446 数字图像处理（第三版） 对式(10.21)关于x微分，我们得到一个二阶导数表达式： a1_fr国=fx+0-f国 ax x =f(x+2)-f(x+l)-f(x+l)+f(x) =f(x+2)-2f(x+1)+f(x) 其中，第二行来自式(10.21)。这一展开是关于点x+1的。我们的兴趣是关于点x的二阶导数，故将 上式中的变量减1后，得到 =r=++x-0-2因 (10.2-2 dx 很容易证明式(10.21)和式(102-2)满足本节开始时说明的关于一阶和二阶导数的条件。为了说明这 一点，并强调一阶导数和二阶导数在图像处理中的基本相同点和不同点，考虑图102。 图10.2(a)显示了一幅图像，该图像中包含有不同的实心物体、一条线和单个噪声点。图10.2(6) 显示了近似通过该图像中心的水平灰度剖面（扫描线），其包括孤立点。实心物体和沿扫描线的背景之 间的灰度过渡显示了两种类型的边缘：斜坡边缘（左侧）和台阶边缘（右侧）。正如稍后我们要讨论的那 样，灰度过渡涉及较细物体，如常称为屋顶边缘的线。图10,2（）显示了剖面线的简化，构成曲线的 点刚好足够我们在遇到一个噪声点、一条线和物体的边缘时在数量上分析一阶导数和二阶导数的特 性。在这幅简化图中，斜坡的过渡跨越4个像素，噪声点是单个像素，线为3个像素粗，灰度台阶的 过渡发生在邻接像素间。为简化起见，灰度级数限制为8级。 孤立点 台将 附像集带343200006000013100007777a▣ a b -阶数44006600022000)00 图10,2(a)图像：(b)通过该图像中心的水平灰度剖面，包括孤立躁声点：（©）简化后的剖 面线（为清楚起见，点已用虚线连接起来）。图像条带对应于灰度剂面曲线。方框 的数字是剖面线中所示的点的灰度值。导数是使用式(10.2)和式(102-2)得到的