描写晶格振动的基本图象 2、一维单原子链的晶格振动 ·R是原子的平衡位 置,具有周期性 删m少 时,整个原 ·思考:不同原子的位 研究晶格振动即需求波矢与频率的关 移x在周期性结构中有 什么关系 100l 0 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche n+1 势能对位移求导后可得力 平衡时 移成线性关系→简谐近似 振动时偏离 ○○- 平衡位量 只考虑最近原子相互作用,即,影 原子受 于第n个原子的运动方程 原子平衡位量 r., x是相对子平衡位量的槁离 两原子闻相互 d- B(xn+1-xn)+B(rm-1-xn) V(a+)=(a)+ [思考:如果不只是考成最近邻? s(a+/ 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 运动方程 equations of motion 将尝试解代入适动方程 dx=B(n-x)+B(m-1-x,) =B(rn+x,--2x,) 因为格具有同期性,因此它的尝试解应满足Boch定 理,有平画波形式的相因子 xn(1)=x( -2B(1-cos ga)Ae"t nd 吧马 波矢 Wave-\波长=2r mO2=-26(1-c0sqa) m:第n个原子的坐标 o(q)=/2-cosq)=212s 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 描写晶格振动的基本图象 • R是原子的平衡位 置，具有周期性 * 但在任一时刻有一远 远小于原子间距的偏 离平衡位置的位移u * x <<R • 思考：不同原子的位 移x在周期性结构中有 什么关系 O R r x 平衡位置 位移 瞬时位置 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 2、一维单原子链的晶格振动 一维振动：比如在立方晶体中，当波 沿着[100], [110], [111]之一传播 时，整个原子平面作同相位运动，或 平行或垂直与波矢方向，可以看作一 维的振动，存在三个振动模式：一个 纵向、两个横向偏振 研究晶格振动即需求波矢与频率的关 系 3D 1D [100] [111] [110] http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 2 0 2 2 2 0 2 2 0 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) δ δ δ δ δ δ δ δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ + + ⋅⋅⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = + − d d V V a d d V d dV V a V a x x n n 两原子间相互 作用势能展开 后，零次项是 常数，一次项 为零(？)，只保 留位移的二次 项Æ简谐近似 n-2 n+1 n+2 n-1 n 平衡时 振动时偏离 平衡位置 xn xn-1 xn+1 a 原子平衡位置 rn=na，xn是相对于平衡位置的偏离 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 δ βδ δ δ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − = − 0 2 2 d d V d dV 势能对位移求导后可得力与 F 位移成线性关系Æ简谐近似 只考虑最近邻原子相互作用，即，考察第n个原子受 力，写出关于第n个原子的运动方程——牛顿方程 这里β是力常数(force constant) ( ) ( ) 2 1 1 2 n n n n n x x x x dt d x m = β + − + β − − 思考：如果不只是考虑最近邻？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 ( ) ( ) 2 1 1 2 n n n n n x x x x dt d x m = β + − + β − − 运动方程 equations of motion iqna i t iqna n x t x t e Ae e − ω ( ) = 0 ( ) = q: 波矢 Wave-vector na: 第n个原子的坐标 x是相对 于平衡位 置的偏离 q v q p ω π λ = = 2 波长 相速度 因为晶格具有周期性，因此它的尝试解应满足Bloch定 理，有平面波形式的相因子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 • 将尝试解代入运动方程 ( ) ( ) ( ) i qna t iqa iqa i qna t m Ae e e Ae ω ω ω β − − − − = − 2 − − 2 ( ) n n n n x x x dt d x m 1 1 2 2 2 = β + + − − • 得 − m = −2 (1− cos qa) 2 ω β ( ) ( cos ) i qna t qa Ae ω β − = −2 1− 2 2 m 2 1 qa m qa q sin ( cos ) ( ) β β ω = − = • 即