即证。 (5分)。 2.证明:由于an=(an1+-)≥√2、mn≥时),即数列有下届-(3分) an/a、+-2)≤1,所以数列单减.所以数列收敛 -(6分); 设ima4=a,则有a=(a+-),所以极限a=2 (10分) 五、证明下列各题(15分): 1.证明:由题设f(a)≥a,f(b)≤b.令g(x)=f(x)-x,则 g(a)=f(a)-a≥0,g(b)=f(b)-b≤0 分) 故:若g(a)=0,或g(b)=0,则取x=a或x=柳证---(7分) 若g(a)>0,或g(b)<0,由零值定理,存在x∈(a,b)使得 g(x0)=0.,即证f(x0)=x (10分)。 2.证明:VE>0,取δ 则vx,y∈I L+1 当x-y<时,|f(x)-f(y)kE即证 六、证明下列各题(20分): 证明:当x>O时,由中值定理,存在1+x>>1使得ln(1+x)=m(+x)-1nl=2, 故<ln(1+x)<x即证 10分)。 1+x 2.证明:令g(x)=f(x+h)-f(x),则 f(x+2h)-2f(x+h)+f(a)_g(x+h)-g(a)_g(4+m,其中0<b<1。 hr h h 即f(+(1+)h)-f()+((a+(+o))-f(a-/(a+ah)-fa (1+e)h (1+e)h f(a当h→0时)即证 (5分) 第3页共4页第 3 页 共 4 页 即证 。 --------------(5 分)。 2 ． 证 明 ： 由 于 1 1 1 2 ( ) 2,( 1 2 n n n aa n a = +   时）, 即 数 列 有 下 届 -(3 分)； 1 2 1 1 2 / 1 )1 2 n n n a a a － = （＋ ,所以数列单减.所以数列收敛. --(6 分)； 设lim k n a a  = ,则有 1 2 ( ) 2 a a a = + ,所以极限 a = 2 --------------(10 分)。 五、证明下列各题（15 分）： 1．证明：由题设 fa afb b () , ()  .令 gx f x x () () = ,则 ga f a a gb f b b ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 =  = --------------(4 分)； 故：若 g a( ) 0, = 或 g b() 0 = ，则取 0 0 x = = axb ,或 即证 --------------(7 分)； 若 g a( ) 0, > 或 g b() 0 < ，由零值定理，存在 0 x ab (,) 使得 0 00 gx f x x ( ) 0, ( ) = = 即证 --------------(10 分)。 2．证明： 0, , , 1 xy I L    >   + 取＝ 则 ， 当 x y <  时， | ( ) ( )| fx fy <  即证 --------------(5 分)。 六、证明下列各题（20 分）： 1．证明：当 时 x > 0 ，由中值定理，存在 1 1, ln(1 ) ln(! ) ln1 x x xx   +>> + = + 使得 ， = 故 ln(1 ) 1 x x x x < +< + 即证 --------------(10 分)。 2．证明：令 gx f x h f x () ( ) () = + ，则 ' 2 2 f x h f x h f a gx h ga g a h ( 2) 2 ( ) () ( ) () ( ) h hh + ++ + + = = ，其中 0 1 < <  。 即 ' ' ' '' ' ( (1 ) ) ( ) ( (1 ) ) ( ) ( ) ( ) [ ] (1 ) (1 ) fa h fa fa h fa fa h fa h hh      + + + + + + + + '' f ( )( a 当h 0时） 即证 --------------(5 分)。