方法 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 [0.1] [0.2,0.5] [0.2,0.5] [0.3,0.4] [0.3,0.5] [0.3,0.5] y [0,1] [0.3,0.5] [0.4.0.4] [0.3.0.4] [0.4.0.6] [0.5.0.5] Mx(x,y) 1.0 0.9250 0.8250 1.00 0.9000 0.8500 Mw(x.y) 0.5 0.8250 0.8250 0.95 0.8000 0.8500 Mp(x.y) 1.0 0.9250 0.8250 1.00 0.9000 0.8500 Mzc(x,y） 1.0 0.9222 0.8209 1.00 0.9000 0.8476 Mu(x.y) 1.0 0.9357 0.8148 1.00 0.8975 0.8777 Mz(x,y） 1.0 0.9209 0.8949 1.00 0.8800 0.8783 Mu(x.y) 1.0 0.8750 0.6667 1.00 0.8000 0.8000 M (x.y) 1.0 0.9333 0.8000 1.00 0.8889 0.8889 M(x,y） 0.5 0.8250 0.7750 0.95 0.8000 0.8500 由于第1组数据和第4组数据中都存在未知 区分第1组和第4组2组数据， 度，表明存在不确定性，因此不能认为完全相似，但 第2组数据和第3组数据的相似度明显是不同 是徐凤生提出的相似度量方法Mx(x,y)、Pei等提 的，M.(x,y)认为第2组数据和第3组数据的相似 出的相似度量方法M(x,y)、朱振国等提出的相似 度相同，这显然不符合人们的直观感受，其他相似度 度量方法Mc(x,y)、马冯等提出的相似度量方法 量方法都可以有效区分这2组数据.。 M(x,y)、周孟等提出的相似度量方法Mz(x,y)、黄 第5组和第6组数据的相似度不同，MH(x,y) 国顺等提出的相似度量方法M:(x,y)和江伟等提 和M,(x,y)无法区分第5组和第6组数据，其他相 出的相似度量方法M,(x,y)都认为第1组数据和第 似度量方法都可以有效区分这2组数据 4组数据的相似度都为1，即完全相似，这显然不符 通过以上实验数据的分析可以看出，现有的相 合实际.只有王伟平等提出的相似度量方法Mx(x, 似度量方法由于对影响相似度量的因素考虑不全 y)和本文提出的相似度量方法M(x,y)认为第1组 面，出现了不同程度的缺陷，只有本文提出的相似度 数据中支持程度与反对程度完全相同，因为存在未 量方法M(x,y)可以有效合理地区分所有数据， 知度，所以相似度应为0.5.在第4组数据中，由于支 持程度与反对程度不同且存在的未知度较少，因此 4结束语 相似度应该较高，王伟平等提出方法Mw(x,y)和本 本文分析了目前相似度量方法的不足之处，在 文提出的方法M(x,y)所得到的度量结果为0.95， 现有文献的基础上，进一步研究了Vague集及其补 符合实际情况.由此可见，本文提出的方法能够合理 集的包含关系，指出了在相似度量中未知度因素的
元素 ｘｉ 在 Ｕ 中的权重，其中ωｉ∈［０，１］，∑ ｎ ｉ ＝ １ ωｉ ＝ １，则 Ｖａｇｕｅ 集 Ａ 和 Ｂ 的加权相似度量定义为Ｍ（Ａ，Ｂ）＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ωｉＭ（Ａ（ ｘｉ），Ｂ（ ｘｉ））．如果选取 ωｉ ＝ １ ｎ ，表明各元 素的权重相同，则可得到各元素的平均值． 定理 ２ 设 Ａ、Ｂ 和 Ｃ 是论域 Ｕ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ｝ 上的 ３ 个 Ｖａｇｕｅ 集，Ｖａｇｕｅ 集的相似度量应该满足 下列基本准则： １）０≤Ｍ（Ａ，Ｂ）≤１； ２）Ｍ（Ａ，Ｂ）＝ Ｍ（Ｂ，Ａ）； ３）Ｍ（Ａ，Ｂ）＝ Ｍ（Ａ － ，Ｂ － ）； ４）Ｍ（Ａ，Ｂ）＝ ０，当且仅当 Ａ ＝ ｛［０，０］ ｜ ｘ∈Ｕ｝， Ｂ ＝ ｛［１，１］ ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 或 Ａ ＝ ｛［ １， １］ ｜ ｘ ∈ Ｕ｝， Ｂ ＝ ｛［０，０］ ｜ ｘ∈Ｕ｝； ５）若 Ａ⊆Ｂ ⊆Ｃ，则 Ｍ （ Ａ，Ｂ） ≥Ｍ （ Ａ， Ｃ），且 Ｍ（Ｂ，Ｃ）≥Ｍ（Ａ，Ｃ）． 容易证明 Ｍ（Ａ，Ｂ）满足基本准则 １） ～５）． ３ 实例分析 下面通过表 １ 中的数据比较，说明本文提出的 相似度量方法 Ｍ（ｘ，ｙ）克服了现有相似度量方法的 不足． 表 １ 与现有相似度量方法的比较 Ｔａｂｌｅ １ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ 方 法 相似度 第 １ 组 第 ２ 组 第 ３ 组 第 ４ 组 第 ５ 组 第 ６ 组 ｘ ［０，１］ ［０．２，０．５］ ［０．２，０．５］ ［０．３，０．４］ ［０．３，０．５］ ［０．３，０．５］ ｙ ［０，１］ ［０．３，０．５］ ［０．４，０．４］ ［０．３，０．４］ ［０．４，０．６］ ［０．５，０．５］ ＭＸ（ｘ，ｙ） １．０ ０．９２５ ０ ０．８２５ ０ １．００ ０．９００ ０ ０．８５０ ０ ＭＷ（ｘ，ｙ） ０．５ ０．８２５ ０ ０．８２５ ０ ０．９５ ０．８００ ０ ０．８５０ ０ ＭＰ（ｘ，ｙ） １．０ ０．９２５ ０ ０．８２５ ０ １．００ ０．９００ ０ ０．８５０ ０ ＭＺＺＧ（ｘ，ｙ） １．０ ０．９２２ ２ ０．８２０ ９ １．００ ０．９００ ０ ０．８４７ ６ ＭＭ（ｘ，ｙ） １．０ ０．９３５ ７ ０．８１４ ８ １．００ ０．８９７ ５ ０．８７７ ７ ＭＺ（ｘ，ｙ） １．０ ０．９２０ ９ ０．８９４ ９ １．００ ０．８８０ ０ ０．８７８ ３ ＭＨ（ｘ，ｙ） １．０ ０．８７５ ０ ０．６６６ ７ １．００ ０．８００ ０ ０．８００ ０ ＭＪ（ｘ，ｙ） １．０ ０．９３３ ３ ０．８００ ０ １．００ ０．８８８ ９ ０．８８８ ９ Ｍ（ｘ，ｙ） ０．５ ０．８２５ ０ ０．７７５ ０ ０．９５ ０．８００ ０ ０．８５０ ０ 由于第 １ 组数据和第 ４ 组数据中都存在未知 度，表明存在不确定性，因此不能认为完全相似，但 是徐凤生提出的相似度量方法 ＭＸ（ ｘ，ｙ）、Ｐｅｉ 等提 出的相似度量方法 ＭＰ（ｘ，ｙ）、朱振国等提出的相似 度量方法 ＭＺＺＧ（ ｘ，ｙ）、马冯等提出的相似度量方法 ＭＭ（ｘ，ｙ）、周孟等提出的相似度量方法 ＭＺ（ｘ，ｙ）、黄 国顺等提出的相似度量方法 ＭＨ（ ｘ，ｙ） 和江伟等提 出的相似度量方法 ＭＪ（ｘ，ｙ）都认为第 １ 组数据和第 ４ 组数据的相似度都为 １，即完全相似，这显然不符 合实际．只有王伟平等提出的相似度量方法 ＭＷ（ｘ， ｙ）和本文提出的相似度量方法 Ｍ（ｘ，ｙ）认为第 １ 组 数据中支持程度与反对程度完全相同，因为存在未 知度，所以相似度应为 ０．５．在第 ４ 组数据中，由于支 持程度与反对程度不同且存在的未知度较少，因此 相似度应该较高，王伟平等提出方法 ＭＷ（ｘ，ｙ）和本 文提出的方法 Ｍ（ ｘ，ｙ）所得到的度量结果为 ０．９５， 符合实际情况．由此可见，本文提出的方法能够合理 区分第 １ 组和第 ４ 组 ２ 组数据． 第 ２ 组数据和第 ３ 组数据的相似度明显是不同 的，ＭＷ（ｘ，ｙ）认为第 ２ 组数据和第 ３ 组数据的相似 度相同，这显然不符合人们的直观感受，其他相似度 量方法都可以有效区分这 ２ 组数据． 第 ５ 组和第 ６ 组数据的相似度不同，ＭＨ（ ｘ，ｙ） 和 ＭＪ（ｘ，ｙ）无法区分第 ５ 组和第 ６ 组数据，其他相 似度量方法都可以有效区分这 ２ 组数据． 通过以上实验数据的分析可以看出，现有的相 似度量方法由于对影响相似度量的因素考虑不全 面，出现了不同程度的缺陷，只有本文提出的相似度 量方法 Ｍ（ｘ，ｙ）可以有效合理地区分所有数据． ４ 结束语 本文分析了目前相似度量方法的不足之处，在 现有文献的基础上，进一步研究了 Ｖａｇｕｅ 集及其补 集的包含关系，指出了在相似度量中未知度因素的 第 ３ 期 贾伟：基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 集相似度量方法 ·２７５·
·276· 智能系统学报 第8卷 重要性，给出了一种新的基于包含度的相似度量方 [10]PEI Zhenkui,LIU Jian.Research on similarity measures 法，通过实例分析证明利用新方法得到的度量结果 between vague sets[C]//Fourth International Conference 是合理的.此外，由于Vague集不同于普通模糊集， on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery.Haikou,Chi- 存在不确定性，在提出的基于包含度的Vague集相 na,2007:648-652. 似度量方法中，会遗失一些信息，这些遗失的信息可 [11]CHEN S M.Measures of similarity between vague sets[J]. Fuzzy Sets and Systems,1995,74(2):217-223. 能会影响相似度量结果，对于如何有效解决这一问 [12]CHEN S M.Similarity measures between vague sets and 题还有待进一步研究 between elements [J].IEEE Transactions on Systems, 参考文献： Man,and Cybernetics,Part B:Cybernetics,1997,27 (1):153-157. [1]ZADEH L A.Fuzzy sets[]]Information and Control,1965 [13]HONG D H,KIM C.A note on similarity measures be- (8)：338-356. tween vague sets and between elements[J].Information [2]GAU W L,BUEHRER D J.Vague sets[J].IEEE Transac- Sciences,.1999,115(1/2/3/4):83-96. tions on Systems,Man,and Cybernetics,1993,23(2): [14]李凡，徐章艳.Vague集之间的相似度量[J].软件学报， 610-614. 2001,12(6)：922-927 [3]BUSTINCE H,BURILLO P.Vague sets are intuitionistic LI Fan,XU Zhangyan.Measures of similarity between fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1996,79(3):403- vague sets[J].Journal of Software,2001,12(6):922- 405. 927. [4]张文修，徐宗本，梁怡，等.包含度理论[J]模糊系统与数 [15]张诚一，党平安.关于Vague集之间的相似度量[J].计 学，1996,10(4)：1-9. 算机工程与应用，2003,39(17)：92-94. ZHANG Wenxiu,XU Zongben,LIANG Yi,et al.Inclusion ZHANG Chengyi,DANG Pingan.On measures of similari- degree theory[J].Fuzzy Systems and Mathematics,1996, ty between vague sets[J].Computer Engineering and Ap- 10(4):1-9. plications,2003,39(17):92-94. [5]范九伦.包含度和贴近度的相互诱导关系[J].模糊系统 [16]徐凤生.Vague集的新相似度量方法[J].计算机工程与 与数学，2003,17(3)：29-37 科学，2011,33(4)：121-123. FAN Jiulun.Mutual induced relations between similarity XU Fengsheng.A new method for similarity measures be- measure and subsethood measure[J].Fuzzy Systems and tween vague sets[J].Computer Engineering Science, Mathematics,2003,17(3):29-37. 2011,33(4):121-123 [6]黄国顺，刘云生基于包含度的Vgue集相似度量[J].小 [17]朱振国，王匡胤.Vague集相似度量[J].计算机科学， 型微型计算机系统，2006,27(5)：873-877. 2008,35(9):220-225. HUANG Guoshun,LIU Yunsheng.Similarity measures of ZHU Zhenguo,WANG Guoyin.Similarity measure of vague sets based on inclusion grades[J].Mini-micro Sys- vague set[J].Computer Science,2008,35(9):220-225. tems,2006,27(5):873-877. [18]马冯，余建坤.一种Vague集相似度量的新方法[J].计 [7]江伟，梁家荣.一种新的基于包含度的Vague相似度[J] 算机工程与应用，2010,46(34)：39-42. 软件导刊，2012,11(3)：14-16. MA Feng,YU Jiankun.New vague sets similarity measure JIANG Wei,LIANG Jiarong.New similarity measures vague method [J].Computer Engineering and Applications, sets based on inclusions grades[J].Software Guide,2012 2010.46(34):39-42. 11(3):14-16. [l9]周孟，余建坤.一种新的Vgue集相似度量方法[J].计 [8]朱英丽，杨勇，朱晓钟，等Vague集的包含度[J].计算机 算机应用与软件，2012,29(2)：138-141. 工程与应用，2011,47(7)：43-45. ZHOU Meng,YU Jiankun.A new vague set similarity ZHU Yingli,YANG Yong,ZHU Xiaozhong,et al.Vague measurement[J].Computer Applications and Software, inclusion degree[J].Computer Engineering and Applica- 2012,29(2):138-141. tions,2011,47(7):43-45. 作者简介： [9]王伟平，吴祈宗，李玉玲.Vague集之间相似度量的基本 贾伟，男，1980年生，讲师，主要研 准则与一般方法[J刀计算机工程与应用，2008,44(4)： 究方向为信息系统集成、Vague集，发表 73-76. 学术论文5篇。 WANG Weiping,WU Qizong.LI Yuling.Basic rules and general method on similarity measures between vague sets [J].Computer Engineering and Applications,2008,44 (4):73-76
重要性，给出了一种新的基于包含度的相似度量方 法，通过实例分析证明利用新方法得到的度量结果 是合理的．此外，由于 Ｖａｇｕｅ 集不同于普通模糊集， 存在不确定性，在提出的基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 集相 似度量方法中，会遗失一些信息，这些遗失的信息可 能会影响相似度量结果，对于如何有效解决这一问 题还有待进一步研究． 参考文献： ［１］ＺＡＤＥＨ Ｌ Ａ． Ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ， １９６５ （８）： ３３８⁃３５６． ［２］ＧＡＵ Ｗ Ｌ， ＢＵＥＨＲＥＲ Ｄ Ｊ． Ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃ⁃ ｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ， Ｍａｎ， ａｎｄ Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ， １９９３， ２３ （ ２）： ６１０⁃６１４． ［３］ ＢＵＳＴＩＮＣＥ Ｈ， ＢＵＲＩＬＬＯ Ｐ． Ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ａｒｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９９６， ７９（３）： ４０３⁃ ４０５． ［４］张文修，徐宗本，梁怡，等．包含度理论［ Ｊ］．模糊系统与数 学， １９９６， １０（４）： １⁃９． ＺＨＡＮＧ Ｗｅｎｘｉｕ， ＸＵ Ｚｏｎｇｂｅｎ， ＬＩＡＮＧ Ｙｉ， ｅｔ ａｌ． Ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｄｅｇｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ［ Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， １９９６， １０（４）： １⁃９． ［５］范九伦．包含度和贴近度的相互诱导关系［ Ｊ］．模糊系统 与数学， ２００３， １７（３）： ２９⁃３７． ＦＡＮ Ｊｉｕｌｕｎ． Ｍｕｔｕａｌ ｉｎｄｕｃｅｄ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅ ａｎｄ ｓｕｂｓｅｔｈｏｏｄ ｍｅａｓｕｒｅ ［ Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， ２００３， １７（３）： ２９⁃３７． ［６］黄国顺，刘云生．基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 集相似度量［Ｊ］．小 型微型计算机系统， ２００６， ２７（５）： ８７３⁃８７７． ＨＵＡＮＧ Ｇｕｏｓｈｕｎ， ＬＩＵ Ｙｕｎｓｈｅｎｇ． Ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｏｆ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｇｒａｄｅｓ ［ Ｊ］． Ｍｉｎｉ⁃ｍｉｃｒｏ Ｓｙｓ⁃ ｔｅｍｓ， ２００６， ２７（５）： ８７３⁃８７７． ［７］江伟，梁家荣．一种新的基于包含度的 Ｖａｇｕｅ 相似度［Ｊ］． 软件导刊， ２０１２， １１（３）： １４⁃１６． ＪＩＡＮＧ Ｗｅｉ， ＬＩＡＮＧ Ｊｉａｒｏｎｇ． Ｎｅｗ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ｇｒａｄｅｓ［Ｊ］． Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｇｕｉｄｅ， ２０１２， １１（３）： １４⁃１６． ［８］朱英丽，杨勇，朱晓钟，等．Ｖａｇｕｅ 集的包含度［ Ｊ］．计算机 工程与应用， ２０１１， ４７（７）： ４３⁃４５． ＺＨＵ Ｙｉｎｇｌｉ， ＹＡＮＧ Ｙｏｎｇ， ＺＨＵ Ｘｉａｏｚｈｏｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ｖａｇｕｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｄｅｇｒｅｅ ［ Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａ⁃ ｔｉｏｎｓ， ２０１１， ４７（７）： ４３⁃４５． ［９］王伟平，吴祈宗，李玉玲．Ｖａｇｕｅ 集之间相似度量的基本 准则与一般方法［Ｊ］．计算机工程与应用， ２００８， ４４（４）： ７３⁃７６． ＷＡＮＧ Ｗｅｉｐｉｎｇ， ＷＵ Ｑｉｚｏｎｇ， ＬＩ Ｙｕｌｉｎｇ． Ｂａｓｉｃ ｒｕｌｅｓ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｏｎ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２００８， ４４ （４）： ７３⁃７６． ［１０］ ＰＥＩ Ｚｈｅｎｋｕｉ， ＬＩＵ Ｊｉａｎ． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ［ Ｃ］ ／ ／ Ｆｏｕｒｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ Ｄｉｓｃｏｖｅｒｙ． Ｈａｉｋｏｕ， Ｃｈｉ⁃ ｎａ， ２００７： ６４８⁃６５２． ［１１］ＣＨＥＮ Ｓ Ｍ． Ｍｅａｓｕｒｅｓ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９９５， ７４（２）： ２１７⁃２２３． ［１２］ ＣＨＥＮ Ｓ Ｍ． Ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ［ Ｊ ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ， Ｍａｎ， ａｎｄ Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ， Ｐａｒｔ Ｂ： Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ， １９９７， ２７ （１）： １５３⁃１５７． ［１３］ ＨＯＮＧ Ｄ Ｈ， ＫＩＭ Ｃ． Ａ ｎｏｔｅ ｏｎ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｂｅ⁃ ｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９９９， １１５（１ ／ ２ ／ ３ ／ ４）： ８３⁃９６． ［１４］李凡，徐章艳．Ｖａｇｕｅ 集之间的相似度量［ Ｊ］．软件学报， ２００１， １２（６）： ９２２⁃９２７． ＬＩ Ｆａｎ， ＸＵ Ｚｈａｎｇｙａｎ． Ｍｅａｓｕｒｅｓ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｆｔｗａｒｅ， ２００１， １２（ ６）： ９２２⁃ ９２７． ［１５］张诚一，党平安．关于 Ｖａｇｕｅ 集之间的相似度量［ Ｊ］．计 算机工程与应用， ２００３， ３９（１７）： ９２⁃９４． ＺＨＡＮＧ Ｃｈｅｎｇｙｉ， ＤＡＮＧ Ｐｉｎｇａｎ． Ｏｎ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒｉ⁃ ｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐ⁃ ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２００３， ３９（１７）： ９２⁃９４． ［１６］徐凤生．Ｖａｇｕｅ 集的新相似度量方法［ Ｊ］．计算机工程与 科学， ２０１１， ３３（４）： １２１⁃１２３． ＸＵ Ｆｅｎｇｓｈｅｎｇ． Ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｂｅ⁃ ｔｗｅｅｎ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ［ Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ＆ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ２０１１， ３３（４）： １２１⁃１２３． ［１７］朱振国，王匡胤．Ｖａｇｕｅ 集相似度量［ Ｊ］． 计算机科学， ２００８， ３５（９）： ２２０⁃２２５． ＺＨＵ Ｚｈｅｎｇｕｏ， ＷＡＮＧ Ｇｕｏｙｉｎ． Ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅ ｏｆ ｖａｇｕｅ ｓｅｔ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ２００８， ３５（９）： ２２０⁃２２５． ［１８］马冯，余建坤．一种 Ｖａｇｕｅ 集相似度量的新方法［ Ｊ］．计 算机工程与应用， ２０１０， ４６（３４）： ３９⁃４２． ＭＡ Ｆｅｎｇ， ＹＵ Ｊｉａｎｋｕｎ． Ｎｅｗ ｖａｇｕｅ ｓｅｔｓ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅ ｍｅｔｈｏｄ ［ Ｊ ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２０１０， ４６（３４）： ３９⁃４２． ［１９］周孟，余建坤．一种新的 Ｖａｇｕｅ 集相似度量方法［ Ｊ］．计 算机应用与软件， ２０１２， ２９（２）： １３８⁃１４１． ＺＨＯＵ Ｍｅｎｇ， ＹＵ Ｊｉａｎｋｕｎ． Ａ ｎｅｗ ｖａｇｕｅ ｓｅｔ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ［ Ｊ ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｓｏｆｔｗａｒｅ， ２０１２， ２９（２）： １３８⁃１４１． 作者简介： 贾伟，男，１９８０ 年生，讲师，主要研 究方向为信息系统集成、Ｖａｇｕｅ 集，发表 学术论文 ５ 篇． ·２７６· 智 能 系 统 学 报 第 ８ 卷